Вопросы, страница 48 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Имеет ли нули функция: $y = \sqrt{x + 1}$; $y = \sqrt{x} - 1$?

2. Сколько решений может иметь уравнение:

а) $\sqrt{x} = m$, если $m \ge 0$;

б) $\sqrt{x} = mx + n$, где $m$ и $n$ некоторые действительные числа?

1. Имеет ли нули функция: $y = \sqrt{x} + 1$; $y = \sqrt{x} - 1$?

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю.

Для функции $y = \sqrt{x} + 1$:

Приравняем функцию к нулю, чтобы найти ее нули: $\sqrt{x} + 1 = 0$.

Выразим $\sqrt{x}$: $\sqrt{x} = -1$.

По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{x}$) не может быть отрицательным числом, то есть $\sqrt{x} \ge 0$ для всех допустимых значений $x$. Так как правая часть уравнения равна -1 (отрицательное число), а левая — неотрицательна, данное уравнение не имеет действительных решений. Следовательно, функция $y = \sqrt{x} + 1$ не имеет нулей.

Для функции $y = \sqrt{x} - 1$:

Приравняем функцию к нулю: $\sqrt{x} - 1 = 0$.

Выразим $\sqrt{x}$: $\sqrt{x} = 1$.

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = 1^2$, откуда получаем $x = 1$.

Это значение принадлежит области определения функции ($x \ge 0$). Таким образом, функция $y = \sqrt{x} - 1$ имеет один нуль.

Ответ: функция $y = \sqrt{x} + 1$ не имеет нулей; функция $y = \sqrt{x} - 1$ имеет один нуль в точке $x = 1$.

2. Сколько решений может иметь уравнение: а) $\sqrt{x} = m$, если $m \ge 0$; б) $\sqrt{x} = mx + n$, где $m$ и $n$ некоторые действительные числа?

а) $\sqrt{x} = m$, если $m \ge 0$

Дано уравнение $\sqrt{x} = m$ с условием, что $m$ — неотрицательное число ($m \ge 0$).

Чтобы найти решение, возведем обе части уравнения в квадрат:$(\sqrt{x})^2 = m^2$

$x = m^2$

Поскольку $m$ — это заданное число, $m^2$ является единственным значением. Для любого заданного $m \ge 0$ уравнение имеет ровно одно решение. Например, если $m=3$, то $x=9$; если $m=0$, то $x=0$.

Ответ: при $m \ge 0$ уравнение всегда имеет ровно одно решение.

б) $\sqrt{x} = mx + n$, где $m$ и $n$ некоторые действительные числа

Количество решений данного уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $y = \sqrt{x}$ (ветвь параболы, выходящая из начала координат) и графика функции $y = mx + n$ (прямая линия). Проанализируем возможные варианты взаимного расположения этих графиков.

• 0 решений: Прямая может не пересекать график корня. Например, если прямая проходит "слишком высоко" ($y = x + 2$) или целиком находится под осью абсцисс ($y = -x - 1$).
• 1 решение: Прямая может касаться графика ($y = x + \frac{1}{4}$) или пересекать его в одной точке. Последнее происходит, например, когда прямая убывает и выходит из положительной части оси ординат ($y = -x + 1$).
• 2 решения: Прямая может пересекать график корня в двух точках. Например, возрастающая прямая, проходящая через начало координат ($y = 0.5x$) или выходящая из положительной части оси ординат, но с достаточно малым наклоном ($y = 0.2x + 0.2$).

Графическая иллюстрация показывает, как прямая $y=mx+n$ может пересекать график $y=\sqrt{x}$ в 0, 1 или 2 точках в зависимости от значений $m$ и $n$.

Таким образом, уравнение может не иметь решений, иметь одно решение или иметь два решения.

Ответ: уравнение может иметь 0, 1 или 2 решения.