Страница 48 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Имеет ли нули функция: $y = \sqrt{x + 1}$; $y = \sqrt{x} - 1$?

2. Сколько решений может иметь уравнение:

а) $\sqrt{x} = m$, если $m \ge 0$;

б) $\sqrt{x} = mx + n$, где $m$ и $n$ некоторые действительные числа?

1. Имеет ли нули функция: $y = \sqrt{x} + 1$; $y = \sqrt{x} - 1$?

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю.

Для функции $y = \sqrt{x} + 1$:

Приравняем функцию к нулю, чтобы найти ее нули: $\sqrt{x} + 1 = 0$.

Выразим $\sqrt{x}$: $\sqrt{x} = -1$.

По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{x}$) не может быть отрицательным числом, то есть $\sqrt{x} \ge 0$ для всех допустимых значений $x$. Так как правая часть уравнения равна -1 (отрицательное число), а левая — неотрицательна, данное уравнение не имеет действительных решений. Следовательно, функция $y = \sqrt{x} + 1$ не имеет нулей.

Для функции $y = \sqrt{x} - 1$:

Приравняем функцию к нулю: $\sqrt{x} - 1 = 0$.

Выразим $\sqrt{x}$: $\sqrt{x} = 1$.

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = 1^2$, откуда получаем $x = 1$.

Это значение принадлежит области определения функции ($x \ge 0$). Таким образом, функция $y = \sqrt{x} - 1$ имеет один нуль.

Ответ: функция $y = \sqrt{x} + 1$ не имеет нулей; функция $y = \sqrt{x} - 1$ имеет один нуль в точке $x = 1$.

2. Сколько решений может иметь уравнение: а) $\sqrt{x} = m$, если $m \ge 0$; б) $\sqrt{x} = mx + n$, где $m$ и $n$ некоторые действительные числа?

а) $\sqrt{x} = m$, если $m \ge 0$

Дано уравнение $\sqrt{x} = m$ с условием, что $m$ — неотрицательное число ($m \ge 0$).

Чтобы найти решение, возведем обе части уравнения в квадрат:$(\sqrt{x})^2 = m^2$

$x = m^2$

Поскольку $m$ — это заданное число, $m^2$ является единственным значением. Для любого заданного $m \ge 0$ уравнение имеет ровно одно решение. Например, если $m=3$, то $x=9$; если $m=0$, то $x=0$.

Ответ: при $m \ge 0$ уравнение всегда имеет ровно одно решение.

б) $\sqrt{x} = mx + n$, где $m$ и $n$ некоторые действительные числа

Количество решений данного уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $y = \sqrt{x}$ (ветвь параболы, выходящая из начала координат) и графика функции $y = mx + n$ (прямая линия). Проанализируем возможные варианты взаимного расположения этих графиков.

• 0 решений: Прямая может не пересекать график корня. Например, если прямая проходит "слишком высоко" ($y = x + 2$) или целиком находится под осью абсцисс ($y = -x - 1$).
• 1 решение: Прямая может касаться графика ($y = x + \frac{1}{4}$) или пересекать его в одной точке. Последнее происходит, например, когда прямая убывает и выходит из положительной части оси ординат ($y = -x + 1$).
• 2 решения: Прямая может пересекать график корня в двух точках. Например, возрастающая прямая, проходящая через начало координат ($y = 0.5x$) или выходящая из положительной части оси ординат, но с достаточно малым наклоном ($y = 0.2x + 0.2$).

Графическая иллюстрация показывает, как прямая $y=mx+n$ может пересекать график $y=\sqrt{x}$ в 0, 1 или 2 точках в зависимости от значений $m$ и $n$.

Таким образом, уравнение может не иметь решений, иметь одно решение или иметь два решения.

Ответ: уравнение может иметь 0, 1 или 2 решения.

5.1. Используя график функции $y = \sqrt{x}$, найдите:

1) значение $x$, которому соответствует $\sqrt{x} = 2; 3,5; 4; 4,75; 5\frac{3}{4};$

2) значение $\sqrt{x}$ при $x = 1,5; 1,75; 2,4; 5,6; 7; 8,5; 10.$

Для решения задачи используется график функции $y = \sqrt{x}$. График представляет собой ветвь параболы.

1) значение x, которому соответствует $\sqrt{x} = 2; 3,5; 4; 4,75; 5\frac{3}{4}$

Чтобы найти значение $x$ по известному значению $y = \sqrt{x}$, нужно на оси ординат (OY) найти заданное значение $y$, провести от него горизонтальную линию до пересечения с графиком функции $y = \sqrt{x}$, а из точки пересечения опустить перпендикуляр на ось абсцисс (OX). Точка на оси OX и будет искомым значением $x$.
Алгебраически, для нахождения $x$ нужно возвести в квадрат значение $y$, так как из $y = \sqrt{x}$ следует, что $x = y^2$ (при $x \ge 0, y \ge 0$).

- Если $\sqrt{x} = 2$, то $x = 2^2 = 4$. На графике это показано красными пунктирными линиями.
- Если $\sqrt{x} = 3,5$, то $x = (3,5)^2 = 12,25$.
- Если $\sqrt{x} = 4$, то $x = 4^2 = 16$.
- Если $\sqrt{x} = 4,75$, то $x = (4,75)^2 = (\frac{19}{4})^2 = \frac{361}{16} = 22,5625$.
- Если $\sqrt{x} = 5\frac{3}{4} = 5,75$, то $x = (5,75)^2 = (\frac{23}{4})^2 = \frac{529}{16} = 33,0625$.

Ответ: $4; 12,25; 16; 22,5625; 33,0625$.

2) значение $\sqrt{x}$ при $x = 1,5; 1,75; 2,4; 5,6; 7; 8,5; 10$

Чтобы найти значение $\sqrt{x}$ по известному значению $x$, нужно на оси абсцисс (OX) найти заданное значение $x$, провести от него вертикальную линию до пересечения с графиком функции $y = \sqrt{x}$, а из точки пересечения провести перпендикуляр к оси ординат (OY). Точка на оси OY и будет искомым значением $\sqrt{x}$.
Алгебраически, это равносильно вычислению квадратного корня из заданного числа $x$. Используя график, мы находим приближенные значения.

- При $x = 1,5$, значение $\sqrt{1,5} \approx 1,22$.
- При $x = 1,75$, значение $\sqrt{1,75} \approx 1,32$.
- При $x = 2,4$, значение $\sqrt{2,4} \approx 1,55$.
- При $x = 5,6$, значение $\sqrt{5,6} \approx 2,37$.
- При $x = 7$, значение $\sqrt{7} \approx 2,65$. На графике это показано синими пунктирными линиями.
- При $x = 8,5$, значение $\sqrt{8,5} \approx 2,92$.
- При $x = 10$, значение $\sqrt{10} \approx 3,16$.

Ответ: $\approx 1,22; \approx 1,32; \approx 1,55; \approx 2,37; \approx 2,65; \approx 2,92; \approx 3,16$.

5.2. С помощью графика функции $y = \sqrt{x}$ сравните числа:

1) $\sqrt{1,3}$ и $\sqrt{1,9}$;

2) $\sqrt{2,3}$ и $\sqrt{2,7}$;

3) $\sqrt{3,4}$ и $\sqrt{3,41}$;

4) $\sqrt{5,3}$ и $\sqrt{4,39}$;

5) $\sqrt{7}$ и $2,7$.

Для сравнения чисел с помощью графика функции $y = \sqrt{x}$ используется её свойство монотонности. Функция $y = \sqrt{x}$ является строго возрастающей на всей своей области определения, то есть при $x \ge 0$. Это означает, что чем больше значение аргумента $x$, тем больше значение функции $y$. Иными словами, для любых двух неотрицательных чисел $x_1$ и $x_2$, если $x_1 < x_2$, то и $\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}$. Это свойство наглядно демонстрирует график функции:

Применим это свойство для сравнения заданных чисел.

1) Сравнить $\sqrt{1,3}$ и $\sqrt{1,9}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $1,3$ и $1,9$.
Поскольку $1,3 < 1,9$ и функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая, то из меньшего аргумента следует меньшее значение функции. Следовательно, $\sqrt{1,3} < \sqrt{1,9}$.
Ответ: $\sqrt{1,3} < \sqrt{1,9}$.

2) Сравнить $\sqrt{2,3}$ и $\sqrt{2,7}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $2,3$ и $2,7$.
Поскольку $2,3 < 2,7$ и функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая, то $\sqrt{2,3} < \sqrt{2,7}$.
Ответ: $\sqrt{2,3} < \sqrt{2,7}$.

3) Сравнить $\sqrt{3,4}$ и $\sqrt{3,41}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $3,4$ и $3,41$.
Поскольку $3,4 < 3,41$ и функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая, то $\sqrt{3,4} < \sqrt{3,41}$.
Ответ: $\sqrt{3,4} < \sqrt{3,41}$.

4) Сравнить $\sqrt{5,3}$ и $\sqrt{4,39}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $5,3$ и $4,39$.
Поскольку $5,3 > 4,39$ и функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая, то $\sqrt{5,3} > \sqrt{4,39}$.
Ответ: $\sqrt{5,3} > \sqrt{4,39}$.

5) Сравнить $\sqrt{7}$ и $2,7$.
Чтобы использовать свойство функции, представим число $2,7$ в виде квадратного корня. Для этого возведем его в квадрат: $2,7^2 = 7,29$. Таким образом, $2,7 = \sqrt{7,29}$.
Теперь задача сводится к сравнению $\sqrt{7}$ и $\sqrt{7,29}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $7$ и $7,29$.
Поскольку $7 < 7,29$ и функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая, то $\sqrt{7} < \sqrt{7,29}$.
Следовательно, $\sqrt{7} < 2,7$.
Ответ: $\sqrt{7} < 2,7$.