Номер 4.17, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.17.

1) $\frac{5a}{\sqrt{5}+2}$;

2) $\frac{2+\sqrt{a}}{2\sqrt{a}};

3) $\frac{15c}{2-\sqrt{3}};

4) $\frac{8y-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-7};

5) $\frac{3\sqrt{a}-1}{\sqrt{3}-\sqrt{a}};

6) $\frac{7}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}.$

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{5a}{\sqrt{5}+2}$, умножим ее числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $\sqrt{5}-2$. Используем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$ для знаменателя.
$\frac{5a}{\sqrt{5}+2} = \frac{5a(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)} = \frac{5a(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{5a(\sqrt{5}-2)}{5-4} = \frac{5a(\sqrt{5}-2)}{1} = 5a(\sqrt{5}-2)$.
Ответ: $5a(\sqrt{5}-2)$.

2) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{2+\sqrt{a}}{2\sqrt{a}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{a}$. При этом предполагается, что $a > 0$.
$\frac{2+\sqrt{a}}{2\sqrt{a}} = \frac{(2+\sqrt{a}) \cdot \sqrt{a}}{2\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{2\sqrt{a} + (\sqrt{a})^2}{2(\sqrt{a})^2} = \frac{2\sqrt{a}+a}{2a}$.
Ответ: $\frac{a+2\sqrt{a}}{2a}$.

3) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{15c}{2-\sqrt{3}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $2+\sqrt{3}$.
$\frac{15c}{2-\sqrt{3}} = \frac{15c(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{15c(2+\sqrt{3})}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{15c(2+\sqrt{3})}{4-3} = \frac{15c(2+\sqrt{3})}{1} = 15c(2+\sqrt{3})$.
Ответ: $15c(2+\sqrt{3})$.

4) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{8y-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-7}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{5}+7$.
$\frac{8y-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-7} = \frac{(8y-\sqrt{5})(\sqrt{5}+7)}{(\sqrt{5}-7)(\sqrt{5}+7)} = \frac{8y\sqrt{5} + 56y - (\sqrt{5})^2 - 7\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2 - 7^2} = \frac{8y\sqrt{5} + 56y - 5 - 7\sqrt{5}}{5-49} = \frac{8y\sqrt{5} + 56y - 5 - 7\sqrt{5}}{-44}$.
Для удобства изменим знак у всей дроби, чтобы знаменатель стал положительным:
$\frac{-(8y\sqrt{5} + 56y - 5 - 7\sqrt{5})}{44} = \frac{5+7\sqrt{5}-56y-8y\sqrt{5}}{44}$.
Ответ: $\frac{5+7\sqrt{5}-56y-8y\sqrt{5}}{44}$.

5) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{3\sqrt{a}-1}{\sqrt{3}-\sqrt{a}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{3}+\sqrt{a}$. При этом $a \ge 0$ и $a \ne 3$.
$\frac{3\sqrt{a}-1}{\sqrt{3}-\sqrt{a}} = \frac{(3\sqrt{a}-1)(\sqrt{3}+\sqrt{a})}{(\sqrt{3}-\sqrt{a})(\sqrt{3}+\sqrt{a})} = \frac{3\sqrt{a}\sqrt{3} + 3\sqrt{a}\sqrt{a} - \sqrt{3} - \sqrt{a}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{a})^2} = \frac{3\sqrt{3a} + 3a - \sqrt{3} - \sqrt{a}}{3-a}$.
Ответ: $\frac{3a+3\sqrt{3a}-\sqrt{a}-\sqrt{3}}{3-a}$.

6) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{7}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{7}-\sqrt{3}$.
$\frac{7}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{7(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{7(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{7(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3} = \frac{7(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4}$.
Ответ: $\frac{7(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4}$.