Номер 5.15, страница 51 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.15. Среди следующих уравнений найдите линейные уравнения:

1) $2x - 1 = 0$;

2) $\frac{2}{3}y = \frac{1}{6}$;

3) $2 - 3,5x = 7,4$;

4) $x^2 - 3x = 0$;

5) $x^3 - 5x^2 + 1 = 0$;

6) $2\frac{3}{5}x - 2\frac{5}{6} = 0$;

7) $4 - \sqrt{x} = 0$;

8) $4x - \sqrt{x} = 0$.

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида $ax + b = 0$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты), причем коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$). Основной признак линейного уравнения заключается в том, что переменная в нем содержится только в первой степени. Проанализируем каждое из предложенных уравнений на соответствие этому определению.

1) $2x - 1 = 0$
Это уравнение является линейным. Оно уже представлено в стандартном виде $ax + b = 0$, где коэффициент $a = 2$, а свободный член $b = -1$. Переменная $x$ находится в первой степени.
Ответ: является линейным уравнением.

2) $\frac{2}{3}y = \frac{1}{6}$
Это уравнение является линейным. Чтобы привести его к стандартному виду, перенесем все члены в левую часть: $\frac{2}{3}y - \frac{1}{6} = 0$. Здесь переменная $y$ находится в первой степени, коэффициент $a = \frac{2}{3}$, а свободный член $b = -\frac{1}{6}$.
Ответ: является линейным уравнением.

3) $2 - 3,5x = 7,4$
Это уравнение является линейным. Приведем его к стандартному виду $ax + b = 0$. Перенесем все члены в левую часть: $-3,5x + 2 - 7,4 = 0$, что упрощается до $-3,5x - 5,4 = 0$. Здесь переменная $x$ находится в первой степени, коэффициент $a = -3,5$, а свободный член $b = -5,4$.
Ответ: является линейным уравнением.

4) $x^2 - 3x = 0$
Это уравнение не является линейным, так как оно содержит переменную $x$ во второй степени ($x^2$). Такое уравнение называется квадратным.
Ответ: не является линейным уравнением.

5) $x^3 - 5x^2 + 1 = 0$
Это уравнение не является линейным, так как оно содержит переменную $x$ в третьей ($x^3$) и второй ($x^2$) степенях. Наивысшая степень переменной равна трем, поэтому это кубическое уравнение.
Ответ: не является линейным уравнением.

6) $2\frac{3}{5}x - 2\frac{5}{6} = 0$
Это уравнение является линейным. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{3}{5} = \frac{13}{5}$ и $2\frac{5}{6} = \frac{17}{6}$. Уравнение примет вид $\frac{13}{5}x - \frac{17}{6} = 0$. Оно соответствует стандартному виду $ax + b = 0$, где переменная $x$ в первой степени, $a = \frac{13}{5}$ и $b = -\frac{17}{6}$.
Ответ: является линейным уравнением.

7) $4 - \sqrt{x} = 0$
Это уравнение не является линейным. Оно содержит переменную под знаком квадратного корня, что эквивалентно степени $\frac{1}{2}$ ($x^{1/2}$). В линейном уравнении степень переменной должна быть равна 1.
Ответ: не является линейным уравнением.

8) $4x - \sqrt{x} = 0$
Это уравнение не является линейным. Несмотря на наличие слагаемого $4x$, где переменная в первой степени, присутствие слагаемого с переменной под знаком корня ($\sqrt{x}$) делает все уравнение нелинейным.
Ответ: не является линейным уравнением.

Таким образом, проанализировав все уравнения, мы приходим к выводу, что линейными являются уравнения под номерами 1, 2, 3 и 6.