Страница 35 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.35. Внесите положительный множитель под знак корня:

1) $3\sqrt{6}$;

2) $-2\sqrt{14}$;

3) $-0,3\sqrt{2,6x}$;

4) $2,5\sqrt{-0,2a}$.

1) Чтобы внести положительный множитель $3$ под знак квадратного корня, необходимо возвести этот множитель в квадрат и умножить на подкоренное выражение. Используется правило $b\sqrt{a} = \sqrt{b^2 \cdot a}$ при $b \ge 0$.

В данном примере $b=3$ и $a=6$.

$3\sqrt{6} = \sqrt{3^2 \cdot 6} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{54}$.

Ответ: $\sqrt{54}$.

2) В выражении $-2\sqrt{14}$ множитель перед корнем равен $-2$. По условию задачи, мы вносим под корень только положительный множитель, то есть число $2$. Знак "минус" остается перед корнем.

$-2\sqrt{14} = -(2\sqrt{14})$.

Внесем $2$ под знак корня:

$-\sqrt{2^2 \cdot 14} = -\sqrt{4 \cdot 14} = -\sqrt{56}$.

Ответ: $-\sqrt{56}$.

3) В выражении $-0,3\sqrt{2,6x}$ положительный множитель, который нужно внести под корень, — это $0,3$. Знак "минус" остается перед выражением. Данное выражение имеет смысл при $2,6x \ge 0$, то есть при $x \ge 0$.

$-0,3\sqrt{2,6x} = -\sqrt{(0,3)^2 \cdot 2,6x}$.

Вычислим значение в квадрате и произведение:

$(0,3)^2 = 0,09$.

$0,09 \cdot 2,6x = 0,234x$.

В результате получаем: $-\sqrt{0,234x}$.

Ответ: $-\sqrt{0,234x}$.

4) В выражении $2,5\sqrt{-0,2a}$ множитель $2,5$ является положительным. Внесем его под знак корня. Заметим, что подкоренное выражение $-0,2a$ должно быть неотрицательным, то есть $-0,2a \ge 0$, что выполняется при $a \le 0$.

$2,5\sqrt{-0,2a} = \sqrt{(2,5)^2 \cdot (-0,2a)}$.

Выполним вычисления:

$(2,5)^2 = 6,25$.

$6,25 \cdot (-0,2a) = -1,25a$.

В результате получаем: $\sqrt{-1,25a}$.

Ответ: $\sqrt{-1,25a}$.

3.36. Докажите, что значение выражения:

1) $ (\frac{5}{y+1} - \frac{3}{y-1} + \frac{6}{y^2-1}) \cdot \frac{y+1}{2} $;

2) $ (\frac{y+5}{y^2-5y} - \frac{y+10}{y^2-25}) \cdot \frac{y^3-25y}{5} $

при всех допустимых значениях y не зависит от y.

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от y, необходимо его упростить. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $y+1 \neq 0$, $y-1 \neq 0$ и $y^2-1 \neq 0$. Из этих условий следует, что $y \neq 1$ и $y \neq -1$.

Выполним действия в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $y^2-1 = (y-1)(y+1)$:

$(\frac{5}{y+1} - \frac{3}{y-1} + \frac{6}{y^2-1}) = \frac{5(y-1)}{(y+1)(y-1)} - \frac{3(y+1)}{(y-1)(y+1)} + \frac{6}{(y-1)(y+1)}$

Объединим дроби под общим знаменателем и упростим числитель:

$\frac{5(y-1) - 3(y+1) + 6}{(y-1)(y+1)} = \frac{5y - 5 - 3y - 3 + 6}{y^2-1} = \frac{2y - 2}{y^2-1}$

Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь:

$\frac{2(y-1)}{(y-1)(y+1)} = \frac{2}{y+1}$

Теперь выполним умножение:

$\frac{2}{y+1} \cdot \frac{y+1}{2} = \frac{2(y+1)}{2(y+1)} = 1$

Поскольку значение выражения равно 1, оно не зависит от переменной y.

Ответ: 1.

2) Сначала определим область допустимых значений переменной y. Знаменатели дробей не должны равняться нулю: $y^2-5y \neq 0$ и $y^2-25 \neq 0$.

$y^2-5y = y(y-5) \neq 0 \implies y \neq 0$ и $y \neq 5$.

$y^2-25 = (y-5)(y+5) \neq 0 \implies y \neq 5$ и $y \neq -5$.

Таким образом, ОДЗ: $y \notin \{-5, 0, 5\}$.

Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $y(y-5)(y+5)$:

$\frac{y+5}{y(y-5)} - \frac{y+10}{(y-5)(y+5)} = \frac{(y+5)(y+5) - y(y+10)}{y(y-5)(y+5)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{(y^2+10y+25) - (y^2+10y)}{y(y-5)(y+5)} = \frac{y^2+10y+25 - y^2-10y}{y(y-5)(y+5)} = \frac{25}{y(y-5)(y+5)}$

Теперь преобразуем второй множитель:

$\frac{y^3-25y}{5} = \frac{y(y^2-25)}{5} = \frac{y(y-5)(y+5)}{5}$

Выполним умножение полученных выражений:

$\frac{25}{y(y-5)(y+5)} \cdot \frac{y(y-5)(y+5)}{5}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{25}^5}{\cancel{y(y-5)(y+5)}} \cdot \frac{\cancel{y(y-5)(y+5)}}{\cancel{5}_1} = 5$

Поскольку значение выражения равно 5, оно не зависит от переменной y.

Ответ: 5.

3.37. Одна из сторон прямоугольного участка составляет 75% от другой его стороны. Найдите длину каждой из сторон и периметр участка, если его площадь равна 12 $м^2$.

Пусть одна сторона прямоугольного участка равна $a$, а другая сторона равна $b$.

Согласно условию, одна из сторон составляет 75% от другой. Это можно записать в виде математического выражения: $a = 0.75 \cdot b$.

Площадь прямоугольного участка $S$ равна 12 м². Формула для вычисления площади прямоугольника: $S = a \cdot b$.

Мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $ \begin{cases} a = 0.75 \cdot b \\ a \cdot b = 12 \end{cases} $

Для решения подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе: $(0.75 \cdot b) \cdot b = 12$

$0.75b^2 = 12$

Теперь выразим $b^2$. Для удобства вычислений представим десятичную дробь 0.75 в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{4}$: $b^2 = \frac{12}{0.75} = \frac{12}{\frac{3}{4}} = 12 \cdot \frac{4}{3} = \frac{48}{3} = 16$

Так как длина стороны — это положительная величина, найдем $b$ путем извлечения квадратного корня: $b = \sqrt{16} = 4$ м.

Зная значение $b$, найдем длину стороны $a$: $a = 0.75 \cdot 4 = 3$ м.

Длина каждой из сторон

Мы определили, что стороны прямоугольного участка равны 3 м и 4 м.

Ответ: Длины сторон участка равны 3 м и 4 м.

Периметр участка

Периметр прямоугольника $P$ находится по формуле $P = 2(a + b)$. Подставим найденные значения длин сторон: $P = 2 \cdot (3 + 4) = 2 \cdot 7 = 14$ м.

Ответ: Периметр участка равен 14 м.

3.38. Проверьте, верно ли равенство:

1) $\sqrt{2 \cdot 25 \cdot n^2} = 5 \cdot |n| \cdot \sqrt{2}$;

2) $\sqrt{75 \cdot p^2} = 5 \cdot p \cdot \sqrt{3}$;

3) $\sqrt{2 \cdot 25 \cdot a^2} = -5 \cdot a \cdot \sqrt{2}$.

1) Проверим равенство $\sqrt{2 \cdot 25 \cdot n^2} = 5 \cdot |n| \cdot \sqrt{2}$.

Преобразуем левую часть равенства, используя свойство корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ (для неотрицательных $a$ и $b$) и основное свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$.

$\sqrt{2 \cdot 25 \cdot n^2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{n^2} \cdot \sqrt{2}$

Так как $\sqrt{25} = 5$ и $\sqrt{n^2} = |n|$, получаем:

$\sqrt{25} \cdot \sqrt{n^2} \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot |n| \cdot \sqrt{2}$.

Сравнивая преобразованную левую часть с правой, видим, что они идентичны: $5 \cdot |n| \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot |n| \cdot \sqrt{2}$.

Следовательно, равенство верно для любых действительных значений $n$.

Ответ: верно.

2) Проверим равенство $\sqrt{75 \cdot p^2} = 5 \cdot p \cdot \sqrt{3}$.

Преобразуем левую часть. Сначала разложим число 75 на множители: $75 = 25 \cdot 3$.

$\sqrt{75 \cdot p^2} = \sqrt{25 \cdot 3 \cdot p^2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{p^2} \cdot \sqrt{3}$.

Используя $\sqrt{25} = 5$ и $\sqrt{p^2} = |p|$, получаем:

$5 \cdot |p| \cdot \sqrt{3}$.

Теперь сравним полученное выражение с правой частью равенства: $5 \cdot |p| \cdot \sqrt{3}$ и $5 \cdot p \cdot \sqrt{3}$.

Равенство $5 \cdot |p| \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot p \cdot \sqrt{3}$ будет верным только в том случае, если $|p| = p$. Это условие выполняется только для всех неотрицательных $p$ (то есть $p \ge 0$).

Если же $p$ - отрицательное число (например, $p = -2$), то $|p| = -p$. В этом случае левая часть равна $5 \cdot (-p) \cdot \sqrt{3} = -5p\sqrt{3}$, а правая часть равна $5p\sqrt{3}$. При $p<0$ эти выражения не равны.

Поскольку равенство выполняется не для всех допустимых значений $p$, оно считается неверным.

Ответ: неверно.

3) Проверим равенство $\sqrt{2 \cdot 25 \cdot a^2} = -5 \cdot a \cdot \sqrt{2}$.

Преобразуем левую часть аналогично первому пункту:

$\sqrt{2 \cdot 25 \cdot a^2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot |a| \cdot \sqrt{2}$.

Теперь приравняем полученное выражение к правой части исходного равенства:

$5 \cdot |a| \cdot \sqrt{2} = -5 \cdot a \cdot \sqrt{2}$.

Разделив обе части равенства на $5\sqrt{2}$ (что не равно нулю), получим:

$|a| = -a$.

Это равенство справедливо только для всех неположительных значений $a$ (то есть $a \le 0$).

Если $a$ - положительное число (например, $a=1$), то $|a| = a$. В этом случае равенство примет вид $a = -a$, что неверно для $a>0$.

Поскольку равенство выполняется не для всех допустимых значений $a$, оно считается неверным.

Ответ: неверно.

3.39. Разложите на множители выражение:

1) $p^2 - 5;$

2) $2x^2 - 9;$

3) $3y^2 - 7.$

1) Для разложения выражения $p^2 - 5$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Для этого представим каждый член данного выражения в виде квадрата. Первый член уже является квадратом переменной $p$. Второй член, число 5, можно представить как квадрат его квадратного корня, то есть $5 = (\sqrt{5})^2$.

Таким образом, выражение можно переписать в следующем виде:

$p^2 - 5 = p^2 - (\sqrt{5})^2$

Теперь, применяя формулу разности квадратов, где $a = p$ и $b = \sqrt{5}$, получаем:

$(p - \sqrt{5})(p + \sqrt{5})$

Ответ: $(p - \sqrt{5})(p + \sqrt{5})$

2) Для разложения выражения $2x^2 - 9$ на множители также используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим каждый член выражения в виде квадрата. Первый член $2x^2$ можно записать как $(\sqrt{2}x)^2$. Второй член $9$ является квадратом числа $3$, то есть $9 = 3^2$.

Выражение принимает вид:

$2x^2 - 9 = (\sqrt{2}x)^2 - 3^2$

Применяя формулу разности квадратов, где $a = \sqrt{2}x$ и $b = 3$, получаем:

$(\sqrt{2}x - 3)(\sqrt{2}x + 3)$

Ответ: $(\sqrt{2}x - 3)(\sqrt{2}x + 3)$

3) Для разложения выражения $3y^2 - 7$ на множители снова воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим каждый член выражения в виде квадрата. Первый член $3y^2$ можно представить как $(\sqrt{3}y)^2$. Второй член $7$ можно представить как квадрат его квадратного корня, то есть $7 = (\sqrt{7})^2$.

Таким образом, выражение можно переписать в виде:

$3y^2 - 7 = (\sqrt{3}y)^2 - (\sqrt{7})^2$

Применяя формулу разности квадратов, где $a = \sqrt{3}y$ и $b = \sqrt{7}$, получаем:

$(\sqrt{3}y - \sqrt{7})(\sqrt{3}y + \sqrt{7})$

Ответ: $(\sqrt{3}y - \sqrt{7})(\sqrt{3}y + \sqrt{7})$

3.40. Равны ли значения выражений:

1) $\sqrt{72}$ и $6\sqrt{2}$;

2) $\sqrt{288}$ и $12\sqrt{2}$;

3) $\sqrt{2a^2}$ и $a\sqrt{2}$;

4) $\sqrt{12a^4}$ и $2a^2\sqrt{3}$?

1) Чтобы сравнить значения выражений $\sqrt{72}$ и $6\sqrt{2}$, необходимо упростить одно из них, чтобы привести оба выражения к одинаковому виду. Упростим выражение $\sqrt{72}$, вынеся множитель из-под знака корня. Для этого разложим подкоренное число 72 на множители так, чтобы один из них был наибольшим возможным квадратом целого числа.

$72 = 36 \cdot 2 = 6^2 \cdot 2$

Теперь применим свойство корня $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

Так как в результате преобразования мы получили, что $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$, то значения выражений равны.

Ответ: да, равны.

2) Сравним значения выражений $\sqrt{288}$ и $12\sqrt{2}$. Поступим аналогично предыдущему пункту: вынесем множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{288}$. Разложим 288 на множители.

$288 = 144 \cdot 2 = 12^2 \cdot 2$

Извлечем корень:

$\sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{2} = 12\sqrt{2}$

Поскольку $\sqrt{288} = 12\sqrt{2}$, значения выражений равны.

Ответ: да, равны.

3) Сравним значения выражений $\sqrt{2a^2}$ и $a\sqrt{2}$. Упростим выражение $\sqrt{2a^2}$. Используем свойство $\sqrt{x^2} = |x|$ (модуль числа $x$).

$\sqrt{2a^2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{a^2} = \sqrt{2} \cdot |a| = |a|\sqrt{2}$

Теперь необходимо сравнить полученное выражение $|a|\sqrt{2}$ с выражением $a\sqrt{2}$. Равенство будет соблюдаться только в том случае, если $|a| = a$. Это верно только для неотрицательных чисел, то есть при $a \ge 0$.

Если же $a < 0$, то $|a| = -a$, и тогда $|a|\sqrt{2} = -a\sqrt{2}$. В этом случае $a\sqrt{2}$ и $-a\sqrt{2}$ не равны (кроме случая $a=0$, который относится к первой группе).

Приведем пример: пусть $a = -3$.
$\sqrt{2a^2} = \sqrt{2(-3)^2} = \sqrt{2 \cdot 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$a\sqrt{2} = -3\sqrt{2}$.
Так как $3\sqrt{2} \neq -3\sqrt{2}$, то значения выражений не равны.

Поскольку равенство выполняется не для всех допустимых значений переменной $a$, в общем случае эти выражения не равны.

Ответ: нет, не равны (равенство выполняется только при $a \ge 0$).

4) Сравним значения выражений $\sqrt{12a^4}$ и $2a^2\sqrt{3}$. Упростим выражение $\sqrt{12a^4}$.

Разложим подкоренное выражение на множители:

$12a^4 = 4 \cdot 3 \cdot a^4 = 2^2 \cdot 3 \cdot (a^2)^2$

Теперь вынесем множители из-под знака корня:

$\sqrt{12a^4} = \sqrt{4 \cdot 3 \cdot a^4} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{3}$

Мы знаем, что $\sqrt{4} = 2$. Для выражения $\sqrt{a^4}$ воспользуемся тем, что $a^4 = (a^2)^2$. Тогда:

$\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2}$

Поскольку выражение $a^2$ всегда неотрицательно (т.е. $a^2 \ge 0$) для любого действительного значения $a$, то $\sqrt{(a^2)^2} = a^2$.

Таким образом, получаем:

$\sqrt{12a^4} = 2 \cdot a^2 \cdot \sqrt{3} = 2a^2\sqrt{3}$

Полученное выражение полностью совпадает со вторым выражением. Равенство верно для любых значений переменной $a$.

Ответ: да, равны.