Номер 5.6, страница 49 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.6. Постройте в одной координатной плоскости графики функций и выясните взаимное расположение этих графиков:

1) $y = \sqrt{x}$ и $y = \sqrt{-x}$;

2) $y = 2\sqrt{x}$ и $y = \sqrt{2x}$;

3) $y = \sqrt{|x|}$ и $y = -\sqrt{x}$;

4) $y = \sqrt{\frac{x}{2}}$ и $y = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}$.

1) $y=\sqrt{x}$ и $y=\sqrt{-x}$

Построим график функции $y=\sqrt{x}$ (на рисунке синим цветом). Область определения этой функции $D(y): x \ge 0$. График представляет собой верхнюю ветвь параболы $x=y^2$ и расположен в первой координатной четверти. Для построения возьмем несколько контрольных точек: (0; 0), (1; 1), (4; 2).
Далее построим график функции $y=\sqrt{-x}$ (на рисунке красным цветом). Область определения этой функции $D(y): -x \ge 0$, то есть $x \le 0$. График расположен во второй координатной четверти. Заметим, что если точка $(a, b)$ с $a \ge 0$ принадлежит графику $y=\sqrt{x}$, то точка $(-a, b)$ принадлежит графику $y=\sqrt{-x}$, так как $y=\sqrt{-(-a)}=\sqrt{a}=b$. Следовательно, график $y=\sqrt{-x}$ можно получить из графика $y=\sqrt{x}$ симметричным отражением относительно оси ординат (оси Oy). Контрольные точки: (0; 0), (-1; 1), (-4; 2).

Графики имеют одну общую точку пересечения в начале координат (0; 0). График функции $y=\sqrt{-x}$ симметричен графику $y=\sqrt{x}$ относительно оси Oy.

Ответ: Графики симметричны относительно оси ординат и пересекаются в точке (0; 0).

2) $y=2\sqrt{x}$ и $y=\sqrt{2x}$

Область определения обеих функций $D(y): x \ge 0$. Оба графика находятся в первой координатной четверти и начинаются в точке (0; 0).
График функции $y=2\sqrt{x}$ (синий) получается из графика $y=\sqrt{x}$ растяжением вдоль оси Oy в 2 раза. Контрольные точки: (0; 0), (1; 2), (4; 4).
График функции $y=\sqrt{2x}$ можно представить как $y=\sqrt{2}\sqrt{x}$ (красный). Он получается из графика $y=\sqrt{x}$ растяжением вдоль оси Oy в $\sqrt{2} \approx 1.414$ раз. Контрольные точки: (0; 0), (2; 2), (8; 4).
Сравним значения функций для $x > 0$: $2\sqrt{x}$ и $\sqrt{2x}$. Возведем оба неотрицательных выражения в квадрат: $(2\sqrt{x})^2 = 4x$ и $(\sqrt{2x})^2 = 2x$. Так как при $x > 0$ выполняется неравенство $4x > 2x$, то и $2\sqrt{x} > \sqrt{2x}$.

Оба графика выходят из начала координат. При $x > 0$ график функции $y=2\sqrt{x}$ расположен выше графика функции $y=\sqrt{2x}$.

Ответ: Оба графика выходят из точки (0; 0) и расположены в первой координатной четверти. График $y=2\sqrt{x}$ лежит выше графика $y=\sqrt{2x}$ при всех $x > 0$.

3) $y=\sqrt{|x|}$ и $y=-\sqrt{x}$

Рассмотрим функцию $y=\sqrt{|x|}$ (синий). Ее область определения $D(y): x \in (-\infty; +\infty)$. При $x \ge 0$, $|x|=x$, и функция принимает вид $y=\sqrt{x}$. При $x < 0$, $|x|=-x$, и функция принимает вид $y=\sqrt{-x}$. Таким образом, график этой функции является объединением графиков из первого задания. Он симметричен относительно оси Oy.
Рассмотрим функцию $y=-\sqrt{x}$ (красный). Ее область определения $D(y): x \ge 0$. График этой функции можно получить из графика $y=\sqrt{x}$ симметричным отражением относительно оси абсцисс (оси Ox). Он расположен в четвертой координатной четверти. Контрольные точки: (0; 0), (1; -1), (4; -2).

Графики имеют одну общую точку (0; 0). График $y=\sqrt{|x|}$ состоит из двух ветвей, расположенных в I и II четвертях и симметричных относительно оси Oy. График $y=-\sqrt{x}$ — это одна ветвь, расположенная в IV четверти. Правая ветвь графика $y=\sqrt{|x|}$ (то есть $y=\sqrt{x}$ при $x \ge 0$) и график $y=-\sqrt{x}$ симметричны относительно оси Ox.

Ответ: Графики пересекаются в точке (0; 0). График $y=\sqrt{|x|}$ состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy. График $y=-\sqrt{x}$ является ветвью, симметричной правой ветви графика $y=\sqrt{|x|}$ относительно оси Ox.

4) $y=\sqrt{\frac{x}{2}}$ и $y=\frac{1}{2}\sqrt{x}$

Область определения обеих функций $D(y): x \ge 0$. Оба графика находятся в первой координатной четверти и начинаются в точке (0; 0).
Преобразуем первую функцию: $y=\sqrt{\frac{x}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{x}$. График этой функции (синий) получается из $y=\sqrt{x}$ растяжением вдоль оси Oy с коэффициентом $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$.
График второй функции $y=\frac{1}{2}\sqrt{x}$ (красный) получается из $y=\sqrt{x}$ растяжением вдоль оси Oy с коэффициентом $\frac{1}{2} = 0.5$.
Так как $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{2}$, то для всех $x>0$ выполняется неравенство $\sqrt{\frac{x}{2}} > \frac{1}{2}\sqrt{x}$.

Оба графика выходят из начала координат. При $x > 0$ график функции $y=\sqrt{\frac{x}{2}}$ расположен выше графика функции $y=\frac{1}{2}\sqrt{x}$.

Ответ: Оба графика выходят из точки (0; 0) и расположены в первой координатной четверти. График $y=\sqrt{\frac{x}{2}}$ лежит выше графика $y=\frac{1}{2}\sqrt{x}$ при всех $x > 0$.