Номер 5.14, страница 51 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.14. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{a}{\sqrt{a}-2}$;

2) $\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+5}$;

3) $\frac{8}{\sqrt{11}-\sqrt{3}}+\sqrt{3}$;

4) $\frac{3\sqrt{15}+\sqrt{6}}{\sqrt{15}-\sqrt{6}}$.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{a}{\sqrt{a}-2}$, умножим числитель и знаменатель этой дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $\sqrt{a}+2$. В знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.

$\frac{a}{\sqrt{a}-2} = \frac{a(\sqrt{a}+2)}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} = \frac{a\sqrt{a}+2a}{(\sqrt{a})^2 - 2^2} = \frac{a\sqrt{a}+2a}{a-4}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{a}+2a}{a-4}$.

2) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+5}$, умножим ее числитель и знаменатель на сопряженное выражение $2\sqrt{x}-5$.

$\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+5} = \frac{\sqrt{x}(2\sqrt{x}-5)}{(2\sqrt{x}+5)(2\sqrt{x}-5)} = \frac{\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} - 5\sqrt{x}}{(2\sqrt{x})^2 - 5^2} = \frac{2x-5\sqrt{x}}{4x-25}$.

Ответ: $\frac{2x-5\sqrt{x}}{4x-25}$.

3) Данное выражение представляет собой сумму $\frac{8}{\sqrt{11}-\sqrt{3}} + \sqrt{3}$. Сначала избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, умножив ее числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{11}+\sqrt{3}$.

$\frac{8}{\sqrt{11}-\sqrt{3}} = \frac{8(\sqrt{11}+\sqrt{3})}{(\sqrt{11}-\sqrt{3})(\sqrt{11}+\sqrt{3})} = \frac{8(\sqrt{11}+\sqrt{3})}{(\sqrt{11})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{8(\sqrt{11}+\sqrt{3})}{11-3} = \frac{8(\sqrt{11}+\sqrt{3})}{8} = \sqrt{11}+\sqrt{3}$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(\sqrt{11}+\sqrt{3}) + \sqrt{3} = \sqrt{11} + 2\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{11}+2\sqrt{3}$.

4) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{3\sqrt{15}+\sqrt{6}}{\sqrt{15}-\sqrt{6}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $\sqrt{15}+\sqrt{6}$.

Вычислим новый знаменатель: $(\sqrt{15}-\sqrt{6})(\sqrt{15}+\sqrt{6}) = (\sqrt{15})^2 - (\sqrt{6})^2 = 15 - 6 = 9$.

Вычислим новый числитель, перемножив скобки: $(3\sqrt{15}+\sqrt{6})(\sqrt{15}+\sqrt{6}) = 3\sqrt{15}\cdot\sqrt{15} + 3\sqrt{15}\cdot\sqrt{6} + \sqrt{6}\cdot\sqrt{15} + \sqrt{6}\cdot\sqrt{6} = 3\cdot 15 + 3\sqrt{90} + \sqrt{90} + 6$.

Упростим выражение для числителя: $45 + 4\sqrt{90} + 6 = 51 + 4\sqrt{9\cdot 10} = 51 + 4\cdot 3\sqrt{10} = 51 + 12\sqrt{10}$.

Теперь запишем полученную дробь и сократим ее: $\frac{51+12\sqrt{10}}{9} = \frac{3(17+4\sqrt{10})}{9} = \frac{17+4\sqrt{10}}{3}$.

Ответ: $\frac{17+4\sqrt{10}}{3}$.