Номер 5.3, страница 49 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.3. Расположите в порядке возрастания числа:

1) $\sqrt{1,4}$, $\sqrt{9,7}$, $\sqrt{11}$, $3,5$;

2) $0,6$, $\sqrt{\frac{2}{3}}$, $\sqrt{\frac{4}{5}}$, $1,65$;

3) $\sqrt{18}$, $\sqrt{12,3}$, $2\sqrt{3}$, $5$;

4) $\sqrt{12,7}$, $-\sqrt{15,4}$, $-3,8$, $-\sqrt{16,84}$.

1) Для того чтобы сравнить числа $\sqrt{1,4}$, $\sqrt{9,7}$, $\sqrt{11}$ и $3,5$, представим все числа в виде квадратного корня. Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей, поэтому большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня.
Представим $3,5$ в виде корня: $3,5 = \sqrt{3,5^2} = \sqrt{12,25}$.
Теперь сравним подкоренные выражения чисел $\sqrt{1,4}, \sqrt{9,7}, \sqrt{11}, \sqrt{12,25}$.
В порядке возрастания они располагаются так: $1,4 < 9,7 < 11 < 12,25$.
Следовательно, и соответствующие им числа идут в том же порядке: $\sqrt{1,4} < \sqrt{9,7} < \sqrt{11} < \sqrt{12,25}$.
Заменив $\sqrt{12,25}$ на его исходное значение $3,5$, получаем итоговый ряд.
Ответ: $\sqrt{1,4}, \sqrt{9,7}, \sqrt{11}, 3,5$.

2) Для сравнения чисел $0,6$, $\sqrt{\frac{2}{3}}$, $\sqrt{\frac{4}{5}}$ и $1,65$ возведем все числа в квадрат, так как все они положительны (для положительных чисел, если $a > b > 0$, то $a^2 > b^2$).
Вычислим квадраты чисел:
$0,6^2 = 0,36$
$(\sqrt{\frac{2}{3}})^2 = \frac{2}{3} = 0,(6)$
$(\sqrt{\frac{4}{5}})^2 = \frac{4}{5} = 0,8$
$1,65^2 = 2,7225$
Сравним полученные квадраты: $0,36 < 0,(6) < 0,8 < 2,7225$.
Следовательно, исходные числа в порядке возрастания располагаются так: $0,6 < \sqrt{\frac{2}{3}} < \sqrt{\frac{4}{5}} < 1,65$.
Ответ: $0,6, \sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{4}{5}}, 1,65$.

3) Чтобы расположить числа $\sqrt{18}$, $\sqrt{12,3}$, $2\sqrt{3}$ и $5$ в порядке возрастания, приведем их все к виду $\sqrt{a}$ и сравним подкоренные выражения.
$2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$
$5 = \sqrt{5^2} = \sqrt{25}$
Теперь сравним подкоренные выражения чисел $\sqrt{18}$, $\sqrt{12,3}$, $\sqrt{12}$ и $\sqrt{25}$.
В порядке возрастания они располагаются так: $12 < 12,3 < 18 < 25$.
Следовательно, исходные числа в порядке возрастания: $2\sqrt{3} < \sqrt{12,3} < \sqrt{18} < 5$.
Ответ: $2\sqrt{3}, \sqrt{12,3}, \sqrt{18}, 5$.

4) В наборе чисел $\sqrt{12,7}$, $-\sqrt{15,4}$, $-3,8$, $-\sqrt{16,84}$ есть одно положительное число ($\sqrt{12,7}$) и три отрицательных. Положительное число всегда больше любого отрицательного, поэтому $\sqrt{12,7}$ будет самым большим в этом ряду.
Осталось сравнить отрицательные числа: $-\sqrt{15,4}$, $-3,8$, $-\sqrt{16,84}$. Для этого сравним их модули: $\sqrt{15,4}$, $3,8$, $\sqrt{16,84}$. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше.
Для сравнения модулей возведем их в квадрат:
$(\sqrt{15,4})^2 = 15,4$
$3,8^2 = 14,44$
$(\sqrt{16,84})^2 = 16,84$
Сравним квадраты модулей: $14,44 < 15,4 < 16,84$.
Следовательно, сами модули располагаются в том же порядке: $3,8 < \sqrt{15,4} < \sqrt{16,84}$.
Для отрицательных чисел порядок будет обратным: $-\sqrt{16,84} < -\sqrt{15,4} < -3,8$.
Объединив все числа, получаем итоговый ряд в порядке возрастания.
Ответ: $-\sqrt{16,84}, -\sqrt{15,4}, -3,8, \sqrt{12,7}$.