Номер 5.9, страница 49 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.9. Постройте графики функций:

1) $y = \sqrt{x + 2}$;

2) $y = \sqrt{x - 2}$;

3) $y = 2 + \sqrt{x - 1}$;

4) $y = 3 - \sqrt{x + 2}$;

5) $y = 2\sqrt{x + 1}$;

6) $y = \sqrt{x + 1} - 3$;

7) $y = \sqrt{|x|} - 1$;

8) $y = \sqrt{|x - 1|}$.

1) $y = \sqrt{x + 2}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{x + 2}$ возьмем за основу график функции $y = \sqrt{x}$. Это стандартная ветвь параболы, выходящая из начала координат (0,0) и проходящая через точки (1,1), (4,2) и т.д.Преобразование $f(x) \to f(x+a)$ соответствует сдвигу графика функции $f(x)$ вдоль оси Ox на $a$ единиц влево. В нашем случае $a=2$, поэтому мы сдвигаем график $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы влево.Начальная точка графика сместится из (0,0) в точку (-2,0).Другие контрольные точки:

• $x = -1 \implies y = \sqrt{-1+2} = \sqrt{1} = 1$. Точка (-1, 1).
• $x = 2 \implies y = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$. Точка (2, 2).
• $x = 7 \implies y = \sqrt{7+2} = \sqrt{9} = 3$. Точка (7, 3).

Область определения функции: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$. Область значений: $y \ge 0$.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x+2}$ получается сдвигом графика $y=\sqrt{x}$ на 2 единицы влево по оси Ox. Начало графика в точке (-2, 0).

2) $y = \sqrt{x} - 2$

Для построения графика функции $y = \sqrt{x} - 2$ снова используем график $y = \sqrt{x}$.Преобразование $f(x) \to f(x) - c$ соответствует сдвигу графика функции $f(x)$ вдоль оси Oy на $c$ единиц вниз. В данном случае $c=2$, поэтому мы сдвигаем график $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы вниз.Начальная точка графика сместится из (0,0) в точку (0,-2).Другие контрольные точки:

• $x = 1 \implies y = \sqrt{1} - 2 = -1$. Точка (1, -1).
• $x = 4 \implies y = \sqrt{4} - 2 = 0$. Точка (4, 0).
• $x = 9 \implies y = \sqrt{9} - 2 = 1$. Точка (9, 1).

Область определения функции: $x \ge 0$. Область значений: $y \ge -2$.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x}-2$ получается сдвигом графика $y=\sqrt{x}$ на 2 единицы вниз по оси Oy. Начало графика в точке (0, -2).

3) $y = 2 + \sqrt{x - 1}$

Этот график можно получить из графика $y = \sqrt{x}$ двумя последовательными сдвигами:

1. Сдвиг на 1 единицу вправо по оси Ox, чтобы получить $y = \sqrt{x-1}$.
2. Сдвиг на 2 единицы вверх по оси Oy, чтобы получить $y = \sqrt{x-1} + 2$.

Начальная точка графика (0,0) для $y=\sqrt{x}$ сместится в точку (1,0), а затем в точку (1,2).Контрольные точки:

• $x = 2 \implies y = 2 + \sqrt{2-1} = 3$. Точка (2, 3).
• $x = 5 \implies y = 2 + \sqrt{5-1} = 4$. Точка (5, 4).

Область определения: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Область значений: $y \ge 2$.

Ответ: График функции $y = 2 + \sqrt{x - 1}$ получается сдвигом графика $y=\sqrt{x}$ на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх. Начало графика в точке (1, 2).

4) $y = 3 - \sqrt{x + 2}$

Представим функцию в виде $y = -\sqrt{x+2} + 3$. График получаем из $y=\sqrt{x}$ следующими преобразованиями:

1. Сдвиг на 2 единицы влево: $y = \sqrt{x+2}$.
2. Симметричное отражение относительно оси Ox: $y = -\sqrt{x+2}$.
3. Сдвиг на 3 единицы вверх: $y = -\sqrt{x+2} + 3$.

Начальная точка (0,0) смещается в (-2,0), затем отражается (остается на месте), и смещается в (-2,3). Ветви графика теперь направлены вниз.Контрольные точки:

• $x = -1 \implies y = 3 - \sqrt{-1+2} = 2$. Точка (-1, 2).
• $x = 2 \implies y = 3 - \sqrt{2+2} = 1$. Точка (2, 1).
• $x = 7 \implies y = 3 - \sqrt{7+2} = 0$. Точка (7, 0).

Область определения: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$. Область значений: $y \le 3$.

Ответ: График функции $y=3-\sqrt{x+2}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 2 влево, отражением относительно оси Ox и сдвигом на 3 вверх. Начало графика в точке (-2, 3), ветвь направлена вниз.

5) $y = 2\sqrt{x + 1}$

График получаем из $y=\sqrt{x}$ следующими преобразованиями:

1. Сдвиг на 1 единицу влево: $y = \sqrt{x+1}$.
2. Растяжение вдоль оси Oy в 2 раза: $y = 2\sqrt{x+1}$.

Начальная точка (0,0) смещается в (-1,0). Все значения $y$ умножаются на 2.Контрольные точки:

• $x = 0 \implies y = 2\sqrt{0+1} = 2$. Точка (0, 2).
• $x = 3 \implies y = 2\sqrt{3+1} = 4$. Точка (3, 4).

Область определения: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$. Область значений: $y \ge 0$.

Ответ: График функции $y=2\sqrt{x+1}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 1 влево и растяжением в 2 раза вдоль оси Oy. Начало графика в точке (-1, 0).

6) $y = \sqrt{x + 1} - 3$

График получаем из $y=\sqrt{x}$ двумя сдвигами:

1. Сдвиг на 1 единицу влево: $y = \sqrt{x+1}$.
2. Сдвиг на 3 единицы вниз: $y = \sqrt{x+1} - 3$.

Начальная точка (0,0) смещается в (-1,0), а затем в (-1,-3).Контрольные точки:

• $x = 0 \implies y = \sqrt{0+1} - 3 = -2$. Точка (0, -2).
• $x = 3 \implies y = \sqrt{3+1} - 3 = -1$. Точка (3, -1).
• $x = 8 \implies y = \sqrt{8+1} - 3 = 0$. Точка (8, 0).

Область определения: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$. Область значений: $y \ge -3$.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x+1}-3$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 1 влево и на 3 вниз. Начало графика в точке (-1, -3).

7) $y = \sqrt{|x|} - 1$

Для построения этого графика выполним следующие шаги:

1. Строим график $y = \sqrt{x}$ для $x \ge 0$.
2. Для получения графика $y = \sqrt{|x|}$, отражаем построенную часть симметрично относительно оси Oy. Получаем график, симметричный относительно оси Oy, с "вершиной" в точке (0,0).
3. Сдвигаем полученный график на 1 единицу вниз, чтобы получить $y = \sqrt{|x|} - 1$.

Вершина графика сместится в точку (0, -1).Контрольные точки:

• $x = 0 \implies y = \sqrt{0} - 1 = -1$. Точка (0, -1).
• $x = 1 \implies y = \sqrt{1} - 1 = 0$. Точка (1, 0).
• $x = -1 \implies y = \sqrt{|-1|} - 1 = 0$. Точка (-1, 0).
• $x = 4 \implies y = \sqrt{4} - 1 = 1$. Точка (4, 1).
• $x = -4 \implies y = \sqrt{|-4|} - 1 = 1$. Точка (-4, 1).

Область определения: все действительные числа, $\mathbb{R}$. Область значений: $y \ge -1$.

Ответ: График функции $y=\sqrt{|x|}-1$ симметричен относительно оси Oy, его вершина находится в точке (0, -1).

8) $y = \sqrt{|x - 1|}$

Раскроем модуль:

• Если $x-1 \ge 0$ (т.е. $x \ge 1$), то $|x-1| = x-1$, и функция принимает вид $y = \sqrt{x-1}$. Это график $y=\sqrt{x}$, сдвинутый на 1 вправо.
• Если $x-1 < 0$ (т.е. $x < 1$), то $|x-1| = -(x-1) = 1-x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{1-x}$. Это график $y=\sqrt{-x}$ (который симметричен $y=\sqrt{x}$ относительно оси Oy), сдвинутый на 1 вправо.

В результате получаем график, состоящий из двух ветвей, выходящих из точки (1,0) и симметричных относительно вертикальной прямой $x=1$.Контрольные точки:

• $x = 1 \implies y = \sqrt{|1-1|} = 0$. Точка (1, 0).
• $x = 2 \implies y = \sqrt{|2-1|} = 1$. Точка (2, 1).
• $x = 0 \implies y = \sqrt{|0-1|} = 1$. Точка (0, 1).
• $x = 5 \implies y = \sqrt{|5-1|} = 2$. Точка (5, 2).
• $x = -3 \implies y = \sqrt{|-3-1|} = 2$. Точка (-3, 2).

Область определения: все действительные числа, $\mathbb{R}$. Область значений: $y \ge 0$.

Ответ: График функции $y=\sqrt{|x-1|}$ симметричен относительно прямой $x=1$, его вершина находится в точке (1, 0).