Номер 5.5, страница 49 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.5. Установите графически, пересекаются ли графики функций

$y = \sqrt{x}$ и:

1) $y = 3x - 2$;

2) $y = 0,3x - 2$;

3) $y = 1,25x - 1,2$;

4) $y = -x + 2$.

Чтобы установить графически, пересекаются ли графики функций, построим в одной системе координат график функции $y=\sqrt{x}$ и графики заданных линейных функций.

График функции $y=\sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. Область определения $x \ge 0$, область значений $y \ge 0$. Построим его по характерным точкам: (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3).

1) y = 3x - 2

Построим в той же системе координат прямую $y = 3x - 2$. Для построения прямой достаточно двух точек. Возьмем:

• при $x=1$, $y = 3 \cdot 1 - 2 = 1$. Точка (1; 1).
• при $x=2$, $y = 3 \cdot 2 - 2 = 4$. Точка (2; 4).

Соединим эти точки и получим график прямой.

Из графика видно, что графики пересекаются в одной точке (1; 1).

Ответ: да, графики пересекаются.

2) y = 0,3x - 2

Построим прямую $y = 0,3x - 2$. Возьмем точки:

• при $x=0$, $y = 0,3 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка (0; -2).
• при $x=10$, $y = 0,3 \cdot 10 - 2 = 3 - 2 = 1$. Точка (10; 1).

Построим графики в одной системе координат.

Хотя прямая $y = 0,3x - 2$ имеет небольшой наклон, она растет быстрее, чем функция $y=\sqrt{x}$ при больших значениях $x$. На графике видно, что прямая начинается ниже параболы, но в итоге пересекает ее. Пересечение происходит при $x \approx 22,5$.

Ответ: да, графики пересекаются.

3) y = 1,25x - 1,2

Построим прямую $y = 1,25x - 1,2$. Возьмем точки:

• при $x=0.96$, $y = 1,25 \cdot 0.96 - 1,2 = 0$. Точка (0.96; 0).
• при $x=4$, $y = 1,25 \cdot 4 - 1,2 = 5 - 1,2 = 3.8$. Точка (4; 3.8).

Построим графики в одной системе координат.

Из графика видно, что парабола начинается выше прямой (например, в точке $x=1$, $y_{параболы}=1$, а $y_{прямой}=0,05$). Однако, так как прямая растет быстрее, она в итоге пересекает параболу. Пересечение происходит при $x \approx 2,1$.

Ответ: да, графики пересекаются.

4) y = -x + 2

Построим прямую $y = -x + 2$. Возьмем точки:

• при $x=0$, $y = -0 + 2 = 2$. Точка (0; 2).
• при $x=2$, $y = -2 + 2 = 0$. Точка (2; 0).

Построим графики в одной системе координат.

График функции $y=\sqrt{x}$ является возрастающей функцией, а график $y=-x+2$ — убывающей. Из графика видно, что они пересекаются в одной точке (1; 1).

Ответ: да, графики пересекаются.