Номер 4.21, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.21. Докажите тождество:

1) $\frac{3x - 1}{\sqrt{3x - 1}} - \sqrt{3x} = 1$;

2) $\frac{3x + a}{\sqrt{5x} - \sqrt{a}} + \sqrt{5x} + \sqrt{a} = \frac{8x}{\sqrt{5x} - \sqrt{a}}$.

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: выражение под корнем должно быть неотрицательным ($3x \ge 0$), а знаменатель не должен быть равен нулю ($\sqrt{3x}-1 \ne 0$). Отсюда получаем, что $x \ge 0$ и $x \ne 1/3$.

Представим числитель дроби $3x-1$ в виде разности квадратов, используя формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$3x-1 = (\sqrt{3x})^2 - 1^2 = (\sqrt{3x}-1)(\sqrt{3x}+1)$

Подставим полученное выражение в левую часть исходного равенства:

$\frac{3x-1}{\sqrt{3x}-1} - \sqrt{3x} = \frac{(\sqrt{3x}-1)(\sqrt{3x}+1)}{\sqrt{3x}-1} - \sqrt{3x}$

Так как в области допустимых значений выражение $(\sqrt{3x}-1)$ не равно нулю, мы можем сократить на него дробь:

$(\sqrt{3x}+1) - \sqrt{3x}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\sqrt{3x} + 1 - \sqrt{3x} = 1$

В результате преобразования левая часть тождества стала равна 1, что совпадает с его правой частью. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Для доказательства этого тождества преобразуем его левую часть, приведя все слагаемые к общему знаменателю. ОДЗ определяется условиями: $5x \ge 0$, $a \ge 0$ и $\sqrt{5x}-\sqrt{a} \ne 0$. Это означает, что $x \ge 0$, $a \ge 0$ и $5x \ne a$.

Приведем слагаемые $(\sqrt{5x} + \sqrt{a})$ к общему знаменателю $\sqrt{5x}-\sqrt{a}$:

$\sqrt{5x} + \sqrt{a} = \frac{(\sqrt{5x} + \sqrt{a})(\sqrt{5x}-\sqrt{a})}{\sqrt{5x}-\sqrt{a}}$

В числителе полученной дроби применим формулу разности квадратов $(c+d)(c-d) = c^2-d^2$:

$\frac{(\sqrt{5x})^2 - (\sqrt{a})^2}{\sqrt{5x}-\sqrt{a}} = \frac{5x-a}{\sqrt{5x}-\sqrt{a}}$

Теперь подставим это выражение обратно в левую часть исходного тождества:

$\frac{3x+a}{\sqrt{5x}-\sqrt{a}} + (\sqrt{5x} + \sqrt{a}) = \frac{3x+a}{\sqrt{5x}-\sqrt{a}} + \frac{5x-a}{\sqrt{5x}-\sqrt{a}}$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{(3x+a) + (5x-a)}{\sqrt{5x}-\sqrt{a}} = \frac{3x+a+5x-a}{\sqrt{5x}-\sqrt{a}} = \frac{8x}{\sqrt{5x}-\sqrt{a}}$

Полученное выражение в левой части полностью совпадает с выражением в правой части тождества. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.