Номер 4.11, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.11. Сократите дробь:

1) $\frac{a-\sqrt{3}}{a^2-3}$;

2) $\frac{b+\sqrt{7}}{b^2-7}$;

3) $\frac{a+\sqrt{3a}}{a-3}$;

4) $\frac{a^2-a\sqrt{5}}{a^2-5}$;

5) $\frac{3\sqrt{x}-2\sqrt{a}}{9x-4a}$;

6) $\frac{7+\sqrt{3c}}{49-3c}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{a-\sqrt{3}}{a^2-3}$, разложим знаменатель на множители. Знаменатель $a^2-3$ можно представить как разность квадратов, так как $3 = (\sqrt{3})^2$. Используя формулу $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, получаем: $a^2-3 = a^2-(\sqrt{3})^2 = (a-\sqrt{3})(a+\sqrt{3})$. Теперь подставим это в исходную дробь: $\frac{a-\sqrt{3}}{(a-\sqrt{3})(a+\sqrt{3})}$. Сокращаем общий множитель $(a-\sqrt{3})$ в числителе и знаменателе. В результате получаем $\frac{1}{a+\sqrt{3}}$. Ответ: $\frac{1}{a+\sqrt{3}}$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{b+\sqrt{7}}{b^2-7}$. Аналогично предыдущему примеру, разложим знаменатель $b^2-7$ на множители по формуле разности квадратов. Так как $7 = (\sqrt{7})^2$, то $b^2-7 = b^2-(\sqrt{7})^2 = (b-\sqrt{7})(b+\sqrt{7})$. Подставим в дробь: $\frac{b+\sqrt{7}}{(b-\sqrt{7})(b+\sqrt{7})}$. Сокращаем общий множитель $(b+\sqrt{7})$ и получаем $\frac{1}{b-\sqrt{7}}$. Ответ: $\frac{1}{b-\sqrt{7}}$.

3) В дроби $\frac{a+\sqrt{3a}}{a-3}$ преобразуем и числитель, и знаменатель. В числителе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{a}$, так как $a = (\sqrt{a})^2$ и $\sqrt{3a}=\sqrt{3}\sqrt{a}$ (при $a \ge 0$). Получаем: $a+\sqrt{3a} = (\sqrt{a})^2 + \sqrt{3}\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{3})$. Знаменатель $a-3$ представим как разность квадратов: $a-3 = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{a}-\sqrt{3})(\sqrt{a}+\sqrt{3})$. Дробь принимает вид: $\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{3})}{(\sqrt{a}-\sqrt{3})(\sqrt{a}+\sqrt{3})}$. Сокращаем общий множитель $(\sqrt{a}+\sqrt{3})$ и получаем $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{3}}$. Ответ: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{3}}$.

4) В дроби $\frac{a^2-a\sqrt{5}}{a^2-5}$ сначала вынесем общий множитель в числителе. $a^2-a\sqrt{5} = a(a-\sqrt{5})$. Знаменатель $a^2-5$ разложим как разность квадратов: $a^2-5 = a^2-(\sqrt{5})^2 = (a-\sqrt{5})(a+\sqrt{5})$. Подставляем преобразованные выражения в дробь: $\frac{a(a-\sqrt{5})}{(a-\sqrt{5})(a+\sqrt{5})}$. Сокращаем общий множитель $(a-\sqrt{5})$ и получаем $\frac{a}{a+\sqrt{5}}$. Ответ: $\frac{a}{a+\sqrt{5}}$.

5) Рассмотрим дробь $\frac{3\sqrt{x}-2\sqrt{a}}{9x-4a}$. Знаменатель $9x-4a$ можно представить как разность квадратов. Заметим, что $9x = (3\sqrt{x})^2$ и $4a = (2\sqrt{a})^2$ (при $x \ge 0, a \ge 0$). Тогда $9x-4a = (3\sqrt{x})^2 - (2\sqrt{a})^2 = (3\sqrt{x}-2\sqrt{a})(3\sqrt{x}+2\sqrt{a})$. Подставим это в знаменатель дроби: $\frac{3\sqrt{x}-2\sqrt{a}}{(3\sqrt{x}-2\sqrt{a})(3\sqrt{x}+2\sqrt{a})}$. Сократив общий множитель $(3\sqrt{x}-2\sqrt{a})$, получим $\frac{1}{3\sqrt{x}+2\sqrt{a}}$. Ответ: $\frac{1}{3\sqrt{x}+2\sqrt{a}}$.

6) В дроби $\frac{7+\sqrt{3c}}{49-3c}$ разложим знаменатель на множители. Знаменатель $49-3c$ является разностью квадратов, так как $49 = 7^2$ и $3c = (\sqrt{3c})^2$ (при $c \ge 0$). Таким образом, $49-3c = 7^2 - (\sqrt{3c})^2 = (7-\sqrt{3c})(7+\sqrt{3c})$. Подставляем в дробь: $\frac{7+\sqrt{3c}}{(7-\sqrt{3c})(7+\sqrt{3c})}$. Сокращаем общий множитель $(7+\sqrt{3c})$ в числителе и знаменателе. В итоге получаем $\frac{1}{7-\sqrt{3c}}$. Ответ: $\frac{1}{7-\sqrt{3c}}$.