Номер 5.11, страница 50 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.11. Преобразуйте выражение:

1) $\frac{a\sqrt{a} - c\sqrt{c}}{a + \sqrt{ac} + c} + \sqrt{c}$

2) $\frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} + 3\sqrt{xy}$

3) $\frac{x - 2\sqrt{x} + 1}{x - 1} + \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$

1)

Рассмотрим выражение $ \frac{a\sqrt{a} - c\sqrt{c}}{a + \sqrt{ac} + c} + \sqrt{c} $.

Преобразуем числитель первой дроби, представив его как разность кубов. Учитывая, что $ a = (\sqrt{a})^2 $ и $ c = (\sqrt{c})^2 $, мы можем записать $ a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^3 $ и $ c\sqrt{c} = (\sqrt{c})^3 $. Таким образом, числитель принимает вид $ (\sqrt{a})^3 - (\sqrt{c})^3 $.

Воспользуемся формулой разности кубов $ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) $.

Для наших переменных $ x = \sqrt{a} $ и $ y = \sqrt{c} $ формула выглядит так:
$ (\sqrt{a})^3 - (\sqrt{c})^3 = (\sqrt{a} - \sqrt{c})((\sqrt{a})^2 + \sqrt{a}\sqrt{c} + (\sqrt{c})^2) = (\sqrt{a} - \sqrt{c})(a + \sqrt{ac} + c) $.

Подставим это разложение в исходное выражение:

$ \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{c})(a + \sqrt{ac} + c)}{a + \sqrt{ac} + c} + \sqrt{c} $

Сократим дробь на общий множитель $ (a + \sqrt{ac} + c) $ (который не равен нулю при допустимых значениях $ a \ge 0, c \ge 0 $, за исключением случая $a=c=0$):

$ (\sqrt{a} - \sqrt{c}) + \sqrt{c} $

Приведем подобные члены:

$ \sqrt{a} - \sqrt{c} + \sqrt{c} = \sqrt{a} $

Ответ: $ \sqrt{a} $

2)

Рассмотрим выражение $ \frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} + 3\sqrt{xy} $.

Числитель первой дроби $ x\sqrt{x} + y\sqrt{y} $ можно представить в виде суммы кубов: $ (\sqrt{x})^3 + (\sqrt{y})^3 $.

Применим формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $.

Положив $ a = \sqrt{x} $ и $ b = \sqrt{y} $, получим:
$ (\sqrt{x})^3 + (\sqrt{y})^3 = (\sqrt{x} + \sqrt{y})((\sqrt{x})^2 - \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2) = (\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y) $.

Подставим разложенный числитель в исходное выражение:

$ \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y)}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} + 3\sqrt{xy} $

Сократим дробь на $ (\sqrt{x} + \sqrt{y}) $ (при $ x \ge 0, y \ge 0 $ и не одновременно равных нулю):

$ (x - \sqrt{xy} + y) + 3\sqrt{xy} $

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$ x + y - \sqrt{xy} + 3\sqrt{xy} = x + 2\sqrt{xy} + y $

Полученное выражение является формулой квадрата суммы:

$ x + 2\sqrt{xy} + y = (\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 $.

Ответ: $ (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 $

3)

Рассмотрим выражение $ \frac{x - 2\sqrt{x} + 1}{x - 1} + \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} $.

Преобразуем первую дробь. Ее числитель $ x - 2\sqrt{x} + 1 $ является полным квадратом разности: $ (\sqrt{x} - 1)^2 $.

Знаменатель $ x - 1 $ можно разложить как разность квадратов: $ (\sqrt{x})^2 - 1^2 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) $.

Таким образом, первая дробь равна:

$ \frac{(\sqrt{x} - 1)^2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} $

Сократим эту дробь на $ (\sqrt{x} - 1) $, при условии, что $ x \neq 1 $:

$ \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} $

Теперь подставим упрощенную дробь обратно в исходное выражение:

$ \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} $

Так как знаменатели дробей одинаковы, сложим их числители:

$ \frac{(\sqrt{x} - 1) + (1 - \sqrt{x})}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} - 1 + 1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} $

Упростим числитель:

$ \frac{0}{\sqrt{x} + 1} = 0 $

Ответ: $ 0 $