Страница 49 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.3. Расположите в порядке возрастания числа:

1) $\sqrt{1,4}$, $\sqrt{9,7}$, $\sqrt{11}$, $3,5$;

2) $0,6$, $\sqrt{\frac{2}{3}}$, $\sqrt{\frac{4}{5}}$, $1,65$;

3) $\sqrt{18}$, $\sqrt{12,3}$, $2\sqrt{3}$, $5$;

4) $\sqrt{12,7}$, $-\sqrt{15,4}$, $-3,8$, $-\sqrt{16,84}$.

1) Для того чтобы сравнить числа $\sqrt{1,4}$, $\sqrt{9,7}$, $\sqrt{11}$ и $3,5$, представим все числа в виде квадратного корня. Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей, поэтому большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня.
Представим $3,5$ в виде корня: $3,5 = \sqrt{3,5^2} = \sqrt{12,25}$.
Теперь сравним подкоренные выражения чисел $\sqrt{1,4}, \sqrt{9,7}, \sqrt{11}, \sqrt{12,25}$.
В порядке возрастания они располагаются так: $1,4 < 9,7 < 11 < 12,25$.
Следовательно, и соответствующие им числа идут в том же порядке: $\sqrt{1,4} < \sqrt{9,7} < \sqrt{11} < \sqrt{12,25}$.
Заменив $\sqrt{12,25}$ на его исходное значение $3,5$, получаем итоговый ряд.
Ответ: $\sqrt{1,4}, \sqrt{9,7}, \sqrt{11}, 3,5$.

2) Для сравнения чисел $0,6$, $\sqrt{\frac{2}{3}}$, $\sqrt{\frac{4}{5}}$ и $1,65$ возведем все числа в квадрат, так как все они положительны (для положительных чисел, если $a > b > 0$, то $a^2 > b^2$).
Вычислим квадраты чисел:
$0,6^2 = 0,36$
$(\sqrt{\frac{2}{3}})^2 = \frac{2}{3} = 0,(6)$
$(\sqrt{\frac{4}{5}})^2 = \frac{4}{5} = 0,8$
$1,65^2 = 2,7225$
Сравним полученные квадраты: $0,36 < 0,(6) < 0,8 < 2,7225$.
Следовательно, исходные числа в порядке возрастания располагаются так: $0,6 < \sqrt{\frac{2}{3}} < \sqrt{\frac{4}{5}} < 1,65$.
Ответ: $0,6, \sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{4}{5}}, 1,65$.

3) Чтобы расположить числа $\sqrt{18}$, $\sqrt{12,3}$, $2\sqrt{3}$ и $5$ в порядке возрастания, приведем их все к виду $\sqrt{a}$ и сравним подкоренные выражения.
$2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$
$5 = \sqrt{5^2} = \sqrt{25}$
Теперь сравним подкоренные выражения чисел $\sqrt{18}$, $\sqrt{12,3}$, $\sqrt{12}$ и $\sqrt{25}$.
В порядке возрастания они располагаются так: $12 < 12,3 < 18 < 25$.
Следовательно, исходные числа в порядке возрастания: $2\sqrt{3} < \sqrt{12,3} < \sqrt{18} < 5$.
Ответ: $2\sqrt{3}, \sqrt{12,3}, \sqrt{18}, 5$.

4) В наборе чисел $\sqrt{12,7}$, $-\sqrt{15,4}$, $-3,8$, $-\sqrt{16,84}$ есть одно положительное число ($\sqrt{12,7}$) и три отрицательных. Положительное число всегда больше любого отрицательного, поэтому $\sqrt{12,7}$ будет самым большим в этом ряду.
Осталось сравнить отрицательные числа: $-\sqrt{15,4}$, $-3,8$, $-\sqrt{16,84}$. Для этого сравним их модули: $\sqrt{15,4}$, $3,8$, $\sqrt{16,84}$. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше.
Для сравнения модулей возведем их в квадрат:
$(\sqrt{15,4})^2 = 15,4$
$3,8^2 = 14,44$
$(\sqrt{16,84})^2 = 16,84$
Сравним квадраты модулей: $14,44 < 15,4 < 16,84$.
Следовательно, сами модули располагаются в том же порядке: $3,8 < \sqrt{15,4} < \sqrt{16,84}$.
Для отрицательных чисел порядок будет обратным: $-\sqrt{16,84} < -\sqrt{15,4} < -3,8$.
Объединив все числа, получаем итоговый ряд в порядке возрастания.
Ответ: $-\sqrt{16,84}, -\sqrt{15,4}, -3,8, \sqrt{12,7}$.

5.4. Установите, принадлежит ли графику функции $y = \sqrt{x}$ точка:

1) A(1,44; 1,2);

2) B(0,3; 0,09);

3) C(0,01; 0,1);

4) M(2,56; 1,6);

5) T(2,25; -1,5).

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции $y = \sqrt{x}$, необходимо подставить координаты точки $(x_0; y_0)$ в уравнение функции и проверить, выполняется ли равенство $y_0 = \sqrt{x_0}$.

1) A(1,44; 1,2);
Подставляем координаты точки A в уравнение функции: $x = 1,44$ и $y = 1,2$.
Получаем равенство: $1,2 = \sqrt{1,44}$.
Чтобы проверить, возведем $1,2$ в квадрат: $1,2^2 = 1,44$.
Так как $1,2^2 = 1,44$, то $\sqrt{1,44} = 1,2$.
Равенство $1,2 = 1,2$ является верным.
Следовательно, точка A принадлежит графику функции.
Ответ: принадлежит.

2) B(0,3; 0,09);
Подставляем координаты точки B в уравнение функции: $x = 0,3$ и $y = 0,09$.
Получаем равенство: $0,09 = \sqrt{0,3}$.
Чтобы проверить, возведем обе части равенства в квадрат: $0,09^2 = (\sqrt{0,3})^2$.
$0,0081 = 0,3$.
Равенство является неверным.
Следовательно, точка B не принадлежит графику функции.
Ответ: не принадлежит.

3) C(0,01; 0,1);
Подставляем координаты точки C в уравнение функции: $x = 0,01$ и $y = 0,1$.
Получаем равенство: $0,1 = \sqrt{0,01}$.
Чтобы проверить, возведем $0,1$ в квадрат: $0,1^2 = 0,01$.
Так как $0,1^2 = 0,01$, то $\sqrt{0,01} = 0,1$.
Равенство $0,1 = 0,1$ является верным.
Следовательно, точка C принадлежит графику функции.
Ответ: принадлежит.

4) M(2,56; 1,6);
Подставляем координаты точки M в уравнение функции: $x = 2,56$ и $y = 1,6$.
Получаем равенство: $1,6 = \sqrt{2,56}$.
Чтобы проверить, возведем $1,6$ в квадрат: $1,6^2 = 2,56$.
Так как $1,6^2 = 2,56$, то $\sqrt{2,56} = 1,6$.
Равенство $1,6 = 1,6$ является верным.
Следовательно, точка M принадлежит графику функции.
Ответ: принадлежит.

5) T(2,25; –1,5).
Подставляем координаты точки T в уравнение функции: $x = 2,25$ и $y = -1,5$.
Получаем равенство: $-1,5 = \sqrt{2,25}$.
По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{x}$) не может быть отрицательным числом. Область значений функции $y=\sqrt{x}$ — это $y \ge 0$.
Так как ордината точки T равна $-1,5$ (отрицательное число), она не может принадлежать графику данной функции.
Проверка вычислением: $\sqrt{2,25} = 1,5$. Равенство $-1,5 = 1,5$ является неверным.
Следовательно, точка T не принадлежит графику функции.
Ответ: не принадлежит.

5.5. Установите графически, пересекаются ли графики функций

$y = \sqrt{x}$ и:

1) $y = 3x - 2$;

2) $y = 0,3x - 2$;

3) $y = 1,25x - 1,2$;

4) $y = -x + 2$.

Чтобы установить графически, пересекаются ли графики функций, построим в одной системе координат график функции $y=\sqrt{x}$ и графики заданных линейных функций.

График функции $y=\sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. Область определения $x \ge 0$, область значений $y \ge 0$. Построим его по характерным точкам: (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3).

1) y = 3x - 2

Построим в той же системе координат прямую $y = 3x - 2$. Для построения прямой достаточно двух точек. Возьмем:

• при $x=1$, $y = 3 \cdot 1 - 2 = 1$. Точка (1; 1).
• при $x=2$, $y = 3 \cdot 2 - 2 = 4$. Точка (2; 4).

Соединим эти точки и получим график прямой.

Из графика видно, что графики пересекаются в одной точке (1; 1).

Ответ: да, графики пересекаются.

2) y = 0,3x - 2

Построим прямую $y = 0,3x - 2$. Возьмем точки:

• при $x=0$, $y = 0,3 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка (0; -2).
• при $x=10$, $y = 0,3 \cdot 10 - 2 = 3 - 2 = 1$. Точка (10; 1).

Построим графики в одной системе координат.

Хотя прямая $y = 0,3x - 2$ имеет небольшой наклон, она растет быстрее, чем функция $y=\sqrt{x}$ при больших значениях $x$. На графике видно, что прямая начинается ниже параболы, но в итоге пересекает ее. Пересечение происходит при $x \approx 22,5$.

Ответ: да, графики пересекаются.

3) y = 1,25x - 1,2

Построим прямую $y = 1,25x - 1,2$. Возьмем точки:

• при $x=0.96$, $y = 1,25 \cdot 0.96 - 1,2 = 0$. Точка (0.96; 0).
• при $x=4$, $y = 1,25 \cdot 4 - 1,2 = 5 - 1,2 = 3.8$. Точка (4; 3.8).

Построим графики в одной системе координат.

Из графика видно, что парабола начинается выше прямой (например, в точке $x=1$, $y_{параболы}=1$, а $y_{прямой}=0,05$). Однако, так как прямая растет быстрее, она в итоге пересекает параболу. Пересечение происходит при $x \approx 2,1$.

Ответ: да, графики пересекаются.

4) y = -x + 2

Построим прямую $y = -x + 2$. Возьмем точки:

• при $x=0$, $y = -0 + 2 = 2$. Точка (0; 2).
• при $x=2$, $y = -2 + 2 = 0$. Точка (2; 0).

Построим графики в одной системе координат.

График функции $y=\sqrt{x}$ является возрастающей функцией, а график $y=-x+2$ — убывающей. Из графика видно, что они пересекаются в одной точке (1; 1).

Ответ: да, графики пересекаются.

5.6. Постройте в одной координатной плоскости графики функций и выясните взаимное расположение этих графиков:

1) $y = \sqrt{x}$ и $y = \sqrt{-x}$;

2) $y = 2\sqrt{x}$ и $y = \sqrt{2x}$;

3) $y = \sqrt{|x|}$ и $y = -\sqrt{x}$;

4) $y = \sqrt{\frac{x}{2}}$ и $y = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}$.

1) $y=\sqrt{x}$ и $y=\sqrt{-x}$

Построим график функции $y=\sqrt{x}$ (на рисунке синим цветом). Область определения этой функции $D(y): x \ge 0$. График представляет собой верхнюю ветвь параболы $x=y^2$ и расположен в первой координатной четверти. Для построения возьмем несколько контрольных точек: (0; 0), (1; 1), (4; 2).
Далее построим график функции $y=\sqrt{-x}$ (на рисунке красным цветом). Область определения этой функции $D(y): -x \ge 0$, то есть $x \le 0$. График расположен во второй координатной четверти. Заметим, что если точка $(a, b)$ с $a \ge 0$ принадлежит графику $y=\sqrt{x}$, то точка $(-a, b)$ принадлежит графику $y=\sqrt{-x}$, так как $y=\sqrt{-(-a)}=\sqrt{a}=b$. Следовательно, график $y=\sqrt{-x}$ можно получить из графика $y=\sqrt{x}$ симметричным отражением относительно оси ординат (оси Oy). Контрольные точки: (0; 0), (-1; 1), (-4; 2).

Графики имеют одну общую точку пересечения в начале координат (0; 0). График функции $y=\sqrt{-x}$ симметричен графику $y=\sqrt{x}$ относительно оси Oy.

Ответ: Графики симметричны относительно оси ординат и пересекаются в точке (0; 0).

2) $y=2\sqrt{x}$ и $y=\sqrt{2x}$

Область определения обеих функций $D(y): x \ge 0$. Оба графика находятся в первой координатной четверти и начинаются в точке (0; 0).
График функции $y=2\sqrt{x}$ (синий) получается из графика $y=\sqrt{x}$ растяжением вдоль оси Oy в 2 раза. Контрольные точки: (0; 0), (1; 2), (4; 4).
График функции $y=\sqrt{2x}$ можно представить как $y=\sqrt{2}\sqrt{x}$ (красный). Он получается из графика $y=\sqrt{x}$ растяжением вдоль оси Oy в $\sqrt{2} \approx 1.414$ раз. Контрольные точки: (0; 0), (2; 2), (8; 4).
Сравним значения функций для $x > 0$: $2\sqrt{x}$ и $\sqrt{2x}$. Возведем оба неотрицательных выражения в квадрат: $(2\sqrt{x})^2 = 4x$ и $(\sqrt{2x})^2 = 2x$. Так как при $x > 0$ выполняется неравенство $4x > 2x$, то и $2\sqrt{x} > \sqrt{2x}$.

Оба графика выходят из начала координат. При $x > 0$ график функции $y=2\sqrt{x}$ расположен выше графика функции $y=\sqrt{2x}$.

Ответ: Оба графика выходят из точки (0; 0) и расположены в первой координатной четверти. График $y=2\sqrt{x}$ лежит выше графика $y=\sqrt{2x}$ при всех $x > 0$.

3) $y=\sqrt{|x|}$ и $y=-\sqrt{x}$

Рассмотрим функцию $y=\sqrt{|x|}$ (синий). Ее область определения $D(y): x \in (-\infty; +\infty)$. При $x \ge 0$, $|x|=x$, и функция принимает вид $y=\sqrt{x}$. При $x < 0$, $|x|=-x$, и функция принимает вид $y=\sqrt{-x}$. Таким образом, график этой функции является объединением графиков из первого задания. Он симметричен относительно оси Oy.
Рассмотрим функцию $y=-\sqrt{x}$ (красный). Ее область определения $D(y): x \ge 0$. График этой функции можно получить из графика $y=\sqrt{x}$ симметричным отражением относительно оси абсцисс (оси Ox). Он расположен в четвертой координатной четверти. Контрольные точки: (0; 0), (1; -1), (4; -2).

Графики имеют одну общую точку (0; 0). График $y=\sqrt{|x|}$ состоит из двух ветвей, расположенных в I и II четвертях и симметричных относительно оси Oy. График $y=-\sqrt{x}$ — это одна ветвь, расположенная в IV четверти. Правая ветвь графика $y=\sqrt{|x|}$ (то есть $y=\sqrt{x}$ при $x \ge 0$) и график $y=-\sqrt{x}$ симметричны относительно оси Ox.

Ответ: Графики пересекаются в точке (0; 0). График $y=\sqrt{|x|}$ состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy. График $y=-\sqrt{x}$ является ветвью, симметричной правой ветви графика $y=\sqrt{|x|}$ относительно оси Ox.

4) $y=\sqrt{\frac{x}{2}}$ и $y=\frac{1}{2}\sqrt{x}$

Область определения обеих функций $D(y): x \ge 0$. Оба графика находятся в первой координатной четверти и начинаются в точке (0; 0).
Преобразуем первую функцию: $y=\sqrt{\frac{x}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{x}$. График этой функции (синий) получается из $y=\sqrt{x}$ растяжением вдоль оси Oy с коэффициентом $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$.
График второй функции $y=\frac{1}{2}\sqrt{x}$ (красный) получается из $y=\sqrt{x}$ растяжением вдоль оси Oy с коэффициентом $\frac{1}{2} = 0.5$.
Так как $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{2}$, то для всех $x>0$ выполняется неравенство $\sqrt{\frac{x}{2}} > \frac{1}{2}\sqrt{x}$.

Оба графика выходят из начала координат. При $x > 0$ график функции $y=\sqrt{\frac{x}{2}}$ расположен выше графика функции $y=\frac{1}{2}\sqrt{x}$.

Ответ: Оба графика выходят из точки (0; 0) и расположены в первой координатной четверти. График $y=\sqrt{\frac{x}{2}}$ лежит выше графика $y=\frac{1}{2}\sqrt{x}$ при всех $x > 0$.

5.7. Решите графическим методом уравнение:

1) $2\sqrt{x} = 1,5$;

2) $\sqrt{x} = 2x - 4$;

3) $\sqrt{x} = 2 - 4x$;

4) $0,4\sqrt{x} = 1 - 2x$.

1) $2\sqrt{x} = 1,5$

Для решения уравнения графическим методом, представим его в виде равенства двух функций. Разделим обе части на 2: $\sqrt{x} = 0,75$. Построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 0,75$.

$y = \sqrt{x}$ — это график ветви параболы, симметричной относительно оси Ox. Область определения $x \ge 0$. График выходит из начала координат (0,0) и проходит через точки (1,1), (4,2).

$y = 0,75$ — это прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку (0; 0,75) на оси Oy.

Построим графики этих функций:

Графики пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки является решением уравнения. Чтобы найти точное значение, решим уравнение аналитически: $\sqrt{x} = 0,75 \implies x = 0,75^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16} = 0,5625$. График подтверждает это значение.

Ответ: $x = 0,5625$.

2) $\sqrt{x} = 2x - 4$

Построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2x - 4$.

$y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, выходящая из начала координат.

$y = 2x - 4$ — прямая. Для ее построения найдем две точки: при $x = 2, y = 2(2) - 4 = 0$. Точка (2, 0). при $x = 4, y = 2(4) - 4 = 4$. Точка (4, 4).

Построим графики:

Графики функций пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки и есть решение уравнения. Из графика видно, что $x$ находится между 2 и 3, примерно $x \approx 2,8$.

Ответ: $x \approx 2,8$.

3) $\sqrt{x} = 2 - 4x$

Построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2 - 4x$.

$y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы.

$y = 2 - 4x$ — прямая. Для ее построения найдем две точки: при $x = 0, y = 2 - 4(0) = 2$. Точка (0, 2). при $x = 0,5, y = 2 - 4(0,5) = 0$. Точка (0.5, 0).

Построим графики:

Графики пересекаются в одной точке. Абсцисса точки пересечения находится в интервале от 0 до 0,5. По графику можно определить, что $x \approx 0,35$.

Ответ: $x \approx 0,35$.

4) $0,4\sqrt{x} = 1 - 2x$

Построим в одной системе координат графики функций $y = 0,4\sqrt{x}$ и $y = 1 - 2x$.

$y = 0,4\sqrt{x}$ — ветвь параболы, сжатая к оси Ox. График проходит через точки (0,0), (1; 0,4).

$y = 1 - 2x$ — прямая. Для ее построения найдем две точки: при $x = 0, y = 1 - 2(0) = 1$. Точка (0, 1). при $x = 0,5, y = 1 - 2(0,5) = 0$. Точка (0.5, 0).

Построим графики:

Графики пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки находится в интервале от 0 до 0,5. Из графика видно, что $x \approx 0,38$.

Ответ: $x \approx 0,38$.

5.8. Вычислите $r$ — радиус шара, если площадь поверхности шара, которую вычислили по формуле $S = 4\pi r^2$, равна:

1) $1296\pi$ дм²;

2) $6.25\pi$ м²;

3) $11.56\pi$ м²;

4) $0.0529\pi$ дм².

Для вычисления радиуса шара $r$ по известной площади его поверхности $S$ используется формула $S = 4\pi r^2$. Из этой формулы можно выразить радиус:

$r^2 = \frac{S}{4\pi}$

$r = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}$

Теперь решим каждый из подпунктов, подставляя заданные значения $S$.

1) Дано, что $S = 1296\pi \text{ дм}^2$.

Подставим это значение в формулу для радиуса:

$r = \sqrt{\frac{1296\pi}{4\pi}} = \sqrt{\frac{1296}{4}} = \sqrt{324} = 18 \text{ дм}$.

Ответ: $r = 18 \text{ дм}$.

2) Дано, что $S = 6,25\pi \text{ м}^2$.

Подставим это значение в формулу для радиуса:

$r = \sqrt{\frac{6,25\pi}{4\pi}} = \sqrt{\frac{6,25}{4}} = \sqrt{1,5625} = 1,25 \text{ м}$.

Ответ: $r = 1,25 \text{ м}$.

3) Дано, что $S = 11,56\pi \text{ м}^2$.

Подставим это значение в формулу для радиуса:

$r = \sqrt{\frac{11,56\pi}{4\pi}} = \sqrt{\frac{11,56}{4}} = \sqrt{2,89} = 1,7 \text{ м}$.

Ответ: $r = 1,7 \text{ м}$.

4) Дано, что $S = 0,0529\pi \text{ дм}^2$.

Подставим это значение в формулу для радиуса:

$r = \sqrt{\frac{0,0529\pi}{4\pi}} = \sqrt{\frac{0,0529}{4}} = \frac{\sqrt{0,0529}}{\sqrt{4}} = \frac{0,23}{2} = 0,115 \text{ дм}$.

Ответ: $r = 0,115 \text{ дм}$.

5.9. Постройте графики функций:

1) $y = \sqrt{x + 2}$;

2) $y = \sqrt{x - 2}$;

3) $y = 2 + \sqrt{x - 1}$;

4) $y = 3 - \sqrt{x + 2}$;

5) $y = 2\sqrt{x + 1}$;

6) $y = \sqrt{x + 1} - 3$;

7) $y = \sqrt{|x|} - 1$;

8) $y = \sqrt{|x - 1|}$.

1) $y = \sqrt{x + 2}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{x + 2}$ возьмем за основу график функции $y = \sqrt{x}$. Это стандартная ветвь параболы, выходящая из начала координат (0,0) и проходящая через точки (1,1), (4,2) и т.д.Преобразование $f(x) \to f(x+a)$ соответствует сдвигу графика функции $f(x)$ вдоль оси Ox на $a$ единиц влево. В нашем случае $a=2$, поэтому мы сдвигаем график $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы влево.Начальная точка графика сместится из (0,0) в точку (-2,0).Другие контрольные точки:

• $x = -1 \implies y = \sqrt{-1+2} = \sqrt{1} = 1$. Точка (-1, 1).
• $x = 2 \implies y = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$. Точка (2, 2).
• $x = 7 \implies y = \sqrt{7+2} = \sqrt{9} = 3$. Точка (7, 3).

Область определения функции: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$. Область значений: $y \ge 0$.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x+2}$ получается сдвигом графика $y=\sqrt{x}$ на 2 единицы влево по оси Ox. Начало графика в точке (-2, 0).

2) $y = \sqrt{x} - 2$

Для построения графика функции $y = \sqrt{x} - 2$ снова используем график $y = \sqrt{x}$.Преобразование $f(x) \to f(x) - c$ соответствует сдвигу графика функции $f(x)$ вдоль оси Oy на $c$ единиц вниз. В данном случае $c=2$, поэтому мы сдвигаем график $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы вниз.Начальная точка графика сместится из (0,0) в точку (0,-2).Другие контрольные точки:

• $x = 1 \implies y = \sqrt{1} - 2 = -1$. Точка (1, -1).
• $x = 4 \implies y = \sqrt{4} - 2 = 0$. Точка (4, 0).
• $x = 9 \implies y = \sqrt{9} - 2 = 1$. Точка (9, 1).

Область определения функции: $x \ge 0$. Область значений: $y \ge -2$.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x}-2$ получается сдвигом графика $y=\sqrt{x}$ на 2 единицы вниз по оси Oy. Начало графика в точке (0, -2).

3) $y = 2 + \sqrt{x - 1}$

Этот график можно получить из графика $y = \sqrt{x}$ двумя последовательными сдвигами:

1. Сдвиг на 1 единицу вправо по оси Ox, чтобы получить $y = \sqrt{x-1}$.
2. Сдвиг на 2 единицы вверх по оси Oy, чтобы получить $y = \sqrt{x-1} + 2$.

Начальная точка графика (0,0) для $y=\sqrt{x}$ сместится в точку (1,0), а затем в точку (1,2).Контрольные точки:

• $x = 2 \implies y = 2 + \sqrt{2-1} = 3$. Точка (2, 3).
• $x = 5 \implies y = 2 + \sqrt{5-1} = 4$. Точка (5, 4).

Область определения: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Область значений: $y \ge 2$.

Ответ: График функции $y = 2 + \sqrt{x - 1}$ получается сдвигом графика $y=\sqrt{x}$ на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх. Начало графика в точке (1, 2).

4) $y = 3 - \sqrt{x + 2}$

Представим функцию в виде $y = -\sqrt{x+2} + 3$. График получаем из $y=\sqrt{x}$ следующими преобразованиями:

1. Сдвиг на 2 единицы влево: $y = \sqrt{x+2}$.
2. Симметричное отражение относительно оси Ox: $y = -\sqrt{x+2}$.
3. Сдвиг на 3 единицы вверх: $y = -\sqrt{x+2} + 3$.

Начальная точка (0,0) смещается в (-2,0), затем отражается (остается на месте), и смещается в (-2,3). Ветви графика теперь направлены вниз.Контрольные точки:

• $x = -1 \implies y = 3 - \sqrt{-1+2} = 2$. Точка (-1, 2).
• $x = 2 \implies y = 3 - \sqrt{2+2} = 1$. Точка (2, 1).
• $x = 7 \implies y = 3 - \sqrt{7+2} = 0$. Точка (7, 0).

Область определения: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$. Область значений: $y \le 3$.

Ответ: График функции $y=3-\sqrt{x+2}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 2 влево, отражением относительно оси Ox и сдвигом на 3 вверх. Начало графика в точке (-2, 3), ветвь направлена вниз.

5) $y = 2\sqrt{x + 1}$

График получаем из $y=\sqrt{x}$ следующими преобразованиями:

1. Сдвиг на 1 единицу влево: $y = \sqrt{x+1}$.
2. Растяжение вдоль оси Oy в 2 раза: $y = 2\sqrt{x+1}$.

Начальная точка (0,0) смещается в (-1,0). Все значения $y$ умножаются на 2.Контрольные точки:

• $x = 0 \implies y = 2\sqrt{0+1} = 2$. Точка (0, 2).
• $x = 3 \implies y = 2\sqrt{3+1} = 4$. Точка (3, 4).

Область определения: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$. Область значений: $y \ge 0$.

Ответ: График функции $y=2\sqrt{x+1}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 1 влево и растяжением в 2 раза вдоль оси Oy. Начало графика в точке (-1, 0).

6) $y = \sqrt{x + 1} - 3$

График получаем из $y=\sqrt{x}$ двумя сдвигами:

1. Сдвиг на 1 единицу влево: $y = \sqrt{x+1}$.
2. Сдвиг на 3 единицы вниз: $y = \sqrt{x+1} - 3$.

Начальная точка (0,0) смещается в (-1,0), а затем в (-1,-3).Контрольные точки:

• $x = 0 \implies y = \sqrt{0+1} - 3 = -2$. Точка (0, -2).
• $x = 3 \implies y = \sqrt{3+1} - 3 = -1$. Точка (3, -1).
• $x = 8 \implies y = \sqrt{8+1} - 3 = 0$. Точка (8, 0).

Область определения: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$. Область значений: $y \ge -3$.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x+1}-3$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 1 влево и на 3 вниз. Начало графика в точке (-1, -3).

7) $y = \sqrt{|x|} - 1$

Для построения этого графика выполним следующие шаги:

1. Строим график $y = \sqrt{x}$ для $x \ge 0$.
2. Для получения графика $y = \sqrt{|x|}$, отражаем построенную часть симметрично относительно оси Oy. Получаем график, симметричный относительно оси Oy, с "вершиной" в точке (0,0).
3. Сдвигаем полученный график на 1 единицу вниз, чтобы получить $y = \sqrt{|x|} - 1$.

Вершина графика сместится в точку (0, -1).Контрольные точки:

• $x = 0 \implies y = \sqrt{0} - 1 = -1$. Точка (0, -1).
• $x = 1 \implies y = \sqrt{1} - 1 = 0$. Точка (1, 0).
• $x = -1 \implies y = \sqrt{|-1|} - 1 = 0$. Точка (-1, 0).
• $x = 4 \implies y = \sqrt{4} - 1 = 1$. Точка (4, 1).
• $x = -4 \implies y = \sqrt{|-4|} - 1 = 1$. Точка (-4, 1).

Область определения: все действительные числа, $\mathbb{R}$. Область значений: $y \ge -1$.

Ответ: График функции $y=\sqrt{|x|}-1$ симметричен относительно оси Oy, его вершина находится в точке (0, -1).

8) $y = \sqrt{|x - 1|}$

Раскроем модуль:

• Если $x-1 \ge 0$ (т.е. $x \ge 1$), то $|x-1| = x-1$, и функция принимает вид $y = \sqrt{x-1}$. Это график $y=\sqrt{x}$, сдвинутый на 1 вправо.
• Если $x-1 < 0$ (т.е. $x < 1$), то $|x-1| = -(x-1) = 1-x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{1-x}$. Это график $y=\sqrt{-x}$ (который симметричен $y=\sqrt{x}$ относительно оси Oy), сдвинутый на 1 вправо.

В результате получаем график, состоящий из двух ветвей, выходящих из точки (1,0) и симметричных относительно вертикальной прямой $x=1$.Контрольные точки:

• $x = 1 \implies y = \sqrt{|1-1|} = 0$. Точка (1, 0).
• $x = 2 \implies y = \sqrt{|2-1|} = 1$. Точка (2, 1).
• $x = 0 \implies y = \sqrt{|0-1|} = 1$. Точка (0, 1).
• $x = 5 \implies y = \sqrt{|5-1|} = 2$. Точка (5, 2).
• $x = -3 \implies y = \sqrt{|-3-1|} = 2$. Точка (-3, 2).

Область определения: все действительные числа, $\mathbb{R}$. Область значений: $y \ge 0$.

Ответ: График функции $y=\sqrt{|x-1|}$ симметричен относительно прямой $x=1$, его вершина находится в точке (1, 0).