Страница 45 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.35. Докажите тождество:

1) $ \frac{x^3}{x^2-4} - \frac{2}{x+2} - \frac{x}{x-2} - x = -1; $

2) $ \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{3}{x(x+3)}. $

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условиями $x^2 - 4 \neq 0$, $x+2 \neq 0$ и $x-2 \neq 0$, что равносильно $x \neq \pm 2$.

Приведем все слагаемые в левой части к общему знаменателю $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$:

$\frac{x^3}{x^2-4} - \frac{2}{x+2} - \frac{x}{x-2} - x = \frac{x^3}{(x-2)(x+2)} - \frac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)} - \frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{x(x^2-4)}{x^2-4}$

Запишем все под одной дробной чертой и упростим числитель:

$\frac{x^3 - 2(x-2) - x(x+2) - x(x^2-4)}{x^2-4} = \frac{x^3 - 2x + 4 - x^2 - 2x - x^3 + 4x}{x^2-4}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(x^3 - x^3) - x^2 + (-2x - 2x + 4x) + 4 = -x^2 + 4$

Полученное выражение в числителе можно записать как $-(x^2 - 4)$.

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{-(x^2 - 4)}{x^2 - 4} = -1$

Таким образом, левая часть тождества равна $-1$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\frac{x^3}{x^2-4} - \frac{2}{x+2} - \frac{x}{x-2} - x = -1$ доказано.

2) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq -1$, $x \neq -2$, $x \neq -3$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+1)(x+2)(x+3)$:

$\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{(x+2)(x+3)}{x(x+1)(x+2)(x+3)} + \frac{x(x+3)}{x(x+1)(x+2)(x+3)} + \frac{x(x+1)}{x(x+1)(x+2)(x+3)}$

Сложим числители под общей дробной чертой:

$\frac{(x+2)(x+3) + x(x+3) + x(x+1)}{x(x+1)(x+2)(x+3)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$(x^2+3x+2x+6) + (x^2+3x) + (x^2+x) = (x^2+x^2+x^2) + (5x+3x+x) + 6 = 3x^2 + 9x + 6$

Разложим полученный числитель на множители. Сначала вынесем общий множитель 3:

$3(x^2 + 3x + 2)$

Теперь разложим квадратный трехчлен $x^2 + 3x + 2$. Его корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$, поэтому $x^2 + 3x + 2 = (x - (-1))(x - (-2)) = (x+1)(x+2)$.

Таким образом, числитель равен $3(x+1)(x+2)$.

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{3(x+1)(x+2)}{x(x+1)(x+2)(x+3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x+1)(x+2)$ (это возможно, так как в ОДЗ $x \neq -1$ и $x \neq -2$):

$\frac{3}{x(x+3)}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{3}{x(x+3)}$ доказано.

4.36. Решите уравнение:

1) $9x^2 = 25;$

2) $(2y - 1)^2 = 8;$

3) $x^2 - 10x + 25 = 36;$

4) $2x^2 - 16x + 32 = 0.$

1) Дано уравнение $9x^2 = 25$.

Чтобы найти $x^2$, разделим обе части уравнения на 9:

$x^2 = \frac{25}{9}$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей. Следует помнить, что у положительного числа существует два квадратных корня: положительный и отрицательный.

$x = \pm\sqrt{\frac{25}{9}}$

Вычисляем значение корня:

$x = \pm\frac{5}{3}$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = \frac{5}{3}, x_2 = -\frac{5}{3}$.

2) Дано уравнение $(2y - 1)^2 = 8$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$2y - 1 = \pm\sqrt{8}$

Упростим выражение $\sqrt{8}$, вынеся множитель из-под знака корня: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Уравнение принимает вид:

$2y - 1 = \pm 2\sqrt{2}$

Это равенство распадается на два линейных уравнения:

а) $2y - 1 = 2\sqrt{2}$

$2y = 1 + 2\sqrt{2}$

$y_1 = \frac{1 + 2\sqrt{2}}{2}$

б) $2y - 1 = -2\sqrt{2}$

$2y = 1 - 2\sqrt{2}$

$y_2 = \frac{1 - 2\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $y_1 = \frac{1 + 2\sqrt{2}}{2}, y_2 = \frac{1 - 2\sqrt{2}}{2}$.

3) Дано уравнение $x^2 - 10x + 25 = 36$.

Обратим внимание на левую часть уравнения. Выражение $x^2 - 10x + 25$ является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$, где $a=x$ и $b=5$.

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x - 5)^2$

Заменим левую часть уравнения на полученный квадрат разности:

$(x - 5)^2 = 36$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x - 5 = \pm\sqrt{36}$

$x - 5 = \pm 6$

Получаем два случая:

а) $x - 5 = 6 \implies x = 6 + 5 \implies x_1 = 11$

б) $x - 5 = -6 \implies x = -6 + 5 \implies x_2 = -1$

Ответ: $x_1 = 11, x_2 = -1$.

4) Дано уравнение $2x^2 - 16x + 32 = 0$.

Для упрощения уравнения разделим все его члены на общий множитель 2:

$\frac{2x^2}{2} - \frac{16x}{2} + \frac{32}{2} = \frac{0}{2}$

$x^2 - 8x + 16 = 0$

Левая часть этого уравнения также представляет собой полный квадрат разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x - 4)^2$.

Запишем уравнение в новом виде:

$(x - 4)^2 = 0$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$x - 4 = 0$

Отсюда находим x:

$x = 4$

Уравнение имеет один действительный корень.

Ответ: $x = 4$.

4.37. Найдите длину окружности, если она ограничивает круг, площадь которого равна:

1) $25\pi \text{ см}^2$;

2) $15\pi \text{ дм}^2$;

3) $6,25\pi \text{ м}^2$;

4) $225\pi \text{ м}^2$;

5) $4\pi a^2 \text{ см}^2$;

6) $81\pi c^2 \text{ дм}^2$.

1) Для нахождения длины окружности $L$ по известной площади круга $S$, которую она ограничивает, используются две основные формулы: формула площади круга $S = \pi r^2$ и формула длины окружности $L = 2\pi r$, где $r$ – радиус круга.
Сначала из формулы площади найдем радиус. Нам дана площадь $S = 25\pi \text{ см}^2$.
$S = \pi r^2 \implies 25\pi = \pi r^2$
Разделив обе части на $\pi$, получаем:
$r^2 = 25$
$r = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$ (радиус не может быть отрицательным).
Теперь, зная радиус, найдем длину окружности:
$L = 2\pi r = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \text{ см}$.
Ответ: $10\pi \text{ см}$.

2) Дана площадь круга $S = 15\pi \text{ дм}^2$.
Найдем радиус из формулы $S = \pi r^2$:
$15\pi = \pi r^2 \implies r^2 = 15 \implies r = \sqrt{15} \text{ дм}$.
Теперь найдем длину окружности по формуле $L = 2\pi r$:
$L = 2\pi \cdot \sqrt{15} = 2\pi\sqrt{15} \text{ дм}$.
Ответ: $2\pi\sqrt{15} \text{ дм}$.

3) Дана площадь круга $S = 6,25\pi \text{ м}^2$.
Найдем радиус из формулы $S = \pi r^2$:
$6,25\pi = \pi r^2 \implies r^2 = 6,25 \implies r = \sqrt{6,25} = 2,5 \text{ м}$.
Теперь найдем длину окружности по формуле $L = 2\pi r$:
$L = 2\pi \cdot 2,5 = 5\pi \text{ м}$.
Ответ: $5\pi \text{ м}$.

4) Дана площадь круга $S = 225\pi \text{ м}^2$.
Найдем радиус из формулы $S = \pi r^2$:
$225\pi = \pi r^2 \implies r^2 = 225 \implies r = \sqrt{225} = 15 \text{ м}$.
Теперь найдем длину окружности по формуле $L = 2\pi r$:
$L = 2\pi \cdot 15 = 30\pi \text{ м}$.
Ответ: $30\pi \text{ м}$.

5) Дана площадь круга $S = 4\pi a^2 \text{ см}^2$.
Найдем радиус из формулы $S = \pi r^2$. Предполагаем, что $a$ - положительная величина, так как радиус должен быть вещественным.
$4\pi a^2 = \pi r^2 \implies r^2 = 4a^2 \implies r = \sqrt{4a^2} = 2a \text{ см}$.
Теперь найдем длину окружности по формуле $L = 2\pi r$:
$L = 2\pi \cdot (2a) = 4\pi a \text{ см}$.
Ответ: $4\pi a \text{ см}$.

6) Дана площадь круга $S = 81\pi c^2 \text{ дм}^2$.
Найдем радиус из формулы $S = \pi r^2$. Предполагаем, что $c$ - положительная величина.
$81\pi c^2 = \pi r^2 \implies r^2 = 81c^2 \implies r = \sqrt{81c^2} = 9c \text{ дм}$.
Теперь найдем длину окружности по формуле $L = 2\pi r$:
$L = 2\pi \cdot (9c) = 18\pi c \text{ дм}$.
Ответ: $18\pi c \text{ дм}$.

4.38. Автомобилист выехал из го-

рода $M$ в город $N$. На рисун-

ке 6 изображен график его

движения (по вертикальной

оси — расстояние до $N$).

Найдите, пользуясь графи-

ком:

1) с какой скоростью автомобиль ехал первые три часа;

2) через сколько часов после начала движения автомобилист понял, что заблудился, и поехал обратно;

3) с какой скоростью автомобиль возвращался в город $M$;

4) среднюю скорость движения автомобиля.

$S$, км

Расстояние до города

$t$, ч

Рис. 6

Для решения задачи проанализируем представленный график движения. На горизонтальной оси отложено время движения $t$ в часах (ч), а на вертикальной — расстояние $S$ в километрах (км).

В условии задачи сказано, что по вертикальной оси отложено расстояние до города N. Однако, график начинается в точке (0, 0), что означало бы, что автомобиль стартовал из города N. Далее, расстояние увеличивается, что значит, автомобиль удаляется от N. В точке, соответствующей 5 часам, автомобиль разворачивается и едет обратно. В вопросе 3) спрашивается о скорости возвращения в город M. Это указывает на то, что автомобиль вернулся в исходную точку, город M. Следовательно, на графике по вертикальной оси отложено расстояние, пройденное от города M. В дальнейшем будем исходить из этого предположения.

1) с какой скоростью автомобилист ехал первые три часа;

Первый участок графика представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат (0, 0) и точку (5, 300). Это означает, что на этом участке движение было равномерным, то есть с постоянной скоростью. Скорость можно найти как отношение пройденного расстояния ко времени.

За первые 5 часов автомобиль проехал 300 км. Скорость на этом участке равна:$v_1 = \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{300 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 60 \text{ км/ч}$.

Поскольку скорость на первом участке была постоянной, то и в первые три часа она была такой же.
Ответ: 60 км/ч.

2) через сколько часов после начала движения автомобилист понял, что заблудился, и поехал обратно;

Момент, когда автомобилист понял, что заблудился и поехал обратно, соответствует точке на графике, где расстояние от города М перестало увеличиваться и начало уменьшаться. Это точка максимума на графике.

По графику видно, что эта точка имеет координату по оси времени $t=5$ часов.
Ответ: через 5 часов.

3) с какой скоростью автомобилист возвращался в город М;

Возвращение в город М соответствует второму участку графика, который начинается в момент времени $t=5$ ч и заканчивается в $t=8$ ч.

В начале этого участка ($t=5$ ч) автомобиль находился на расстоянии 300 км от города М. В конце участка ($t=8$ ч) расстояние стало равно 0 км.

Таким образом, автомобиль проехал 300 км. Время, затраченное на обратный путь:$\Delta t = 8 \text{ ч} - 5 \text{ ч} = 3 \text{ ч}$.

Скорость на обратном пути:$v_2 = \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{300 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 100 \text{ км/ч}$.
Ответ: 100 км/ч.

4) среднюю скорость движения автомобиля.

Средняя скорость — это отношение всего пройденного пути ко всему времени движения.

Весь путь, пройденный автомобилем, состоит из пути "туда" и пути "обратно":$S_{общ} = 300 \text{ км} + 300 \text{ км} = 600 \text{ км}$.

Все время движения, согласно графику, составляет 8 часов.

Средняя скорость движения:$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{600 \text{ км}}{8 \text{ ч}} = 75 \text{ км/ч}$.
Ответ: 75 км/ч.

4.39. Зависимость между переменными $x$ и $y$ задана таблицей 2. На координатной плоскости постройте точки с координатами $(x; y)$.

Таблица 2

$x$: 0, 0,25, 1, 1,44, 1,96, 4

$y$: 0, 0,5, 1, 1,2, 1,4, 2

Построение точек на координатной плоскости

Для построения точек на координатной плоскости воспользуемся данными из Таблицы 2. Каждому значению $x$ соответствует значение $y$, образуя пару координат $(x; y)$.

Из таблицы получаем следующие точки:

• Точка 1: $(0; 0)$
• Точка 2: $(0,25; 0,5)$
• Точка 3: $(1; 1)$
• Точка 4: $(1,44; 1,2)$
• Точка 5: $(1,96; 1,4)$
• Точка 6: $(4; 2)$

Для построения графика необходимо выполнить следующие шаги:

1. Нарисовать прямоугольную систему координат с осями $Ox$ (ось абсцисс) и $Oy$ (ось ординат), пересекающимися в начале координат — точке $(0; 0)$.
2. Выбрать масштаб и нанести разметку на оси. Учитывая, что максимальное значение $x$ равно 4, а максимальное значение $y$ равно 2, выберем соответствующий диапазон для осей.
3. Отметить каждую точку на плоскости в соответствии с ее координатами. Для точки $(x; y)$ значение $x$ откладывается по горизонтальной оси, а значение $y$ — по вертикальной.

Можно также заметить, что между переменными $x$ и $y$ существует функциональная зависимость $y = \sqrt{x}$, так как для каждой пары чисел из таблицы выполняется это равенство:

• $\sqrt{0} = 0$
• $\sqrt{0,25} = 0,5$
• $\sqrt{1} = 1$
• $\sqrt{1,44} = 1,2$
• $\sqrt{1,96} = 1,4$
• $\sqrt{4} = 2$

Это означает, что все точки лежат на графике функции квадратного корня.

Ответ:

Ниже представлен график с построенными точками в соответствии с данными таблицы.

4.40. Функциональная зависимость задана формулой $y = 3x - x^2$.

Найдите значение $y$, когда независимая переменная $x$ принимает значения: -1; 0,5; 1; 1,2; 2; 2,5.

Для нахождения значения y для каждого заданного значения независимой переменной x, подставим соответствующее значение x в формулу $y = 3x - x^2$.

При x = -1:
Подставляем $x = -1$ в уравнение:
$y = 3 \cdot (-1) - (-1)^2 = -3 - 1 = -4$.
Ответ: -4

При x = 0,5:
Подставляем $x = 0,5$ в уравнение:
$y = 3 \cdot 0,5 - (0,5)^2 = 1,5 - 0,25 = 1,25$.
Ответ: 1,25

При x = 1:
Подставляем $x = 1$ в уравнение:
$y = 3 \cdot 1 - 1^2 = 3 - 1 = 2$.
Ответ: 2

При x = 1,2:
Подставляем $x = 1,2$ в уравнение:
$y = 3 \cdot 1,2 - (1,2)^2 = 3,6 - 1,44 = 2,16$.
Ответ: 2,16

При x = 2:
Подставляем $x = 2$ в уравнение:
$y = 3 \cdot 2 - 2^2 = 6 - 4 = 2$.
Ответ: 2

При x = 2,5:
Подставляем $x = 2,5$ в уравнение:
$y = 3 \cdot 2,5 - (2,5)^2 = 7,5 - 6,25 = 1,25$.
Ответ: 1,25