Номер 5.2, страница 48 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.2. С помощью графика функции $y = \sqrt{x}$ сравните числа:

1) $\sqrt{1,3}$ и $\sqrt{1,9}$;

2) $\sqrt{2,3}$ и $\sqrt{2,7}$;

3) $\sqrt{3,4}$ и $\sqrt{3,41}$;

4) $\sqrt{5,3}$ и $\sqrt{4,39}$;

5) $\sqrt{7}$ и $2,7$.

Для сравнения чисел с помощью графика функции $y = \sqrt{x}$ используется её свойство монотонности. Функция $y = \sqrt{x}$ является строго возрастающей на всей своей области определения, то есть при $x \ge 0$. Это означает, что чем больше значение аргумента $x$, тем больше значение функции $y$. Иными словами, для любых двух неотрицательных чисел $x_1$ и $x_2$, если $x_1 < x_2$, то и $\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}$. Это свойство наглядно демонстрирует график функции:

Применим это свойство для сравнения заданных чисел.

1) Сравнить $\sqrt{1,3}$ и $\sqrt{1,9}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $1,3$ и $1,9$.
Поскольку $1,3 < 1,9$ и функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая, то из меньшего аргумента следует меньшее значение функции. Следовательно, $\sqrt{1,3} < \sqrt{1,9}$.
Ответ: $\sqrt{1,3} < \sqrt{1,9}$.

2) Сравнить $\sqrt{2,3}$ и $\sqrt{2,7}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $2,3$ и $2,7$.
Поскольку $2,3 < 2,7$ и функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая, то $\sqrt{2,3} < \sqrt{2,7}$.
Ответ: $\sqrt{2,3} < \sqrt{2,7}$.

3) Сравнить $\sqrt{3,4}$ и $\sqrt{3,41}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $3,4$ и $3,41$.
Поскольку $3,4 < 3,41$ и функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая, то $\sqrt{3,4} < \sqrt{3,41}$.
Ответ: $\sqrt{3,4} < \sqrt{3,41}$.

4) Сравнить $\sqrt{5,3}$ и $\sqrt{4,39}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $5,3$ и $4,39$.
Поскольку $5,3 > 4,39$ и функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая, то $\sqrt{5,3} > \sqrt{4,39}$.
Ответ: $\sqrt{5,3} > \sqrt{4,39}$.

5) Сравнить $\sqrt{7}$ и $2,7$.
Чтобы использовать свойство функции, представим число $2,7$ в виде квадратного корня. Для этого возведем его в квадрат: $2,7^2 = 7,29$. Таким образом, $2,7 = \sqrt{7,29}$.
Теперь задача сводится к сравнению $\sqrt{7}$ и $\sqrt{7,29}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $7$ и $7,29$.
Поскольку $7 < 7,29$ и функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая, то $\sqrt{7} < \sqrt{7,29}$.
Следовательно, $\sqrt{7} < 2,7$.
Ответ: $\sqrt{7} < 2,7$.