Номер 5.13, страница 51 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.13. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:

1) $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$;

2) $y = x^2$ и $y = -\sqrt{x}$;

3) $y = x^2 - 2$ и $y = -\sqrt{x}$;

4) $y = -x^2$ и $y = 3x - 4.$

1) Построим графики функций $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$.

График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. Для построения найдем несколько точек: при $x=0, y=0$; при $x=1, y=1$; при $x=-1, y=1$; при $x=2, y=4$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси $Ox$. Область определения функции: $x \ge 0$. Для построения найдем несколько точек: при $x=0, y=0$; при $x=1, y=1$; при $x=4, y=2$.

Чтобы найти точки пересечения графиков, решим уравнение $x^2 = \sqrt{x}$. При $x \ge 0$ можно возвести обе части в квадрат: $x^4 = x$, что равносильно $x^4 - x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x^3 - 1) = 0$. Корни уравнения: $x=0$ и $x=1$. Соответствующие значения $y$ равны $0$ и $1$. Точки пересечения: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Ответ:

2) Построим графики функций $y = x^2$ и $y = -\sqrt{x}$.

График функции $y = x^2$ — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви вверх.

График функции $y = -\sqrt{x}$ — это нижняя ветвь параболы, открывающейся вправо. Область определения: $x \ge 0$. График симметричен графику $y = \sqrt{x}$ относительно оси $Ox$. Точки для построения: $(0, 0)$, $(1, -1)$, $(4, -2)$.

Найдем точки пересечения: $x^2 = -\sqrt{x}$. Левая часть уравнения неотрицательна ($x^2 \ge 0$), а правая — неположительна ($-\sqrt{x} \le 0$). Равенство возможно только если обе части равны нулю. Это происходит при $x=0$, тогда и $y=0$. Единственная точка пересечения — $(0, 0)$.

Ответ:

3) Построим графики функций $y = x^2 - 2$ и $y = -\sqrt{x}$.

График функции $y = x^2 - 2$ — это парабола $y=x^2$, смещенная на 2 единицы вниз по оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$.

График функции $y = -\sqrt{x}$ — нижняя ветвь параболы, открывающейся вправо, с вершиной в $(0,0)$.

Найдем точки пересечения, решив уравнение $x^2 - 2 = -\sqrt{x}$, или $x^2 + \sqrt{x} - 2 = 0$. Подстановкой можно убедиться, что $x=1$ является корнем: $1^2 - 2 = -1$ и $-\sqrt{1} = -1$. Это единственная точка пересечения, так как функция $f(x) = x^2 + \sqrt{x} - 2$ является возрастающей при $x > 0$. Точка пересечения: $(1, -1)$.

Ответ:

4) Построим графики функций $y = -x^2$ и $y = 3x - 4$.

График функции $y = -x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вниз.

График функции $y = 3x - 4$ — это прямая линия. Для построения найдем две точки: при $x=0, y=-4$; при $x=1, y=-1$.

Найдем точки пересечения, решив уравнение $-x^2 = 3x - 4$, или $x^2 + 3x - 4 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.

При $x_1=1, y = -(1)^2 = -1$. Точка пересечения $(1, -1)$.

При $x_2=-4, y = -(-4)^2 = -16$. Точка пересечения $(-4, -16)$.

Ответ: