Номер 4.6, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Выполните действия (4.6–4.8):

4.6.1) $\sqrt{3} \cdot (2\sqrt{27} - \sqrt{12}) - \sqrt{75}$;

2) $\sqrt{75} - 2\sqrt{3} \cdot (3 - 6\sqrt{12}) + 14$;

3) $(3\sqrt{5} - \sqrt{8}) \cdot (\sqrt{8} + 3\sqrt{5}) + \sqrt{48}$;

4) $(5\sqrt{5} - \sqrt{12}) \cdot (2 - \sqrt{5}) + 7\sqrt{3}$.

1)

Для решения выражения $\sqrt{3} \cdot (2\sqrt{27} - \sqrt{12}) - \sqrt{75}$ сначала упростим корни, вынеся множители из-под знака корня.

Шаг 1: Упрощение корней.
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$

Шаг 2: Подстановка упрощенных значений в исходное выражение.
$\sqrt{3} \cdot (2 \cdot 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) - 5\sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot (6\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) - 5\sqrt{3}$

Шаг 3: Выполнение действий в скобках.
$6\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (6-2)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

Шаг 4: Умножение и вычитание.
$\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = 4 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) - 5\sqrt{3} = 4 \cdot 3 - 5\sqrt{3} = 12 - 5\sqrt{3}$

Ответ: $12 - 5\sqrt{3}$

2)

Для решения выражения $\sqrt{75} - 2\sqrt{3} \cdot (3 - 6\sqrt{12}) + 14$ также начнем с упрощения корней.

Шаг 1: Упрощение корней.
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

Шаг 2: Подстановка упрощенных значений.
$5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \cdot (3 - 6 \cdot 2\sqrt{3}) + 14 = 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \cdot (3 - 12\sqrt{3}) + 14$

Шаг 3: Раскрытие скобок.
$5\sqrt{3} - (2\sqrt{3} \cdot 3) - (2\sqrt{3} \cdot (-12\sqrt{3})) + 14 = 5\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 24 \cdot 3 + 14$

Шаг 4: Приведение подобных слагаемых.
$5\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 72 + 14 = (5-6)\sqrt{3} + (72+14) = -\sqrt{3} + 86$

Ответ: $86 - \sqrt{3}$

3)

Решим выражение $(3\sqrt{5} - \sqrt{8}) \cdot (\sqrt{8} + 3\sqrt{5}) + \sqrt{48}$.

Шаг 1: Заметим, что первая часть выражения является произведением разности и суммы двух чисел, $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = 3\sqrt{5}$ и $b = \sqrt{8}$.
$(3\sqrt{5} - \sqrt{8})(3\sqrt{5} + \sqrt{8}) = (3\sqrt{5})^2 - (\sqrt{8})^2$

Шаг 2: Вычислим квадраты.
$(3\sqrt{5})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$
$(\sqrt{8})^2 = 8$
Результат произведения: $45 - 8 = 37$.

Шаг 3: Упростим $\sqrt{48}$.
$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$

Шаг 4: Сложим полученные значения.
$37 + 4\sqrt{3}$

Ответ: $37 + 4\sqrt{3}$

4)

Решим выражение $(5\sqrt{5} - \sqrt{12}) \cdot (2 - \sqrt{5}) + 7\sqrt{3}$.

Шаг 1: Упростим корень $\sqrt{12}$.
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

Шаг 2: Подставим упрощенное значение в выражение.
$(5\sqrt{5} - 2\sqrt{3}) \cdot (2 - \sqrt{5}) + 7\sqrt{3}$

Шаг 3: Раскроем скобки, перемножив их содержимое.
$5\sqrt{5} \cdot 2 + 5\sqrt{5} \cdot (-\sqrt{5}) - 2\sqrt{3} \cdot 2 - 2\sqrt{3} \cdot (-\sqrt{5})$
$= 10\sqrt{5} - 5 \cdot 5 - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{15}$
$= 10\sqrt{5} - 25 - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{15}$

Шаг 4: Добавим оставшийся член и приведем подобные слагаемые.
$10\sqrt{5} - 25 - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{15} + 7\sqrt{3}$
$= 10\sqrt{5} - 25 + (-4+7)\sqrt{3} + 2\sqrt{15}$
$= 10\sqrt{5} - 25 + 3\sqrt{3} + 2\sqrt{15}$

Ответ: $10\sqrt{5} - 25 + 3\sqrt{3} + 2\sqrt{15}$