Номер 5.10, страница 50 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.10*.Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{11 - 6\sqrt{2}} - 2\sqrt{2};$

2) $\sqrt{9 + 4\sqrt{2}} - \sqrt{9 - 4\sqrt{2}} + 2,5;$

3) $2\sqrt{19 - 8\sqrt{3}} - 3\sqrt{19 + 8\sqrt{3}} - 2;$

4) $\sqrt{7+4\sqrt{3}} + \sqrt{7-4\sqrt{3}} - \frac{3}{2-\sqrt{3}} + 2\sqrt{27}.$

1) $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{11 - 6\sqrt{2}} - 2\sqrt{2}$

Для решения этой задачи воспользуемся формулой квадрата суммы и квадрата разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$. Наша цель — представить подкоренные выражения в виде полных квадратов.

Рассмотрим выражение $11 + 6\sqrt{2}$. Мы хотим найти такие $a$ и $b$, что $a^2 + b^2 = 11$ и $2ab = 6\sqrt{2}$. Из второго уравнения получаем $ab = 3\sqrt{2}$. Подбором находим, что $a=3$ и $b=\sqrt{2}$ удовлетворяют обоим условиям: $3^2 + (\sqrt{2})^2 = 9 + 2 = 11$.

Таким образом, $11 + 6\sqrt{2} = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (3 + \sqrt{2})^2$.

Следовательно, $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} = \sqrt{(3 + \sqrt{2})^2} = |3 + \sqrt{2}| = 3 + \sqrt{2}$.

Аналогично для выражения $11 - 6\sqrt{2}$: $11 - 6\sqrt{2} = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (3 - \sqrt{2})^2$.

Следовательно, $\sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = \sqrt{(3 - \sqrt{2})^2} = |3 - \sqrt{2}|$. Поскольку $3 > \sqrt{2}$, выражение $3 - \sqrt{2}$ положительно, и модуль равен самому выражению: $3 - \sqrt{2}$.

Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$(3 + \sqrt{2}) - (3 - \sqrt{2}) - 2\sqrt{2} = 3 + \sqrt{2} - 3 + \sqrt{2} - 2\sqrt{2} = (3-3) + (\sqrt{2}+\sqrt{2}-2\sqrt{2}) = 0 + 0 = 0$.

Ответ: $0$.

2) $\sqrt{9 + 4\sqrt{2}} - \sqrt{9 - 4\sqrt{2}} + 2,5$

Действуем аналогично первому пункту. Представим подкоренные выражения в виде полных квадратов.

Для $9 + 4\sqrt{2}$: ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2 + b^2 = 9$ и $2ab = 4\sqrt{2}$, откуда $ab = 2\sqrt{2}$. Попробуем $a=2\sqrt{2}$ и $b=1$. Проверяем: $(2\sqrt{2})^2 + 1^2 = 8 + 1 = 9$. Условия выполняются.

Значит, $9 + 4\sqrt{2} = (2\sqrt{2} + 1)^2$.

Тогда $\sqrt{9 + 4\sqrt{2}} = \sqrt{(2\sqrt{2} + 1)^2} = |2\sqrt{2} + 1| = 2\sqrt{2} + 1$.

Для $9 - 4\sqrt{2}$: $9 - 4\sqrt{2} = (2\sqrt{2} - 1)^2$.

Тогда $\sqrt{9 - 4\sqrt{2}} = \sqrt{(2\sqrt{2} - 1)^2} = |2\sqrt{2} - 1|$. Поскольку $2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ и $1 = \sqrt{1}$, то $2\sqrt{2} > 1$, значит выражение $2\sqrt{2} - 1$ положительно, и модуль равен $2\sqrt{2} - 1$.

Подставляем полученные значения в исходное выражение:

$(2\sqrt{2} + 1) - (2\sqrt{2} - 1) + 2,5 = 2\sqrt{2} + 1 - 2\sqrt{2} + 1 + 2,5 = (2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) + (1 + 1 + 2,5) = 0 + 4,5 = 4,5$.

Ответ: $4,5$.

3) $2\sqrt{19 - 8\sqrt{3}} - 3\sqrt{19 + 8\sqrt{3}} - 2$

Упростим выражения под корнями.

Для $19 - 8\sqrt{3}$: ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2 + b^2 = 19$ и $2ab = 8\sqrt{3}$, откуда $ab = 4\sqrt{3}$. Попробуем $a=4$ и $b=\sqrt{3}$. Проверяем: $4^2 + (\sqrt{3})^2 = 16 + 3 = 19$. Условия выполняются.

Значит, $19 - 8\sqrt{3} = (4 - \sqrt{3})^2$.

Тогда $\sqrt{19 - 8\sqrt{3}} = \sqrt{(4 - \sqrt{3})^2} = |4 - \sqrt{3}|$. Так как $4 > \sqrt{3}$, выражение $4 - \sqrt{3}$ положительно, и модуль равен $4 - \sqrt{3}$.

Для $19 + 8\sqrt{3}$: $19 + 8\sqrt{3} = (4 + \sqrt{3})^2$.

Тогда $\sqrt{19 + 8\sqrt{3}} = \sqrt{(4 + \sqrt{3})^2} = |4 + \sqrt{3}| = 4 + \sqrt{3}$.

Подставляем упрощенные значения в исходное выражение:

$2(4 - \sqrt{3}) - 3(4 + \sqrt{3}) - 2 = (8 - 2\sqrt{3}) - (12 + 3\sqrt{3}) - 2 = 8 - 2\sqrt{3} - 12 - 3\sqrt{3} - 2$.

Сгруппируем слагаемые: $(8 - 12 - 2) + (-2\sqrt{3} - 3\sqrt{3}) = -6 - 5\sqrt{3}$.

Ответ: $-6 - 5\sqrt{3}$.

4) $\sqrt{7+4\sqrt{3}} + \sqrt{7-4\sqrt{3}} - \frac{3}{2-\sqrt{3}} + 2\sqrt{27}$

Решим задачу по частям, упрощая каждое слагаемое.

1. Упростим $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$. Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2 = 7$ и $2ab = 4\sqrt{3}$, т.е. $ab=2\sqrt{3}$. Подходят $a=2$ и $b=\sqrt{3}$: $2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4+3=7$.

Следовательно, $7+4\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^2$, и $\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3}$.

2. Упростим $\sqrt{7-4\sqrt{3}}$. Аналогично, $7-4\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^2$.

Следовательно, $\sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = |2-\sqrt{3}|$. Так как $2 > \sqrt{3}$, то $2-\sqrt{3} > 0$, и модуль равен $2-\sqrt{3}$.

3. Упростим дробь $\frac{3}{2-\sqrt{3}}$, избавившись от иррациональности в знаменателе. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $2+\sqrt{3}$:

$\frac{3}{2-\sqrt{3}} = \frac{3(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{6+3\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{6+3\sqrt{3}}{4-3} = 6+3\sqrt{3}$.

4. Упростим $2\sqrt{27}$.

$2\sqrt{27} = 2\sqrt{9 \cdot 3} = 2 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

5. Подставим все упрощенные части в исходное выражение:

$(2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) - (6+3\sqrt{3}) + 6\sqrt{3} = 2+\sqrt{3} + 2-\sqrt{3} - 6-3\sqrt{3} + 6\sqrt{3}$.

Сгруппируем и вычислим: $(2+2-6) + (\sqrt{3}-\sqrt{3}-3\sqrt{3}+6\sqrt{3}) = -2 + 3\sqrt{3}$.

Ответ: $-2 + 3\sqrt{3}$.