Номер 4.13, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.13.

1) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{x}}{5-x}$;

2) $\frac{\sqrt{7}+a}{a^2-7}$;

3) $\frac{3\sqrt{x}-5}{25-9x}$;

4) $\frac{5x-6}{\sqrt{6}-\sqrt{5x}}$.

1) Дана дробь $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{x}}{5-x}$.

Для упрощения дроби разложим знаменатель на множители. Знаменатель $5-x$ можно представить как разность квадратов, так как $5 = (\sqrt{5})^2$ и $x = (\sqrt{x})^2$. Это преобразование возможно при условии, что подкоренное выражение неотрицательно, то есть $x \ge 0$.

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$5-x = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{x})^2 = (\sqrt{5}-\sqrt{x})(\sqrt{5}+\sqrt{x})$.

Теперь подставим полученное выражение в знаменатель исходной дроби:

$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{x}}{(\sqrt{5}-\sqrt{x})(\sqrt{5}+\sqrt{x})}$.

Сократим общий множитель $(\sqrt{5}-\sqrt{x})$ в числителе и знаменателе. При этом необходимо учесть область допустимых значений: $x \ge 0$ и знаменатель не равен нулю, т.е. $5-x \neq 0$, откуда $x \neq 5$.

После сокращения получаем:

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{x}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{x}}$.

2) Дана дробь $\frac{\sqrt{7}+a}{a^2-7}$.

Знаменатель дроби $a^2-7$ представляет собой разность квадратов, так как $7 = (\sqrt{7})^2$.

Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$a^2-7 = a^2 - (\sqrt{7})^2 = (a-\sqrt{7})(a+\sqrt{7})$.

Подставим это разложение в знаменатель дроби:

$\frac{\sqrt{7}+a}{(a-\sqrt{7})(a+\sqrt{7})}$.

Числитель дроби $\sqrt{7}+a$ совпадает с одним из множителей в знаменателе, так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется: $\sqrt{7}+a = a+\sqrt{7}$.

Сократим дробь на общий множитель $(a+\sqrt{7})$. Область допустимых значений: $a^2-7 \neq 0$, то есть $a \neq \pm\sqrt{7}$.

$\frac{1}{a-\sqrt{7}}$.

Ответ: $\frac{1}{a-\sqrt{7}}$.

3) Дана дробь $\frac{3\sqrt{x}-5}{25-9x}$.

Рассмотрим знаменатель $25-9x$. Его можно представить в виде разности квадратов, так как $25=5^2$ и $9x=(3\sqrt{x})^2$ (при $x \ge 0$).

Используем формулу разности квадратов:

$25-9x = 5^2 - (3\sqrt{x})^2 = (5-3\sqrt{x})(5+3\sqrt{x})$.

Подставим разложение в знаменатель:

$\frac{3\sqrt{x}-5}{(5-3\sqrt{x})(5+3\sqrt{x})}$.

Заметим, что числитель $3\sqrt{x}-5$ и множитель в знаменателе $5-3\sqrt{x}$ являются противоположными выражениями. Вынесем $-1$ за скобки в числителе:

$3\sqrt{x}-5 = -(5-3\sqrt{x})$.

Перепишем дробь:

$\frac{-(5-3\sqrt{x})}{(5-3\sqrt{x})(5+3\sqrt{x})}$.

Сократим общий множитель $(5-3\sqrt{x})$. Область допустимых значений: $x \ge 0$ и $25-9x \neq 0$, т.е. $x \neq \frac{25}{9}$.

$\frac{-1}{5+3\sqrt{x}}$.

Ответ: $\frac{-1}{5+3\sqrt{x}}$.

4) Дана дробь $\frac{5x-6}{\sqrt{6}-\sqrt{5x}}$.

В этом случае на множители можно разложить числитель $5x-6$, представив его как разность квадратов (при $x \ge 0$):

$5x-6 = (\sqrt{5x})^2 - (\sqrt{6})^2$.

Применим формулу разности квадратов:

$(\sqrt{5x})^2 - (\sqrt{6})^2 = (\sqrt{5x}-\sqrt{6})(\sqrt{5x}+\sqrt{6})$.

Подставим полученное выражение в числитель дроби:

$\frac{(\sqrt{5x}-\sqrt{6})(\sqrt{5x}+\sqrt{6})}{\sqrt{6}-\sqrt{5x}}$.

Множитель в числителе $\sqrt{5x}-\sqrt{6}$ и знаменатель $\sqrt{6}-\sqrt{5x}$ являются противоположными выражениями. Вынесем $-1$ за скобки из множителя в числителе:

$\sqrt{5x}-\sqrt{6} = -(\sqrt{6}-\sqrt{5x})$.

Перепишем дробь:

$\frac{-(\sqrt{6}-\sqrt{5x})(\sqrt{5x}+\sqrt{6})}{\sqrt{6}-\sqrt{5x}}$.

Сократим общий множитель $(\sqrt{6}-\sqrt{5x})$. Область допустимых значений: $x \ge 0$ и $\sqrt{6}-\sqrt{5x} \neq 0$, т.е. $5x \neq 6$, $x \neq \frac{6}{5}$.

$-(\sqrt{5x}+\sqrt{6}) = -\sqrt{5x}-\sqrt{6}$.

Ответ: $-(\sqrt{5x}+\sqrt{6})$.