Номер 4.4, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.4. Сравните значения выражений:

1) $2\sqrt{3}$ и $3\sqrt{2}$;

2) $2\sqrt{5}$ и $3\sqrt{2}$;

3) $\sqrt{23}$ и $2\sqrt{6}$;

4) $\frac{2}{3}\sqrt{72}$ и $13\sqrt{\frac{2}{3}}$.

1) $2\sqrt{3}$ и $3\sqrt{2}$;
Чтобы сравнить значения выражений, необходимо привести их к одинаковому виду, внеся множитель под знак квадратного корня. Для положительных чисел $a$ и $b$ используется формула $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$.
Преобразуем первое выражение:
$2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$.
Преобразуем второе выражение:
$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.
Теперь сравним полученные подкоренные выражения. Так как функция $y = \sqrt{x}$ возрастающая, то чем больше значение подкоренного выражения, тем больше значение самого корня.
Сравниваем: $12 < 18$.
Следовательно, $\sqrt{12} < \sqrt{18}$, а это значит, что $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$.
Ответ: $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$.

2) $2\sqrt{5}$ и $3\sqrt{2}$;
Внесем множители под знак корня для каждого выражения:
$2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$.
$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $20 > 18$.
Отсюда следует, что $\sqrt{20} > \sqrt{18}$, а значит $2\sqrt{5} > 3\sqrt{2}$.
Ответ: $2\sqrt{5} > 3\sqrt{2}$.

3) $\sqrt{23}$ и $2\sqrt{6}$;
Первое выражение уже представлено в виде корня. Внесем множитель под знак корня во втором выражении:
$2\sqrt{6} = \sqrt{2^2 \cdot 6} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{24}$.
Теперь сравним $\sqrt{23}$ и $\sqrt{24}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $23 < 24$.
Следовательно, $\sqrt{23} < \sqrt{24}$, а значит $\sqrt{23} < 2\sqrt{6}$.
Ответ: $\sqrt{23} < 2\sqrt{6}$.

4) $\frac{2}{3}\sqrt{72}$ и $13\sqrt{\frac{2}{3}}$.
Внесем множители под знак корня в обоих выражениях:
Для первого выражения:
$\frac{2}{3}\sqrt{72} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 \cdot 72} = \sqrt{\frac{4}{9} \cdot 72} = \sqrt{4 \cdot \frac{72}{9}} = \sqrt{4 \cdot 8} = \sqrt{32}$.
Для второго выражения:
$13\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{13^2 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{169 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{338}{3}}$.
Теперь сравним подкоренные выражения: $32$ и $\frac{338}{3}$.
Чтобы сравнить числа, представим $\frac{338}{3}$ в виде смешанного числа: $\frac{338}{3} = 112\frac{2}{3}$.
Сравниваем $32$ и $112\frac{2}{3}$: $32 < 112\frac{2}{3}$.
Следовательно, $\sqrt{32} < \sqrt{\frac{338}{3}}$, а значит $\frac{2}{3}\sqrt{72} < 13\sqrt{\frac{2}{3}}$.
Ответ: $\frac{2}{3}\sqrt{72} < 13\sqrt{\frac{2}{3}}$.