Номер 3.36, страница 35 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.36. Докажите, что значение выражения:

1) $ (\frac{5}{y+1} - \frac{3}{y-1} + \frac{6}{y^2-1}) \cdot \frac{y+1}{2} $;

2) $ (\frac{y+5}{y^2-5y} - \frac{y+10}{y^2-25}) \cdot \frac{y^3-25y}{5} $

при всех допустимых значениях y не зависит от y.

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от y, необходимо его упростить. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $y+1 \neq 0$, $y-1 \neq 0$ и $y^2-1 \neq 0$. Из этих условий следует, что $y \neq 1$ и $y \neq -1$.

Выполним действия в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $y^2-1 = (y-1)(y+1)$:

$(\frac{5}{y+1} - \frac{3}{y-1} + \frac{6}{y^2-1}) = \frac{5(y-1)}{(y+1)(y-1)} - \frac{3(y+1)}{(y-1)(y+1)} + \frac{6}{(y-1)(y+1)}$

Объединим дроби под общим знаменателем и упростим числитель:

$\frac{5(y-1) - 3(y+1) + 6}{(y-1)(y+1)} = \frac{5y - 5 - 3y - 3 + 6}{y^2-1} = \frac{2y - 2}{y^2-1}$

Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь:

$\frac{2(y-1)}{(y-1)(y+1)} = \frac{2}{y+1}$

Теперь выполним умножение:

$\frac{2}{y+1} \cdot \frac{y+1}{2} = \frac{2(y+1)}{2(y+1)} = 1$

Поскольку значение выражения равно 1, оно не зависит от переменной y.

Ответ: 1.

2) Сначала определим область допустимых значений переменной y. Знаменатели дробей не должны равняться нулю: $y^2-5y \neq 0$ и $y^2-25 \neq 0$.

$y^2-5y = y(y-5) \neq 0 \implies y \neq 0$ и $y \neq 5$.

$y^2-25 = (y-5)(y+5) \neq 0 \implies y \neq 5$ и $y \neq -5$.

Таким образом, ОДЗ: $y \notin \{-5, 0, 5\}$.

Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $y(y-5)(y+5)$:

$\frac{y+5}{y(y-5)} - \frac{y+10}{(y-5)(y+5)} = \frac{(y+5)(y+5) - y(y+10)}{y(y-5)(y+5)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{(y^2+10y+25) - (y^2+10y)}{y(y-5)(y+5)} = \frac{y^2+10y+25 - y^2-10y}{y(y-5)(y+5)} = \frac{25}{y(y-5)(y+5)}$

Теперь преобразуем второй множитель:

$\frac{y^3-25y}{5} = \frac{y(y^2-25)}{5} = \frac{y(y-5)(y+5)}{5}$

Выполним умножение полученных выражений:

$\frac{25}{y(y-5)(y+5)} \cdot \frac{y(y-5)(y+5)}{5}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{25}^5}{\cancel{y(y-5)(y+5)}} \cdot \frac{\cancel{y(y-5)(y+5)}}{\cancel{5}_1} = 5$

Поскольку значение выражения равно 5, оно не зависит от переменной y.

Ответ: 5.