Номер 4.3, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.3. Вычислите:

1) $\sqrt{(-3)^6}$;

2) $\sqrt{2^2 \cdot (-8)^2}$;

3) $-3\sqrt{(-12)^4}$;

4) $-\sqrt{5^2 \cdot 14^4}$.

1) Для вычисления выражения $\sqrt{(-3)^6}$ воспользуемся свойством квадратного корня $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$. В данном случае $a = -3$ и $2k=6$, значит $k=3$.
$\sqrt{(-3)^6} = |(-3)^3| = |-27| = 27$.
Также можно сначала учесть, что степень чётная, поэтому $(-3)^6 = 3^6$. Тогда выражение принимает вид $\sqrt{3^6}$.
$\sqrt{3^6} = \sqrt{(3^3)^2} = 3^3 = 27$.
Ответ: 27

2) Для вычисления $\sqrt{2^2 \cdot (-8)^2}$ используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$). Так как $2^2 > 0$ и $(-8)^2 > 0$, это свойство применимо.
$\sqrt{2^2 \cdot (-8)^2} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{(-8)^2}$.
Теперь используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.
$\sqrt{2^2} \cdot \sqrt{(-8)^2} = |2| \cdot |-8| = 2 \cdot 8 = 16$.
Ответ: 16

3) В выражении $-3\sqrt{(-12)^4}$ сначала упростим корень. Так как показатель степени 4 — чётное число, то $(-12)^4 = 12^4$.
Выражение можно переписать как $-3\sqrt{12^4}$.
Далее используем свойство $\sqrt{a^{2k}} = a^k$ для $a \ge 0$. Здесь $a=12$ и $2k=4$, значит $k=2$.
$\sqrt{12^4} = \sqrt{(12^2)^2} = 12^2 = 144$.
Теперь умножим полученный результат на коэффициент $-3$:
$-3 \cdot 144 = -432$.
Ответ: -432

4) В выражении $-\sqrt{5^2 \cdot 14^4}$ сначала вычислим значение корня, используя свойство корня из произведения.
$\sqrt{5^2 \cdot 14^4} = \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{14^4}$.
Вычислим каждый множитель отдельно:
$\sqrt{5^2} = |5| = 5$.
$\sqrt{14^4} = \sqrt{(14^2)^2} = |14^2| = 14^2 = 196$.
Результат извлечения корня: $5 \cdot 196 = 980$.
Учитывая знак "минус" перед корнем, получаем окончательный Ответ: $-980$.
Ответ: -980