Страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.11. Сократите дробь:

1) $\frac{a-\sqrt{3}}{a^2-3}$;

2) $\frac{b+\sqrt{7}}{b^2-7}$;

3) $\frac{a+\sqrt{3a}}{a-3}$;

4) $\frac{a^2-a\sqrt{5}}{a^2-5}$;

5) $\frac{3\sqrt{x}-2\sqrt{a}}{9x-4a}$;

6) $\frac{7+\sqrt{3c}}{49-3c}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{a-\sqrt{3}}{a^2-3}$, разложим знаменатель на множители. Знаменатель $a^2-3$ можно представить как разность квадратов, так как $3 = (\sqrt{3})^2$. Используя формулу $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, получаем: $a^2-3 = a^2-(\sqrt{3})^2 = (a-\sqrt{3})(a+\sqrt{3})$. Теперь подставим это в исходную дробь: $\frac{a-\sqrt{3}}{(a-\sqrt{3})(a+\sqrt{3})}$. Сокращаем общий множитель $(a-\sqrt{3})$ в числителе и знаменателе. В результате получаем $\frac{1}{a+\sqrt{3}}$. Ответ: $\frac{1}{a+\sqrt{3}}$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{b+\sqrt{7}}{b^2-7}$. Аналогично предыдущему примеру, разложим знаменатель $b^2-7$ на множители по формуле разности квадратов. Так как $7 = (\sqrt{7})^2$, то $b^2-7 = b^2-(\sqrt{7})^2 = (b-\sqrt{7})(b+\sqrt{7})$. Подставим в дробь: $\frac{b+\sqrt{7}}{(b-\sqrt{7})(b+\sqrt{7})}$. Сокращаем общий множитель $(b+\sqrt{7})$ и получаем $\frac{1}{b-\sqrt{7}}$. Ответ: $\frac{1}{b-\sqrt{7}}$.

3) В дроби $\frac{a+\sqrt{3a}}{a-3}$ преобразуем и числитель, и знаменатель. В числителе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{a}$, так как $a = (\sqrt{a})^2$ и $\sqrt{3a}=\sqrt{3}\sqrt{a}$ (при $a \ge 0$). Получаем: $a+\sqrt{3a} = (\sqrt{a})^2 + \sqrt{3}\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{3})$. Знаменатель $a-3$ представим как разность квадратов: $a-3 = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{a}-\sqrt{3})(\sqrt{a}+\sqrt{3})$. Дробь принимает вид: $\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{3})}{(\sqrt{a}-\sqrt{3})(\sqrt{a}+\sqrt{3})}$. Сокращаем общий множитель $(\sqrt{a}+\sqrt{3})$ и получаем $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{3}}$. Ответ: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{3}}$.

4) В дроби $\frac{a^2-a\sqrt{5}}{a^2-5}$ сначала вынесем общий множитель в числителе. $a^2-a\sqrt{5} = a(a-\sqrt{5})$. Знаменатель $a^2-5$ разложим как разность квадратов: $a^2-5 = a^2-(\sqrt{5})^2 = (a-\sqrt{5})(a+\sqrt{5})$. Подставляем преобразованные выражения в дробь: $\frac{a(a-\sqrt{5})}{(a-\sqrt{5})(a+\sqrt{5})}$. Сокращаем общий множитель $(a-\sqrt{5})$ и получаем $\frac{a}{a+\sqrt{5}}$. Ответ: $\frac{a}{a+\sqrt{5}}$.

5) Рассмотрим дробь $\frac{3\sqrt{x}-2\sqrt{a}}{9x-4a}$. Знаменатель $9x-4a$ можно представить как разность квадратов. Заметим, что $9x = (3\sqrt{x})^2$ и $4a = (2\sqrt{a})^2$ (при $x \ge 0, a \ge 0$). Тогда $9x-4a = (3\sqrt{x})^2 - (2\sqrt{a})^2 = (3\sqrt{x}-2\sqrt{a})(3\sqrt{x}+2\sqrt{a})$. Подставим это в знаменатель дроби: $\frac{3\sqrt{x}-2\sqrt{a}}{(3\sqrt{x}-2\sqrt{a})(3\sqrt{x}+2\sqrt{a})}$. Сократив общий множитель $(3\sqrt{x}-2\sqrt{a})$, получим $\frac{1}{3\sqrt{x}+2\sqrt{a}}$. Ответ: $\frac{1}{3\sqrt{x}+2\sqrt{a}}$.

6) В дроби $\frac{7+\sqrt{3c}}{49-3c}$ разложим знаменатель на множители. Знаменатель $49-3c$ является разностью квадратов, так как $49 = 7^2$ и $3c = (\sqrt{3c})^2$ (при $c \ge 0$). Таким образом, $49-3c = 7^2 - (\sqrt{3c})^2 = (7-\sqrt{3c})(7+\sqrt{3c})$. Подставляем в дробь: $\frac{7+\sqrt{3c}}{(7-\sqrt{3c})(7+\sqrt{3c})}$. Сокращаем общий множитель $(7+\sqrt{3c})$ в числителе и знаменателе. В итоге получаем $\frac{1}{7-\sqrt{3c}}$. Ответ: $\frac{1}{7-\sqrt{3c}}$.

Упростите выражения (4.12–4.14):

4.12. 1) $ \frac{\sqrt{7} - 2}{2\sqrt{7} - 4} + 1.5; $

2) $ \frac{\sqrt{28} - 6}{\sqrt{7} - 3} - 17.5; $

3) $ \frac{3\sqrt{7} - 2a}{6\sqrt{7} - 4a} - 1.5; $

4) $ \frac{\sqrt{3c} + 2}{\sqrt{12c} + 4} + 7.5. $

4.12. 1) Дано выражение: $\frac{\sqrt{7} - 2}{2\sqrt{7} - 4} + 1,5$.

Упростим знаменатель дроби, вынеся за скобки общий множитель 2: $2\sqrt{7} - 4 = 2(\sqrt{7} - 2)$.

Подставим полученное выражение в знаменатель: $\frac{\sqrt{7} - 2}{2(\sqrt{7} - 2)} + 1,5$.

Так как $\sqrt{7} - 2 \neq 0$, мы можем сократить дробь на $(\sqrt{7} - 2)$.

В результате сокращения получаем: $\frac{1}{2} + 1,5$.

Переведем $\frac{1}{2}$ в десятичную дробь $0,5$ и сложим с $1,5$: $0,5 + 1,5 = 2$.

Ответ: 2

2) Дано выражение: $\frac{\sqrt{28} - 6}{\sqrt{7} - 3} - 17,5$.

Упростим корень в числителе: $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.

Теперь числитель имеет вид $2\sqrt{7} - 6$. Вынесем за скобки общий множитель 2: $2(\sqrt{7} - 3)$.

Подставим упрощенный числитель в исходное выражение: $\frac{2(\sqrt{7} - 3)}{\sqrt{7} - 3} - 17,5$.

Так как $\sqrt{7} - 3 \neq 0$ (поскольку $\sqrt{7} \approx 2,65$, а $2,65 - 3 \neq 0$), мы можем сократить дробь на $(\sqrt{7} - 3)$.

В результате получаем: $2 - 17,5$.

Вычислим разность: $2 - 17,5 = -15,5$.

Ответ: -15,5

3) Дано выражение: $\frac{3\sqrt{7} - 2a}{6\sqrt{7} - 4a} - 1,5$.

Упростим знаменатель дроби, вынеся за скобки общий множитель 2: $6\sqrt{7} - 4a = 2(3\sqrt{7} - 2a)$.

Подставим полученное выражение в знаменатель: $\frac{3\sqrt{7} - 2a}{2(3\sqrt{7} - 2a)} - 1,5$.

При условии, что $3\sqrt{7} - 2a \neq 0$, мы можем сократить дробь на $(3\sqrt{7} - 2a)$.

В результате сокращения получаем: $\frac{1}{2} - 1,5$.

Переведем $\frac{1}{2}$ в десятичную дробь $0,5$ и вычтем $1,5$: $0,5 - 1,5 = -1$.

Ответ: -1

4) Дано выражение: $\frac{\sqrt{3c} + 2}{\sqrt{12c} + 4} + 7,5$.

Упростим корень в знаменателе. Для этого выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $c \ge 0$.

Преобразуем $\sqrt{12c}$: $\sqrt{12c} = \sqrt{4 \cdot 3c} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3c} = 2\sqrt{3c}$.

Теперь знаменатель имеет вид $2\sqrt{3c} + 4$. Вынесем за скобки общий множитель 2: $2(\sqrt{3c} + 2)$.

Подставим упрощенный знаменатель в исходное выражение: $\frac{\sqrt{3c} + 2}{2(\sqrt{3c} + 2)} + 7,5$.

Так как при $c \ge 0$ выражение $\sqrt{3c} + 2$ всегда положительно и, следовательно, не равно нулю, мы можем сократить дробь на $(\sqrt{3c} + 2)$.

В результате получаем: $\frac{1}{2} + 7,5$.

Переведем $\frac{1}{2}$ в десятичную дробь $0,5$ и сложим с $7,5$: $0,5 + 7,5 = 8$.

Ответ: 8

4.13.

1) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{x}}{5-x}$;

2) $\frac{\sqrt{7}+a}{a^2-7}$;

3) $\frac{3\sqrt{x}-5}{25-9x}$;

4) $\frac{5x-6}{\sqrt{6}-\sqrt{5x}}$.

1) Дана дробь $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{x}}{5-x}$.

Для упрощения дроби разложим знаменатель на множители. Знаменатель $5-x$ можно представить как разность квадратов, так как $5 = (\sqrt{5})^2$ и $x = (\sqrt{x})^2$. Это преобразование возможно при условии, что подкоренное выражение неотрицательно, то есть $x \ge 0$.

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$5-x = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{x})^2 = (\sqrt{5}-\sqrt{x})(\sqrt{5}+\sqrt{x})$.

Теперь подставим полученное выражение в знаменатель исходной дроби:

$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{x}}{(\sqrt{5}-\sqrt{x})(\sqrt{5}+\sqrt{x})}$.

Сократим общий множитель $(\sqrt{5}-\sqrt{x})$ в числителе и знаменателе. При этом необходимо учесть область допустимых значений: $x \ge 0$ и знаменатель не равен нулю, т.е. $5-x \neq 0$, откуда $x \neq 5$.

После сокращения получаем:

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{x}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{x}}$.

2) Дана дробь $\frac{\sqrt{7}+a}{a^2-7}$.

Знаменатель дроби $a^2-7$ представляет собой разность квадратов, так как $7 = (\sqrt{7})^2$.

Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$a^2-7 = a^2 - (\sqrt{7})^2 = (a-\sqrt{7})(a+\sqrt{7})$.

Подставим это разложение в знаменатель дроби:

$\frac{\sqrt{7}+a}{(a-\sqrt{7})(a+\sqrt{7})}$.

Числитель дроби $\sqrt{7}+a$ совпадает с одним из множителей в знаменателе, так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется: $\sqrt{7}+a = a+\sqrt{7}$.

Сократим дробь на общий множитель $(a+\sqrt{7})$. Область допустимых значений: $a^2-7 \neq 0$, то есть $a \neq \pm\sqrt{7}$.

$\frac{1}{a-\sqrt{7}}$.

Ответ: $\frac{1}{a-\sqrt{7}}$.

3) Дана дробь $\frac{3\sqrt{x}-5}{25-9x}$.

Рассмотрим знаменатель $25-9x$. Его можно представить в виде разности квадратов, так как $25=5^2$ и $9x=(3\sqrt{x})^2$ (при $x \ge 0$).

Используем формулу разности квадратов:

$25-9x = 5^2 - (3\sqrt{x})^2 = (5-3\sqrt{x})(5+3\sqrt{x})$.

Подставим разложение в знаменатель:

$\frac{3\sqrt{x}-5}{(5-3\sqrt{x})(5+3\sqrt{x})}$.

Заметим, что числитель $3\sqrt{x}-5$ и множитель в знаменателе $5-3\sqrt{x}$ являются противоположными выражениями. Вынесем $-1$ за скобки в числителе:

$3\sqrt{x}-5 = -(5-3\sqrt{x})$.

Перепишем дробь:

$\frac{-(5-3\sqrt{x})}{(5-3\sqrt{x})(5+3\sqrt{x})}$.

Сократим общий множитель $(5-3\sqrt{x})$. Область допустимых значений: $x \ge 0$ и $25-9x \neq 0$, т.е. $x \neq \frac{25}{9}$.

$\frac{-1}{5+3\sqrt{x}}$.

Ответ: $\frac{-1}{5+3\sqrt{x}}$.

4) Дана дробь $\frac{5x-6}{\sqrt{6}-\sqrt{5x}}$.

В этом случае на множители можно разложить числитель $5x-6$, представив его как разность квадратов (при $x \ge 0$):

$5x-6 = (\sqrt{5x})^2 - (\sqrt{6})^2$.

Применим формулу разности квадратов:

$(\sqrt{5x})^2 - (\sqrt{6})^2 = (\sqrt{5x}-\sqrt{6})(\sqrt{5x}+\sqrt{6})$.

Подставим полученное выражение в числитель дроби:

$\frac{(\sqrt{5x}-\sqrt{6})(\sqrt{5x}+\sqrt{6})}{\sqrt{6}-\sqrt{5x}}$.

Множитель в числителе $\sqrt{5x}-\sqrt{6}$ и знаменатель $\sqrt{6}-\sqrt{5x}$ являются противоположными выражениями. Вынесем $-1$ за скобки из множителя в числителе:

$\sqrt{5x}-\sqrt{6} = -(\sqrt{6}-\sqrt{5x})$.

Перепишем дробь:

$\frac{-(\sqrt{6}-\sqrt{5x})(\sqrt{5x}+\sqrt{6})}{\sqrt{6}-\sqrt{5x}}$.

Сократим общий множитель $(\sqrt{6}-\sqrt{5x})$. Область допустимых значений: $x \ge 0$ и $\sqrt{6}-\sqrt{5x} \neq 0$, т.е. $5x \neq 6$, $x \neq \frac{6}{5}$.

$-(\sqrt{5x}+\sqrt{6}) = -\sqrt{5x}-\sqrt{6}$.

Ответ: $-(\sqrt{5x}+\sqrt{6})$.

4.14. 1) $1 - \frac{a-\sqrt{7a}}{a-7}$;

2) $\frac{y+\sqrt{3x}}{y^2-3x}$;

3) $\frac{x^2-6a}{x+\sqrt{6a}}-x$;

4) $\frac{c^2-3a}{c+\sqrt{3a}}+3c$.

1) Чтобы упростить выражение $1 - \frac{a - \sqrt{7a}}{a - 7}$, приведем его к общему знаменателю $a-7$.
$1 - \frac{a - \sqrt{7a}}{a - 7} = \frac{a-7 - (a - \sqrt{7a})}{a-7} = \frac{a-7-a+\sqrt{7a}}{a-7} = \frac{\sqrt{7a}-7}{a-7}$.
Для дальнейшего упрощения разложим числитель и знаменатель на множители. Предполагая, что $a \ge 0$, мы можем записать $a = (\sqrt{a})^2$, $7 = (\sqrt{7})^2$ и $\sqrt{7a} = \sqrt{7}\sqrt{a}$.
Числитель: $\sqrt{7a}-7 = \sqrt{7}\sqrt{a} - (\sqrt{7})^2 = \sqrt{7}(\sqrt{a}-\sqrt{7})$.
Знаменатель: $a-7 = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{7})^2 = (\sqrt{a}-\sqrt{7})(\sqrt{a}+\sqrt{7})$ по формуле разности квадратов.
Теперь подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{\sqrt{7}(\sqrt{a}-\sqrt{7})}{(\sqrt{a}-\sqrt{7})(\sqrt{a}+\sqrt{7})}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt{a}-\sqrt{7})$ (при условии, что $a \neq 7$):
$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{a}+\sqrt{7}}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{a}+\sqrt{7}}$

2) Рассмотрим выражение $\frac{y + \sqrt{3x}}{y^2 - 3x}$.
Чтобы упростить эту дробь, разложим знаменатель $y^2 - 3x$ на множители. Это разность квадратов, так как $3x = (\sqrt{3x})^2$.
Используя формулу $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$, получаем:
$y^2 - 3x = y^2 - (\sqrt{3x})^2 = (y - \sqrt{3x})(y + \sqrt{3x})$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{y + \sqrt{3x}}{(y - \sqrt{3x})(y + \sqrt{3x})}$.
Сокращаем дробь на общий множитель $(y + \sqrt{3x})$ (при условии, что $y^2 - 3x \neq 0$):
$\frac{1}{y - \sqrt{3x}}$.
Ответ: $\frac{1}{y - \sqrt{3x}}$

3) Дано выражение $\frac{x^2 - 6a}{x + \sqrt{6a}} - x$.
Сначала упростим дробь. Числитель $x^2 - 6a$ является разностью квадратов: $x^2 - (\sqrt{6a})^2$.
Разложим его на множители: $x^2 - (\sqrt{6a})^2 = (x - \sqrt{6a})(x + \sqrt{6a})$.
Подставим в дробь:
$\frac{(x - \sqrt{6a})(x + \sqrt{6a})}{x + \sqrt{6a}}$.
Сократим на $(x + \sqrt{6a})$ (при $x + \sqrt{6a} \neq 0$), получим $x - \sqrt{6a}$.
Теперь подставим упрощенное выражение обратно в исходное:
$(x - \sqrt{6a}) - x = x - \sqrt{6a} - x = -\sqrt{6a}$.
Ответ: $-\sqrt{6a}$

4) Дано выражение $\frac{c^2 - 3a}{c + \sqrt{3a}} + 3c$.
Упростим дробную часть. Числитель $c^2 - 3a$ можно разложить на множители как разность квадратов: $c^2 - (\sqrt{3a})^2$.
$c^2 - (\sqrt{3a})^2 = (c - \sqrt{3a})(c + \sqrt{3a})$.
Подставим это в дробь:
$\frac{(c - \sqrt{3a})(c + \sqrt{3a})}{c + \sqrt{3a}}$.
Сократим на общий множитель $(c + \sqrt{3a})$ (при $c + \sqrt{3a} \neq 0$), в результате чего останется $c - \sqrt{3a}$.
Теперь вернемся к исходному выражению и подставим упрощенную дробь:
$(c - \sqrt{3a}) + 3c$.
Сложим подобные члены: $c + 3c - \sqrt{3a} = 4c - \sqrt{3a}$.
Ответ: $4c - \sqrt{3a}$

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби (4.15—4.17):

4.15. 1) $ \frac{5a}{\sqrt{5}} $; 2) $ \frac{3 + 3\sqrt{a}}{\sqrt{a}} $; 3) $ \frac{15c}{\sqrt{3}} $; 4) $ \frac{5a}{\sqrt{5} - 1} $; 5) $ \frac{3a}{\sqrt{5} - \sqrt{a}} $; 6) $ \frac{7}{1 + \sqrt{3}} $.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{5a}{\sqrt{5}} $, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на $ \sqrt{5} $.
$ \frac{5a}{\sqrt{5}} = \frac{5a \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5a\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2} = \frac{5a\sqrt{5}}{5} $.
Сократим дробь на 5:
$ \frac{5a\sqrt{5}}{5} = a\sqrt{5} $.
Ответ: $ a\sqrt{5} $.

2) Для дроби $ \frac{3 + 3\sqrt{a}}{\sqrt{a}} $ умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{a} $. При этом область допустимых значений $ a > 0 $.
$ \frac{3 + 3\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{(3 + 3\sqrt{a}) \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{3 \cdot \sqrt{a} + 3\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}{a} = \frac{3\sqrt{a} + 3a}{a} $.
Можно вынести общий множитель 3 в числителе: $ \frac{3(\sqrt{a} + a)}{a} $.
Ответ: $ \frac{3a + 3\sqrt{a}}{a} $.

3) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{15c}{\sqrt{3}} $, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{3} $.
$ \frac{15c}{\sqrt{3}} = \frac{15c \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{15c\sqrt{3}}{3} $.
Сократим дробь на 3:
$ \frac{15c\sqrt{3}}{3} = 5c\sqrt{3} $.
Ответ: $ 5c\sqrt{3} $.

4) В знаменателе дроби $ \frac{5a}{\sqrt{5} - 1} $ находится разность. Чтобы избавиться от иррациональности, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{5} + 1 $, используя формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $.
$ \frac{5a}{\sqrt{5} - 1} = \frac{5a \cdot (\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{5a(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{5a(\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} = \frac{5a(\sqrt{5} + 1)}{4} $.
Ответ: $ \frac{5a(\sqrt{5} + 1)}{4} $.

5) В знаменателе дроби $ \frac{3a}{\sqrt{5} - \sqrt{a}} $ находится разность корней. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{5} + \sqrt{a} $. Область допустимых значений: $ a \ge 0 $ и $ a \neq 5 $.
$ \frac{3a}{\sqrt{5} - \sqrt{a}} = \frac{3a \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{a})}{(\sqrt{5} - \sqrt{a})(\sqrt{5} + \sqrt{a})} = \frac{3a(\sqrt{5} + \sqrt{a})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{a})^2} = \frac{3a(\sqrt{5} + \sqrt{a})}{5 - a} $.
Ответ: $ \frac{3a(\sqrt{5} + \sqrt{a})}{5 - a} $.

6) В знаменателе дроби $ \frac{7}{1 + \sqrt{3}} $ находится сумма. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ 1 - \sqrt{3} $.
$ \frac{7}{1 + \sqrt{3}} = \frac{7 \cdot (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{7(1 - \sqrt{3})}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{7(1 - \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{7(1 - \sqrt{3})}{-2} $.
Чтобы избавиться от знака минус в знаменателе, изменим знак числителя:
$ \frac{7(1 - \sqrt{3})}{-2} = \frac{-(7(1 - \sqrt{3}))}{2} = \frac{7(\sqrt{3} - 1)}{2} $.
Ответ: $ \frac{7(\sqrt{3} - 1)}{2} $.

4.16.

1) $\frac{5-a}{1+\sqrt{5}}$;

2) $\frac{7a+\sqrt{a}}{2-\sqrt{a}}$;

3) $\frac{1,5c}{\sqrt{3}+c}$;

4) $\frac{5c-1}{\sqrt{5c-1}}$;

5) $\frac{3x+a}{\sqrt{5x}-\sqrt{a}}$;

6) $\frac{x-6}{\sqrt{x}+\sqrt{3x}}$.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{5-a}{1+\sqrt{5}}$, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к $1+\sqrt{5}$ является $1-\sqrt{5}$.

$\frac{5-a}{1+\sqrt{5}} = \frac{(5-a)(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}$

В знаменателе применяем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$:

$(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5}) = 1^2 - (\sqrt{5})^2 = 1 - 5 = -4$.

Таким образом, выражение принимает вид:

$\frac{(5-a)(1-\sqrt{5})}{-4}$

Внесем знак минуса из знаменателя в числитель, поменяв знаки у множителя $(5-a)$ на $(a-5)$:

$\frac{(a-5)(1-\sqrt{5})}{4}$

Ответ: $\frac{(a-5)(1-\sqrt{5})}{4}$.

2) Для дроби $\frac{7a+\sqrt{a}}{2-\sqrt{a}}$ сопряженным выражением к знаменателю $2-\sqrt{a}$ является $2+\sqrt{a}$. Умножим на него числитель и знаменатель.

$\frac{7a+\sqrt{a}}{2-\sqrt{a}} = \frac{(7a+\sqrt{a})(2+\sqrt{a})}{(2-\sqrt{a})(2+\sqrt{a})}$

Преобразуем знаменатель по формуле разности квадратов:

$(2-\sqrt{a})(2+\sqrt{a}) = 2^2 - (\sqrt{a})^2 = 4 - a$.

Раскроем скобки в числителе:

$(7a+\sqrt{a})(2+\sqrt{a}) = 7a \cdot 2 + 7a \cdot \sqrt{a} + \sqrt{a} \cdot 2 + \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = 14a + 7a\sqrt{a} + 2\sqrt{a} + a = 15a + (7a+2)\sqrt{a}$.

Получаем итоговое выражение:

$\frac{15a + (7a+2)\sqrt{a}}{4-a}$

Ответ: $\frac{15a + (7a+2)\sqrt{a}}{4-a}$.

3) В выражении $\frac{1,5c}{\sqrt{3}+c}$ знаменатель равен $\sqrt{3}+c$. Сопряженное ему выражение — $\sqrt{3}-c$. Умножим числитель и знаменатель на него.

$\frac{1,5c}{\sqrt{3}+c} = \frac{1,5c(\sqrt{3}-c)}{(\sqrt{3}+c)(\sqrt{3}-c)}$

Знаменатель: $(\sqrt{3}+c)(\sqrt{3}-c) = (\sqrt{3})^2 - c^2 = 3-c^2$.

Числитель: $1,5c(\sqrt{3}-c) = 1,5c\sqrt{3} - 1,5c^2$.

Итоговая дробь:

$\frac{1,5c\sqrt{3} - 1,5c^2}{3-c^2}$

Ответ: $\frac{1,5c(\sqrt{3}-c)}{3-c^2}$.

4) В дроби $\frac{5c-1}{\sqrt{5c-1}}$ в знаменателе находится один корень. Чтобы избавиться от него, умножим числитель и знаменатель на этот корень, то есть на $\sqrt{5c-1}$.

$\frac{5c-1}{\sqrt{5c-1}} = \frac{(5c-1)\sqrt{5c-1}}{(\sqrt{5c-1})(\sqrt{5c-1})} = \frac{(5c-1)\sqrt{5c-1}}{5c-1}$

При условии $5c-1 > 0$, которое необходимо для существования исходного выражения, можно сократить дробь на $(5c-1)$:

$\frac{(5c-1)\sqrt{5c-1}}{5c-1} = \sqrt{5c-1}$

Также можно было заметить, что $5c-1 = (\sqrt{5c-1})^2$, и сразу сократить дробь.

Ответ: $\sqrt{5c-1}$.

5) Для дроби $\frac{3x+a}{\sqrt{5x}-\sqrt{a}}$ сопряженным к знаменателю является выражение $\sqrt{5x}+\sqrt{a}$. Умножим числитель и знаменатель на него.

$\frac{3x+a}{\sqrt{5x}-\sqrt{a}} = \frac{(3x+a)(\sqrt{5x}+\sqrt{a})}{(\sqrt{5x}-\sqrt{a})(\sqrt{5x}+\sqrt{a})}$

Знаменатель: $(\sqrt{5x}-\sqrt{a})(\sqrt{5x}+\sqrt{a}) = (\sqrt{5x})^2 - (\sqrt{a})^2 = 5x-a$.

В результате получаем дробь с рациональным знаменателем:

$\frac{(3x+a)(\sqrt{5x}+\sqrt{a})}{5x-a}$

Ответ: $\frac{(3x+a)(\sqrt{5x}+\sqrt{a})}{5x-a}$.

6) В выражении $\frac{x-6}{\sqrt{x}+\sqrt{3x}}$ сопряженным к знаменателю $\sqrt{x}+\sqrt{3x}$ является $\sqrt{x}-\sqrt{3x}$.

$\frac{x-6}{\sqrt{x}+\sqrt{3x}} = \frac{(x-6)(\sqrt{x}-\sqrt{3x})}{(\sqrt{x}+\sqrt{3x})(\sqrt{x}-\sqrt{3x})}$

Преобразуем знаменатель по формуле разности квадратов:

$(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{3x})^2 = x - 3x = -2x$.

Получаем дробь:

$\frac{(x-6)(\sqrt{x}-\sqrt{3x})}{-2x}$

Для удобства можно избавиться от минуса в знаменателе, умножив на него числитель:

$\frac{-(x-6)(\sqrt{x}-\sqrt{3x})}{2x} = \frac{(6-x)(\sqrt{x}-\sqrt{3x})}{2x}$

Ответ: $\frac{(6-x)(\sqrt{x}-\sqrt{3x})}{2x}$.

4.17.

1) $\frac{5a}{\sqrt{5}+2}$;

2) $\frac{2+\sqrt{a}}{2\sqrt{a}};

3) $\frac{15c}{2-\sqrt{3}};

4) $\frac{8y-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-7};

5) $\frac{3\sqrt{a}-1}{\sqrt{3}-\sqrt{a}};

6) $\frac{7}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}.$

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{5a}{\sqrt{5}+2}$, умножим ее числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $\sqrt{5}-2$. Используем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$ для знаменателя.
$\frac{5a}{\sqrt{5}+2} = \frac{5a(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)} = \frac{5a(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{5a(\sqrt{5}-2)}{5-4} = \frac{5a(\sqrt{5}-2)}{1} = 5a(\sqrt{5}-2)$.
Ответ: $5a(\sqrt{5}-2)$.

2) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{2+\sqrt{a}}{2\sqrt{a}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{a}$. При этом предполагается, что $a > 0$.
$\frac{2+\sqrt{a}}{2\sqrt{a}} = \frac{(2+\sqrt{a}) \cdot \sqrt{a}}{2\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{2\sqrt{a} + (\sqrt{a})^2}{2(\sqrt{a})^2} = \frac{2\sqrt{a}+a}{2a}$.
Ответ: $\frac{a+2\sqrt{a}}{2a}$.

3) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{15c}{2-\sqrt{3}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $2+\sqrt{3}$.
$\frac{15c}{2-\sqrt{3}} = \frac{15c(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{15c(2+\sqrt{3})}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{15c(2+\sqrt{3})}{4-3} = \frac{15c(2+\sqrt{3})}{1} = 15c(2+\sqrt{3})$.
Ответ: $15c(2+\sqrt{3})$.

4) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{8y-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-7}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{5}+7$.
$\frac{8y-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-7} = \frac{(8y-\sqrt{5})(\sqrt{5}+7)}{(\sqrt{5}-7)(\sqrt{5}+7)} = \frac{8y\sqrt{5} + 56y - (\sqrt{5})^2 - 7\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2 - 7^2} = \frac{8y\sqrt{5} + 56y - 5 - 7\sqrt{5}}{5-49} = \frac{8y\sqrt{5} + 56y - 5 - 7\sqrt{5}}{-44}$.
Для удобства изменим знак у всей дроби, чтобы знаменатель стал положительным:
$\frac{-(8y\sqrt{5} + 56y - 5 - 7\sqrt{5})}{44} = \frac{5+7\sqrt{5}-56y-8y\sqrt{5}}{44}$.
Ответ: $\frac{5+7\sqrt{5}-56y-8y\sqrt{5}}{44}$.

5) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{3\sqrt{a}-1}{\sqrt{3}-\sqrt{a}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{3}+\sqrt{a}$. При этом $a \ge 0$ и $a \ne 3$.
$\frac{3\sqrt{a}-1}{\sqrt{3}-\sqrt{a}} = \frac{(3\sqrt{a}-1)(\sqrt{3}+\sqrt{a})}{(\sqrt{3}-\sqrt{a})(\sqrt{3}+\sqrt{a})} = \frac{3\sqrt{a}\sqrt{3} + 3\sqrt{a}\sqrt{a} - \sqrt{3} - \sqrt{a}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{a})^2} = \frac{3\sqrt{3a} + 3a - \sqrt{3} - \sqrt{a}}{3-a}$.
Ответ: $\frac{3a+3\sqrt{3a}-\sqrt{a}-\sqrt{3}}{3-a}$.

6) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{7}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{7}-\sqrt{3}$.
$\frac{7}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{7(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{7(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{7(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3} = \frac{7(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4}$.
Ответ: $\frac{7(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4}$.

4.18. Выполните действия:

1) $(4 - 3\sqrt{a})(4 + 3\sqrt{a}) - 4a;$

2) $(5 - \sqrt{2a})(5 + \sqrt{2a}) - (4a - 20);$

3) $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{a})(2\sqrt{3} + 3\sqrt{a}) - 4\sqrt{3};$

4) $2a - (2\sqrt{7} - \sqrt{7a})(2\sqrt{7} + \sqrt{7a}).$

1) В выражении $(4 - 3\sqrt{a})(4 + 3\sqrt{a}) - 4a$ для раскрытия скобок воспользуемся формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x=4$ и $y=3\sqrt{a}$.
$(4 - 3\sqrt{a})(4 + 3\sqrt{a}) = 4^2 - (3\sqrt{a})^2 = 16 - 9a$.
Теперь подставим полученное выражение в исходное:
$16 - 9a - 4a = 16 - (9a + 4a) = 16 - 13a$.
Ответ: $16 - 13a$.

2) В выражении $(5 - \sqrt{2a})(5 + \sqrt{2a}) - (4a - 20)$ также применяем формулу разности квадратов к произведению скобок, где $x=5$ и $y=\sqrt{2a}$.
$(5 - \sqrt{2a})(5 + \sqrt{2a}) = 5^2 - (\sqrt{2a})^2 = 25 - 2a$.
Подставляем результат в исходное выражение и раскрываем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:
$25 - 2a - (4a - 20) = 25 - 2a - 4a + 20$.
Группируем и приводим подобные слагаемые:
$(25 + 20) + (-2a - 4a) = 45 - 6a$.
Ответ: $45 - 6a$.

3) В выражении $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{a})(2 + 3\sqrt{a}) - 4\sqrt{3}$ первые члены в скобках различны ($2\sqrt{3}$ и $2$), поэтому необходимо раскрыть скобки путем перемножения каждого члена первой скобки на каждый член второй:
$(2\sqrt{3} - 3\sqrt{a})(2 + 3\sqrt{a}) = 2\sqrt{3} \cdot 2 + 2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{a} - 3\sqrt{a} \cdot 2 - 3\sqrt{a} \cdot 3\sqrt{a} = 4\sqrt{3} + 6\sqrt{3a} - 6\sqrt{a} - 9a$.
Теперь подставим это в полное выражение:
$(4\sqrt{3} + 6\sqrt{3a} - 6\sqrt{a} - 9a) - 4\sqrt{3}$.
Взаимно уничтожаем слагаемые $4\sqrt{3}$ и $-4\sqrt{3}$:
$6\sqrt{3a} - 6\sqrt{a} - 9a$.
Ответ: $6\sqrt{3a} - 6\sqrt{a} - 9a$.

4) В выражении $2a - (2\sqrt{7} - \sqrt{7a})(2\sqrt{7} + \sqrt{7a})$ сначала упростим произведение в скобках, используя формулу разности квадратов, где $x=2\sqrt{7}$ и $y=\sqrt{7a}$.
$(2\sqrt{7} - \sqrt{7a})(2\sqrt{7} + \sqrt{7a}) = (2\sqrt{7})^2 - (\sqrt{7a})^2 = 4 \cdot 7 - 7a = 28 - 7a$.
Подставим полученный результат в исходное выражение:
$2a - (28 - 7a) = 2a - 28 + 7a$.
Приведем подобные слагаемые:
$(2a + 7a) - 28 = 9a - 28$.
Ответ: $9a - 28$.

4.19. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(a+1)^2 - 4a}$;

2) $\sqrt{(a-3)^2 + 12a}$;

3) $\sqrt{(a-2)^2 + 8a}$;

4) $\sqrt{(2a+3)^2 - 24a}$.

1) Сначала упростим выражение под корнем. Для этого раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения для квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, а затем приведем подобные слагаемые:
$\sqrt{(a+1)^2 - 4a} = \sqrt{(a^2 + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2) - 4a} = \sqrt{a^2 + 2a + 1 - 4a} = \sqrt{a^2 - 2a + 1}$.
Выражение под корнем $a^2 - 2a + 1$ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$:
$\sqrt{a^2 - 2a + 1} = \sqrt{(a-1)^2}$.
Согласно свойству арифметического квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$. Применяя это свойство, получаем:
$\sqrt{(a-1)^2} = |a-1|$.
Ответ: $|a-1|$

2) Упростим выражение под корнем. Раскроем скобки по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$ и приведем подобные слагаемые:
$\sqrt{(a-3)^2 + 12a} = \sqrt{(a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2) + 12a} = \sqrt{a^2 - 6a + 9 + 12a} = \sqrt{a^2 + 6a + 9}$.
Выражение под корнем $a^2 + 6a + 9$ представляет собой полный квадрат суммы. Свернем его по формуле $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$:
$\sqrt{a^2 + 6a + 9} = \sqrt{(a+3)^2}$.
Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем окончательный результат:
$\sqrt{(a+3)^2} = |a+3|$.
Ответ: $|a+3|$

3) Упростим подкоренное выражение. Раскроем квадрат разности и приведем подобные члены:
$\sqrt{(a-2)^2 + 8a} = \sqrt{(a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2) + 8a} = \sqrt{a^2 - 4a + 4 + 8a} = \sqrt{a^2 + 4a + 4}$.
Подкоренное выражение $a^2 + 4a + 4$ является полным квадратом суммы. Применим формулу $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$:
$\sqrt{a^2 + 4a + 4} = \sqrt{(a+2)^2}$.
По свойству корня $\sqrt{x^2} = |x|$, имеем:
$\sqrt{(a+2)^2} = |a+2|$.
Ответ: $|a+2|$

4) Упростим выражение под корнем. Раскроем квадрат суммы и приведем подобные слагаемые:
$\sqrt{(2a+3)^2 - 24a} = \sqrt{((2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2) - 24a} = \sqrt{4a^2 + 12a + 9 - 24a} = \sqrt{4a^2 - 12a + 9}$.
Выражение $4a^2 - 12a + 9$ является полным квадратом разности, так как $(2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot 3 + 3^2 = (2a-3)^2$.
$\sqrt{4a^2 - 12a + 9} = \sqrt{(2a-3)^2}$.
Применяя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем:
$\sqrt{(2a-3)^2} = |2a-3|$.
Ответ: $|2a-3|$

4.20. Освободите от иррациональности числитель дроби:

1) $\frac{5 - \sqrt{a}}{2}$ ;

2) $\frac{2 + \sqrt{a}}{2\sqrt{a}}$ ;

3) $\frac{\sqrt{3} + c}{c - \sqrt{3}}$ ;

4) $\frac{8y - \sqrt{5}}{\sqrt{5} - y}$ ;

5) $\frac{3\sqrt{a} - 1}{\sqrt{3} + a}$ ;

6) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}}$ .

1) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{5 - \sqrt{a}}{2}$, нужно умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, то есть на $5 + \sqrt{a}$.

$\frac{5 - \sqrt{a}}{2} = \frac{(5 - \sqrt{a})(5 + \sqrt{a})}{2(5 + \sqrt{a})}$

В числителе используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$:

$(5 - \sqrt{a})(5 + \sqrt{a}) = 5^2 - (\sqrt{a})^2 = 25 - a$.

Преобразуем знаменатель:

$2(5 + \sqrt{a}) = 10 + 2\sqrt{a}$.

В результате получаем дробь:

$\frac{25 - a}{2(5 + \sqrt{a})}$

Ответ: $\frac{25 - a}{2(5 + \sqrt{a})}$.

2) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{2 + \sqrt{a}}{2\sqrt{a}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное числителю выражение $2 - \sqrt{a}$.

$\frac{2 + \sqrt{a}}{2\sqrt{a}} = \frac{(2 + \sqrt{a})(2 - \sqrt{a})}{2\sqrt{a}(2 - \sqrt{a})}$

В числителе применяем формулу разности квадратов:

$(2 + \sqrt{a})(2 - \sqrt{a}) = 2^2 - (\sqrt{a})^2 = 4 - a$.

Преобразуем знаменатель:

$2\sqrt{a}(2 - \sqrt{a}) = 4\sqrt{a} - 2(\sqrt{a})^2 = 4\sqrt{a} - 2a$.

Полученная дробь:

$\frac{4 - a}{4\sqrt{a} - 2a}$

Ответ: $\frac{4 - a}{4\sqrt{a} - 2a}$.

3) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{\sqrt{3} + c}{c - \sqrt{3}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное числителю выражение $\sqrt{3} - c$.

$\frac{\sqrt{3} + c}{c - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3} + c)(\sqrt{3} - c)}{(c - \sqrt{3})(\sqrt{3} - c)}$

В числителе применяем формулу разности квадратов:

$(\sqrt{3} + c)(\sqrt{3} - c) = (\sqrt{3})^2 - c^2 = 3 - c^2$.

Преобразуем знаменатель, раскрыв скобки:

$(c - \sqrt{3})(\sqrt{3} - c) = c\sqrt{3} - c^2 - (\sqrt{3})^2 + c\sqrt{3} = 2c\sqrt{3} - c^2 - 3$.

Полученная дробь:

$\frac{3 - c^2}{2c\sqrt{3} - c^2 - 3}$

Ответ: $\frac{3 - c^2}{2c\sqrt{3} - c^2 - 3}$.

4) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{8y - \sqrt{5}}{\sqrt{5} - y}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное числителю выражение $8y + \sqrt{5}$.

$\frac{8y - \sqrt{5}}{\sqrt{5} - y} = \frac{(8y - \sqrt{5})(8y + \sqrt{5})}{(\sqrt{5} - y)(8y + \sqrt{5})}$

В числителе применяем формулу разности квадратов:

$(8y - \sqrt{5})(8y + \sqrt{5}) = (8y)^2 - (\sqrt{5})^2 = 64y^2 - 5$.

Преобразуем знаменатель, раскрыв скобки:

$(\sqrt{5} - y)(8y + \sqrt{5}) = 8y\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 - 8y^2 - y\sqrt{5} = 7y\sqrt{5} + 5 - 8y^2$.

Полученная дробь:

$\frac{64y^2 - 5}{7y\sqrt{5} - 8y^2 + 5}$

Ответ: $\frac{64y^2 - 5}{7y\sqrt{5} - 8y^2 + 5}$.

5) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{3\sqrt{a} - 1}{\sqrt{3} + a}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное числителю выражение $3\sqrt{a} + 1$.

$\frac{3\sqrt{a} - 1}{\sqrt{3} + a} = \frac{(3\sqrt{a} - 1)(3\sqrt{a} + 1)}{(\sqrt{3} + a)(3\sqrt{a} + 1)}$

В числителе применяем формулу разности квадратов:

$(3\sqrt{a} - 1)(3\sqrt{a} + 1) = (3\sqrt{a})^2 - 1^2 = 9a - 1$.

Преобразуем знаменатель, раскрыв скобки:

$(\sqrt{3} + a)(3\sqrt{a} + 1) = \sqrt{3} \cdot 3\sqrt{a} + \sqrt{3} \cdot 1 + a \cdot 3\sqrt{a} + a \cdot 1 = 3\sqrt{3a} + \sqrt{3} + 3a\sqrt{a} + a$.

Полученная дробь:

$\frac{9a - 1}{3\sqrt{3a} + \sqrt{3} + 3a\sqrt{a} + a}$

Ответ: $\frac{9a - 1}{3\sqrt{3a} + \sqrt{3} + 3a\sqrt{a} + a}$.

6) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}}$, нужно умножить числитель и знаменатель на сам числитель, то есть на $\sqrt{7}$.

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}}{(\sqrt{7} + \sqrt{2})\sqrt{7}}$

Преобразуем числитель:

$\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = (\sqrt{7})^2 = 7$.

Преобразуем знаменатель:

$(\sqrt{7} + \sqrt{2})\sqrt{7} = (\sqrt{7})^2 + \sqrt{2}\sqrt{7} = 7 + \sqrt{14}$.

Полученная дробь:

$\frac{7}{7 + \sqrt{14}}$

Ответ: $\frac{7}{7 + \sqrt{14}}$.