Страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.26. Упростите выражение:

1) $(x - 4) \cdot \sqrt{x^2 - 8x + 16}$
а) при $x > 4$;
б) при $x < 4$.

2) $(x + 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 1}}$
а) при $x > -1$;
б) при $x < -1$.

1) Упростим выражение $(x - 4) \cdot \sqrt{x^2 - 8x + 16}$.
Подкоренное выражение представляет собой полный квадрат разности: $x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$.
Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде: $(x - 4) \cdot \sqrt{(x - 4)^2}$.
Используя свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $(x - 4) \cdot |x - 4|$.
Теперь рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

а) при $x > 4$
Если $x > 4$, то $x - 4 > 0$. По определению модуля, $|x - 4| = x - 4$.
Тогда выражение принимает вид: $(x - 4) \cdot (x - 4) = (x - 4)^2$.
Ответ: $(x - 4)^2$.

б) при $x < 4$
Если $x < 4$, то $x - 4 < 0$. По определению модуля, $|x - 4| = -(x - 4)$.
Тогда выражение принимает вид: $(x - 4) \cdot (-(x - 4)) = -(x - 4)^2$.
Ответ: $-(x - 4)^2$.

2) Упростим выражение $(x + 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 1}}$.
Подкоренное выражение в знаменателе представляет собой полный квадрат суммы: $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$.
Так как выражение находится в знаменателе, оно не может быть равно нулю, следовательно, $x+1 \ne 0$, то есть $x \ne -1$.
Исходное выражение можно переписать в виде: $(x + 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{(x + 1)^2}}$.
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $(x + 1) \cdot \frac{1}{|x + 1|} = \frac{x + 1}{|x + 1|}$.
Теперь рассмотрим два случая.

а) при $x > -1$
Если $x > -1$, то $x + 1 > 0$. По определению модуля, $|x + 1| = x + 1$.
Тогда выражение принимает вид: $\frac{x + 1}{x + 1} = 1$.
Ответ: $1$.

б) при $x < -1$
Если $x < -1$, то $x + 1 < 0$. По определению модуля, $|x + 1| = -(x + 1)$.
Тогда выражение принимает вид: $\frac{x + 1}{-(x + 1)} = -1$.
Ответ: $-1$.

Найдите значения выражений (3.27–3.28):

3.27. 1) $\sqrt{625}$;

2) $\sqrt{0,1296}$;

3) $6 \cdot \left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^4$;

4) $2\left(-\sqrt{\frac{7}{12}}\right)^2$.

1) Найдем значение выражения $\sqrt{\sqrt{625}}$.

Это двойной квадратный корень. Сначала нужно извлечь корень из числа под внутренним корнем, а затем из полученного результата.

Шаг 1: Вычислим внутренний корень $\sqrt{625}$.

Мы знаем, что $25^2 = 25 \cdot 25 = 625$. Следовательно, $\sqrt{625} = 25$.

Шаг 2: Подставим результат в исходное выражение.

$\sqrt{\sqrt{625}} = \sqrt{25}$.

Шаг 3: Вычислим оставшийся корень.

$\sqrt{25} = 5$.

Ответ: $5$.

2) Найдем значение выражения $\sqrt{\sqrt{0,1296}}$.

Действуем аналогично предыдущему примеру.

Шаг 1: Вычислим внутренний корень $\sqrt{0,1296}$.

Для удобства представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,1296 = \frac{1296}{10000}$.

Тогда $\sqrt{0,1296} = \sqrt{\frac{1296}{10000}} = \frac{\sqrt{1296}}{\sqrt{10000}}$.

Нам известно, что $36^2 = 1296$ и $100^2 = 10000$.

Значит, $\frac{\sqrt{1296}}{\sqrt{10000}} = \frac{36}{100} = 0,36$.

Шаг 2: Подставим результат в исходное выражение.

$\sqrt{\sqrt{0,1296}} = \sqrt{0,36}$.

Шаг 3: Вычислим оставшийся корень.

$\sqrt{0,36} = \sqrt{\frac{36}{100}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{100}} = \frac{6}{10} = 0,6$.

Ответ: $0,6$.

3) Найдем значение выражения $6 \cdot (\sqrt{\frac{2}{3}})^4$.

Шаг 1: Упростим выражение в скобках, возведенное в степень. Используем свойство степеней: $(a^m)^n = a^{mn}$. Также напомним, что $\sqrt{x} = x^{1/2}$.

$(\sqrt{\frac{2}{3}})^4 = ((\frac{2}{3})^{1/2})^4 = (\frac{2}{3})^{1/2 \cdot 4} = (\frac{2}{3})^2$.

Шаг 2: Вычислим полученную степень.

$(\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$.

Шаг 3: Подставим результат в исходное выражение и выполним умножение.

$6 \cdot \frac{4}{9} = \frac{6 \cdot 4}{9} = \frac{24}{9}$.

Шаг 4: Сократим полученную дробь.

$\frac{24}{9} = \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$.

4) Найдем значение выражения $2(-\sqrt{\frac{7}{12}})^2$.

Шаг 1: Возведем в квадрат выражение в скобках. При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае 2) результат будет положительным. Квадрат квадратного корня из числа равен самому этому числу: $(-\sqrt{a})^2 = a$.

$(-\sqrt{\frac{7}{12}})^2 = \frac{7}{12}$.

Шаг 2: Подставим результат в исходное выражение и выполним умножение.

$2 \cdot \frac{7}{12} = \frac{2 \cdot 7}{12} = \frac{14}{12}$.

Шаг 3: Сократим полученную дробь.

$\frac{14}{12} = \frac{7 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{7}{6}$.

Ответ: $\frac{7}{6}$.

3.28. 1) $(\\sqrt{45} - \\sqrt{5})^2;$

2) $(\\sqrt{12} - \\sqrt{3})^2;$

3) $(\\sqrt{77} - \\sqrt{15}) \\cdot (\\sqrt{77} + \\sqrt{15});$

4) $(\\sqrt{6} - \\sqrt{24})^2 - \\sqrt{0,0121}.$

1) Для решения выражения $(\sqrt{45} - \sqrt{5})^2$ сначала упростим корень из 45. Число 45 можно представить как произведение $9$ и $5$.
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.
Теперь подставим это значение обратно в исходное выражение:
$(3\sqrt{5} - \sqrt{5})^2$.
Выполним вычитание в скобках:
$(2\sqrt{5})^2$.
Возведем в квадрат, используя свойство $(ab)^n = a^n b^n$:
$2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.
Ответ: 20

2) Рассмотрим выражение $(\sqrt{12} - \sqrt{3})^2$. Упростим $\sqrt{12}$, представив 12 как $4 \cdot 3$:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
Подставим упрощенное значение в выражение:
$(2\sqrt{3} - \sqrt{3})^2$.
Выполним вычитание в скобках:
$(1\sqrt{3})^2$ или просто $(\sqrt{3})^2$.
Возведем в квадрат:
$(\sqrt{3})^2 = 3$.
Ответ: 3

3) Выражение $(\sqrt{77} - \sqrt{15}) \cdot (\sqrt{77} + \sqrt{15})$ представляет собой формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
В данном случае $a = \sqrt{77}$ и $b = \sqrt{15}$.
Применим формулу:
$(\sqrt{77})^2 - (\sqrt{15})^2$.
Вычислим квадраты:
$77 - 15 = 62$.
Ответ: 62

4) Решим выражение $(\sqrt{6} - \sqrt{24})^2 - \sqrt{0,0121}$ по частям.
Сначала преобразуем выражение в скобках. Упростим $\sqrt{24}$:
$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$.
Подставим в скобки:
$(\sqrt{6} - 2\sqrt{6})^2 = (-\sqrt{6})^2$.
Возведем в квадрат:
$(-\sqrt{6})^2 = 6$.
Теперь вычислим вторую часть выражения: $\sqrt{0,0121}$.
Так как $11^2 = 121$, то $0,11^2 = 0,0121$, следовательно $\sqrt{0,0121} = 0,11$.
Теперь выполним вычитание:
$6 - 0,11 = 5,89$.
Ответ: 5,89

3.29. Верно ли равенство $x\sqrt{6} = \sqrt{6x^2}$ :

1) при $x = 3$;

2) при $x = -3$;

3) при $x \ge 0$;

4) при $x \le 0$?

1) при x = 3
Подставим значение $x = 3$ в левую и правую части равенства $x\sqrt{6} = \sqrt{6x^2}$.
Левая часть: $3\sqrt{6}$.
Правая часть: $\sqrt{6 \cdot 3^2} = \sqrt{6 \cdot 9} = \sqrt{54}$.
Чтобы сравнить $3\sqrt{6}$ и $\sqrt{54}$, внесем множитель 3 под знак корня. Так как $3 > 0$, то $3\sqrt{6} = \sqrt{3^2 \cdot 6} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{54}$.
Получаем, что левая часть равна правой: $\sqrt{54} = \sqrt{54}$.
Следовательно, равенство верно.
Ответ: верно.

2) при x = -3
Подставим значение $x = -3$ в левую и правую части равенства.
Левая часть: $-3\sqrt{6}$. Это отрицательное число.
Правая часть: $\sqrt{6 \cdot (-3)^2} = \sqrt{6 \cdot 9} = \sqrt{54}$. Это положительное число, так как арифметический квадратный корень всегда неотрицателен.
Отрицательное число не может быть равно положительному: $-3\sqrt{6} \neq \sqrt{54}$.
Следовательно, равенство неверно.
Ответ: неверно.

3) при x ≥ 0
Рассмотрим правую часть равенства: $\sqrt{6x^2}$. По свойству квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, имеем $\sqrt{6x^2} = \sqrt{6}\sqrt{x^2} = \sqrt{6}|x|$.
Тогда исходное равенство $x\sqrt{6} = \sqrt{6x^2}$ можно переписать в виде $x\sqrt{6} = |x|\sqrt{6}$.
По определению модуля, если $x \ge 0$, то $|x| = x$.
Подставив это в наше преобразованное равенство, получаем $x\sqrt{6} = x\sqrt{6}$.
Это тождество, которое верно для всех $x$ из рассматриваемого промежутка $x \ge 0$.
Следовательно, равенство верно.
Ответ: верно.

4) при x ≤ 0
Как и в предыдущем пункте, преобразуем равенство к виду $x\sqrt{6} = |x|\sqrt{6}$.
По определению модуля, если $x < 0$, то $|x| = -x$.
Подставив это в равенство, получаем $x\sqrt{6} = -x\sqrt{6}$.
Это равенство выполняется только при $x = -x$, то есть $2x = 0$, откуда $x=0$.
При $x = 0$ равенство верно: $0\cdot\sqrt{6} = \sqrt{6 \cdot 0^2} \Rightarrow 0 = 0$.
Однако для любого другого значения $x$ из промежутка $x \le 0$ (то есть для всех $x < 0$) равенство не выполняется. Например, мы уже показали в пункте 2, что для $x=-3$ оно неверно.
Так как равенство должно выполняться для всех $x$ из указанного промежутка, а оно выполняется только для одной точки $x=0$, то утверждение в целом неверно.
Ответ: неверно.

3.30. Верно ли равенство $x\sqrt{6} = -\sqrt{6x^2}$ :

1) при $x = 4$;

2) при $x = -5$;

3) при $x \ge 0$;

4) при $x \le 0$?

Для того чтобы определить, при каких значениях $x$ верно равенство $x\sqrt{6} = -\sqrt{6x^2}$, преобразуем его правую часть.Используя свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:$-\sqrt{6x^2} = -\sqrt{6 \cdot x^2} = -\sqrt{6} \cdot \sqrt{x^2} = -\sqrt{6} \cdot |x| = -|x|\sqrt{6}$.Таким образом, исходное равенство можно переписать в виде:$x\sqrt{6} = -|x|\sqrt{6}$.Разделив обе части на $\sqrt{6}$ (что возможно, так как $\sqrt{6} \neq 0$), получим эквивалентное равенство:$x = -|x|$.Теперь проверим это равенство для каждого из предложенных случаев.

1) при $x=4$
Подставим $x=4$ в равенство $x = -|x|$:$4 = -|4|$$4 = -4$Это неверно.Проверка с исходным равенством:Левая часть: $4\sqrt{6}$.Правая часть: $-\sqrt{6 \cdot 4^2} = -\sqrt{6 \cdot 16} = -\sqrt{96} = -4\sqrt{6}$.$4\sqrt{6} \neq -4\sqrt{6}$.Следовательно, при $x=4$ равенство неверно.
Ответ: неверно.

2) при $x=-5$
Подставим $x=-5$ в равенство $x = -|x|$:$-5 = -|-5|$$-5 = -(5)$$-5 = -5$Это верно.Проверка с исходным равенством:Левая часть: $-5\sqrt{6}$.Правая часть: $-\sqrt{6 \cdot (-5)^2} = -\sqrt{6 \cdot 25} = -\sqrt{150} = -\sqrt{25 \cdot 6} = -5\sqrt{6}$.$-5\sqrt{6} = -5\sqrt{6}$.Следовательно, при $x=-5$ равенство верно.
Ответ: верно.

3) при $x \ge 0$
Рассмотрим равенство $x = -|x|$.Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x|=x$.Равенство принимает вид:$x = -x$$2x = 0$$x = 0$Это означает, что из всего промежутка $x \ge 0$ равенство выполняется только в одной точке $x=0$. Для всех $x>0$ оно неверно. Поскольку вопрос ставится о всем промежутке, утверждение является неверным.
Ответ: неверно.

4) при $x \le 0$
Рассмотрим равенство $x = -|x|$.Если $x \le 0$, то по определению модуля $|x|=-x$.Равенство принимает вид:$x = -(-x)$$x = x$Это тождество, оно верно для любого значения $x$. Следовательно, для всех $x \le 0$ исходное равенство верно.
Ответ: верно.

3.31. Внесите положительный множитель под знак корня:

1) $4 \cdot \sqrt{2a};$

2) $-3 \cdot \sqrt{0.1a};$

3) $-\frac{1}{3} \cdot \sqrt{0.9a};$

4) $-0.1 \cdot \sqrt{10a};$

5) $-a \cdot \sqrt{-3a};$

6) $2a \cdot \sqrt{-3a}.$

1) Чтобы внести положительный множитель $4$ под знак корня, его необходимо возвести в квадрат и умножить на подкоренное выражение. $4 \cdot \sqrt{2a} = \sqrt{4^2 \cdot 2a} = \sqrt{16 \cdot 2a} = \sqrt{32a}$. При этом должно выполняться условие $2a \ge 0$, то есть $a \ge 0$.
Ответ: $\sqrt{32a}$.

2) В выражении $-3 \cdot \sqrt{0,1a}$ множитель перед корнем равен $-3$. По условию, необходимо внести под знак корня только положительный множитель. Представим $-3$ как произведение $-1 \cdot 3$. Положительный множитель $3$ вносим под корень, а знак "минус" оставляем перед корнем. $-3 \cdot \sqrt{0,1a} = - (3 \cdot \sqrt{0,1a}) = - \sqrt{3^2 \cdot 0,1a} = - \sqrt{9 \cdot 0,1a} = - \sqrt{0,9a}$. Выражение имеет смысл при $0,1a \ge 0$, то есть $a \ge 0$.
Ответ: $- \sqrt{0,9a}$.

3) В выражении $- \frac{1}{3} \cdot \sqrt{0,9a}$ положительный множитель равен $\frac{1}{3}$. Вносим его под знак корня, возведя в квадрат. Знак "минус" остается перед корнем. $- \frac{1}{3} \cdot \sqrt{0,9a} = - \sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 0,9a} = - \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 0,9a} = - \sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{9}{10}a} = - \sqrt{\frac{1}{10}a} = - \sqrt{0,1a}$. Выражение имеет смысл при $0,9a \ge 0$, то есть $a \ge 0$.
Ответ: $- \sqrt{0,1a}$.

4) В выражении $-0,1 \cdot \sqrt{10a}$ положительный множитель равен $0,1$. Вносим его под знак корня, а знак "минус" оставляем перед ним. $-0,1 \cdot \sqrt{10a} = - \sqrt{(0,1)^2 \cdot 10a} = - \sqrt{0,01 \cdot 10a} = - \sqrt{0,1a}$. Выражение имеет смысл при $10a \ge 0$, то есть $a \ge 0$.
Ответ: $- \sqrt{0,1a}$.

5) Рассмотрим выражение $-a \cdot \sqrt{-3a}$. Для того чтобы корень имел смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-3a \ge 0$, из чего следует, что $a \le 0$. При условии $a \le 0$, множитель $-a$ является неотрицательным (то есть $-a \ge 0$). Следовательно, мы можем внести множитель $-a$ под знак корня, так как он является положительным (или равным нулю). $-a \cdot \sqrt{-3a} = \sqrt{(-a)^2 \cdot (-3a)} = \sqrt{a^2 \cdot (-3a)} = \sqrt{-3a^3}$.
Ответ: $\sqrt{-3a^3}$.

6) Рассмотрим выражение $2a \cdot \sqrt{-3a}$. Условие существования корня: $-3a \ge 0$, что означает $a \le 0$. При $a \le 0$ множитель $2a$ является неположительным ($2a \le 0$). По заданию нужно внести положительный множитель. Для этого представим $2a$ в виде $-(-2a)$. Поскольку $a \le 0$, то $-2a \ge 0$, то есть $-2a$ является положительным множителем (или равным нулю). Вносим под корень множитель $(-2a)$, а знак "минус" оставляем перед корнем. $2a \cdot \sqrt{-3a} = -(-2a) \cdot \sqrt{-3a} = - \sqrt{(-2a)^2 \cdot (-3a)} = - \sqrt{4a^2 \cdot (-3a)} = - \sqrt{-12a^3}$.
Ответ: $- \sqrt{-12a^3}$.

3.32. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(x - 3)^2} + 3$ при $x < 3$;

2) $\sqrt{(x - 7)^2} - 7$ при $x \ge 7$;

3) $\sqrt{(x + 0,7)^2}$ при $x < -0,7$;

4) $\sqrt{(x + 7,5)^2} + \sqrt{x^2}$ при $x < -7,5$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{(x - 3)^2} + 3$ при $x < 3$ воспользуемся свойством квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$.

Таким образом, $\sqrt{(x - 3)^2} = |x - 3|$.

Поскольку по условию $x < 3$, то разность $x - 3$ будет отрицательной ($x - 3 < 0$).

Согласно определению модуля, если выражение под модулем отрицательно, то $|a| = -a$. Следовательно, $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$.

Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$(-x + 3) + 3 = -x + 6$.

Ответ: $-x + 6$.

2) Упростим выражение $\sqrt{(x - 7)^2} - 7$ при $x \ge 7$.

Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, откуда получаем $\sqrt{(x - 7)^2} = |x - 7|$.

По условию $x \ge 7$, значит, выражение $x - 7$ является неотрицательным ($x - 7 \ge 0$).

По определению модуля, если выражение под модулем неотрицательно, то $|a| = a$. Таким образом, $|x - 7| = x - 7$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(x - 7) - 7 = x - 14$.

Ответ: $x - 14$.

3) Упростим выражение $\sqrt{(x + 0,7)^2}$ при $x < -0,7$.

Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, имеем $\sqrt{(x + 0,7)^2} = |x + 0,7|$.

Из условия $x < -0,7$ следует, что сумма $x + 0,7$ отрицательна ($x + 0,7 < 0$).

Раскрывая модуль отрицательного числа, получаем $|x + 0,7| = -(x + 0,7) = -x - 0,7$.

Ответ: $-x - 0,7$.

4) Упростим выражение $\sqrt{(x + 7,5)^2} + \sqrt{x^2}$ при $x < -7,5$.

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности, используя правило $\sqrt{a^2} = |a|$.

Первое слагаемое: $\sqrt{(x + 7,5)^2} = |x + 7,5|$.

По условию $x < -7,5$, что означает $x + 7,5 < 0$. Следовательно, $|x + 7,5| = -(x + 7,5) = -x - 7,5$.

Второе слагаемое: $\sqrt{x^2} = |x|$.

Так как по условию $x < -7,5$, то $x$ является отрицательным числом ($x < 0$). Значит, $|x| = -x$.

Теперь сложим упрощенные слагаемые:

$(-x - 7,5) + (-x) = -x - 7,5 - x = -2x - 7,5$.

Ответ: $-2x - 7,5$.

3.33. Найдите значение выражения $x + \sqrt{x^2}$ при $x = -4; -3; -2,7;$

-1,23; 0; 3; 7; 9; 10,4; 12,75; $13\frac{3}{7}$.

Для нахождения значения выражения $x + \sqrt{x^2}$ необходимо в первую очередь упростить его. По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x^2}$ равно модулю (абсолютной величине) числа $x$, то есть $\sqrt{x^2} = |x|$.

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде: $x + |x|$.

Далее решение зависит от знака $x$:

1. Если $x \ge 0$ (число неотрицательное), то $|x| = x$. Выражение становится $x + x = 2x$.

2. Если $x < 0$ (число отрицательное), то $|x| = -x$. Выражение становится $x + (-x) = 0$.

Теперь вычислим значение выражения для каждого из заданных значений $x$.

при x = -4:
Так как $x = -4 < 0$, значение выражения равно 0.
Ответ: 0

при x = -3:
Так как $x = -3 < 0$, значение выражения равно 0.
Ответ: 0

при x = -2,7:
Так как $x = -2,7 < 0$, значение выражения равно 0.
Ответ: 0

при x = -1,23:
Так как $x = -1,23 < 0$, значение выражения равно 0.
Ответ: 0

при x = 0:
Так как $x = 0$, применяем правило для $x \ge 0$. Значение выражения равно $2x$.
$2 \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0

при x = 3:
Так как $x = 3 > 0$, значение выражения равно $2x$.
$2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: 6

при x = 7:
Так как $x = 7 > 0$, значение выражения равно $2x$.
$2 \cdot 7 = 14$.
Ответ: 14

при x = 9:
Так как $x = 9 > 0$, значение выражения равно $2x$.
$2 \cdot 9 = 18$.
Ответ: 18

при x = 10,4:
Так как $x = 10,4 > 0$, значение выражения равно $2x$.
$2 \cdot 10,4 = 20,8$.
Ответ: 20,8

при x = 12,75:
Так как $x = 12,75 > 0$, значение выражения равно $2x$.
$2 \cdot 12,75 = 25,5$.
Ответ: 25,5

при x = $13\frac{3}{7}$:
Так как $x = 13\frac{3}{7} > 0$, значение выражения равно $2x$.
$2 \cdot 13\frac{3}{7} = 2 \cdot \frac{13 \cdot 7 + 3}{7} = 2 \cdot \frac{94}{7} = \frac{188}{7} = 26\frac{6}{7}$.
Ответ: $26\frac{6}{7}$

3.34. Упростите выражение:

1) $4y^2 \cdot \frac{1}{32} \cdot y^4$;

2) $5(2y^2)^3$;

3) $2\frac{1}{2}y^5 : (5y^2)^2$;

4) $0,4y^3 : (3\frac{1}{5}y^3)^2$.

1) Чтобы упростить выражение $4y^2 \cdot \frac{1}{32} \cdot y^4$, сгруппируем числовые коэффициенты и переменные:

$4y^2 \cdot \frac{1}{32} \cdot y^4 = (4 \cdot \frac{1}{32}) \cdot (y^2 \cdot y^4)$

Вычислим произведение коэффициентов:

$4 \cdot \frac{1}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$

Теперь умножим степени с одинаковым основанием $y$, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$y^2 \cdot y^4 = y^{2+4} = y^6$

Объединим полученные результаты:

$\frac{1}{8} \cdot y^6 = \frac{1}{8}y^6$

Ответ: $\frac{1}{8}y^6$

2) Чтобы упростить выражение $5(2y^2)^3$, сначала возведем в степень выражение в скобках. Используем свойство возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$ и свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(2y^2)^3 = 2^3 \cdot (y^2)^3 = 8 \cdot y^{2 \cdot 3} = 8y^6$

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$5 \cdot (8y^6)$

Умножим числовые коэффициенты:

$5 \cdot 8 = 40$

Таким образом, выражение равно:

$40y^6$

Ответ: $40y^6$

3) Чтобы упростить выражение $2\frac{1}{2}y^5 : (5y^2)^2$, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь и упростим делитель.

Преобразуем смешанное число:

$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$

Упростим делитель $(5y^2)^2$, используя свойства степеней:

$(5y^2)^2 = 5^2 \cdot (y^2)^2 = 25 \cdot y^{2 \cdot 2} = 25y^4$

Теперь выполним деление:

$\frac{5}{2}y^5 : (25y^4) = \frac{\frac{5}{2}y^5}{25y^4}$

Разделим коэффициенты и переменные отдельно. Для коэффициентов:

$\frac{5}{2} : 25 = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{25} = \frac{5}{50} = \frac{1}{10}$

Для переменных, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$y^5 : y^4 = y^{5-4} = y^1 = y$

Объединим результаты:

$\frac{1}{10}y$

Ответ: $\frac{1}{10}y$

4) Чтобы упростить выражение $0,4y^3 : (3\frac{1}{5}y^3)^2$, переведем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби.

$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$3\frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{16}{5}$

Выражение принимает вид:

$\frac{2}{5}y^3 : (\frac{16}{5}y^3)^2$

Упростим делитель $(\frac{16}{5}y^3)^2$:

$(\frac{16}{5}y^3)^2 = (\frac{16}{5})^2 \cdot (y^3)^2 = \frac{16^2}{5^2} \cdot y^{3 \cdot 2} = \frac{256}{25}y^6$

Теперь выполним деление:

$\frac{2}{5}y^3 : (\frac{256}{25}y^6) = \frac{\frac{2}{5}y^3}{\frac{256}{25}y^6}$

Разделим коэффициенты:

$\frac{2}{5} : \frac{256}{25} = \frac{2}{5} \cdot \frac{25}{256} = \frac{2 \cdot 25}{5 \cdot 256} = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 128} = \frac{5}{128}$

Разделим переменные:

$y^3 : y^6 = y^{3-6} = y^{-3} = \frac{1}{y^3}$

Объединим результаты:

$\frac{5}{128} \cdot \frac{1}{y^3} = \frac{5}{128y^3}$

Ответ: $\frac{5}{128y^3}$