Страница 51 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.13. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:

1) $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$;

2) $y = x^2$ и $y = -\sqrt{x}$;

3) $y = x^2 - 2$ и $y = -\sqrt{x}$;

4) $y = -x^2$ и $y = 3x - 4.$

1) Построим графики функций $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$.

График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. Для построения найдем несколько точек: при $x=0, y=0$; при $x=1, y=1$; при $x=-1, y=1$; при $x=2, y=4$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси $Ox$. Область определения функции: $x \ge 0$. Для построения найдем несколько точек: при $x=0, y=0$; при $x=1, y=1$; при $x=4, y=2$.

Чтобы найти точки пересечения графиков, решим уравнение $x^2 = \sqrt{x}$. При $x \ge 0$ можно возвести обе части в квадрат: $x^4 = x$, что равносильно $x^4 - x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x^3 - 1) = 0$. Корни уравнения: $x=0$ и $x=1$. Соответствующие значения $y$ равны $0$ и $1$. Точки пересечения: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Ответ:

2) Построим графики функций $y = x^2$ и $y = -\sqrt{x}$.

График функции $y = x^2$ — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви вверх.

График функции $y = -\sqrt{x}$ — это нижняя ветвь параболы, открывающейся вправо. Область определения: $x \ge 0$. График симметричен графику $y = \sqrt{x}$ относительно оси $Ox$. Точки для построения: $(0, 0)$, $(1, -1)$, $(4, -2)$.

Найдем точки пересечения: $x^2 = -\sqrt{x}$. Левая часть уравнения неотрицательна ($x^2 \ge 0$), а правая — неположительна ($-\sqrt{x} \le 0$). Равенство возможно только если обе части равны нулю. Это происходит при $x=0$, тогда и $y=0$. Единственная точка пересечения — $(0, 0)$.

Ответ:

3) Построим графики функций $y = x^2 - 2$ и $y = -\sqrt{x}$.

График функции $y = x^2 - 2$ — это парабола $y=x^2$, смещенная на 2 единицы вниз по оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$.

График функции $y = -\sqrt{x}$ — нижняя ветвь параболы, открывающейся вправо, с вершиной в $(0,0)$.

Найдем точки пересечения, решив уравнение $x^2 - 2 = -\sqrt{x}$, или $x^2 + \sqrt{x} - 2 = 0$. Подстановкой можно убедиться, что $x=1$ является корнем: $1^2 - 2 = -1$ и $-\sqrt{1} = -1$. Это единственная точка пересечения, так как функция $f(x) = x^2 + \sqrt{x} - 2$ является возрастающей при $x > 0$. Точка пересечения: $(1, -1)$.

Ответ:

4) Построим графики функций $y = -x^2$ и $y = 3x - 4$.

График функции $y = -x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вниз.

График функции $y = 3x - 4$ — это прямая линия. Для построения найдем две точки: при $x=0, y=-4$; при $x=1, y=-1$.

Найдем точки пересечения, решив уравнение $-x^2 = 3x - 4$, или $x^2 + 3x - 4 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.

При $x_1=1, y = -(1)^2 = -1$. Точка пересечения $(1, -1)$.

При $x_2=-4, y = -(-4)^2 = -16$. Точка пересечения $(-4, -16)$.

Ответ:

5.14. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{a}{\sqrt{a}-2}$;

2) $\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+5}$;

3) $\frac{8}{\sqrt{11}-\sqrt{3}}+\sqrt{3}$;

4) $\frac{3\sqrt{15}+\sqrt{6}}{\sqrt{15}-\sqrt{6}}$.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{a}{\sqrt{a}-2}$, умножим числитель и знаменатель этой дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $\sqrt{a}+2$. В знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.

$\frac{a}{\sqrt{a}-2} = \frac{a(\sqrt{a}+2)}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} = \frac{a\sqrt{a}+2a}{(\sqrt{a})^2 - 2^2} = \frac{a\sqrt{a}+2a}{a-4}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{a}+2a}{a-4}$.

2) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+5}$, умножим ее числитель и знаменатель на сопряженное выражение $2\sqrt{x}-5$.

$\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+5} = \frac{\sqrt{x}(2\sqrt{x}-5)}{(2\sqrt{x}+5)(2\sqrt{x}-5)} = \frac{\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} - 5\sqrt{x}}{(2\sqrt{x})^2 - 5^2} = \frac{2x-5\sqrt{x}}{4x-25}$.

Ответ: $\frac{2x-5\sqrt{x}}{4x-25}$.

3) Данное выражение представляет собой сумму $\frac{8}{\sqrt{11}-\sqrt{3}} + \sqrt{3}$. Сначала избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, умножив ее числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{11}+\sqrt{3}$.

$\frac{8}{\sqrt{11}-\sqrt{3}} = \frac{8(\sqrt{11}+\sqrt{3})}{(\sqrt{11}-\sqrt{3})(\sqrt{11}+\sqrt{3})} = \frac{8(\sqrt{11}+\sqrt{3})}{(\sqrt{11})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{8(\sqrt{11}+\sqrt{3})}{11-3} = \frac{8(\sqrt{11}+\sqrt{3})}{8} = \sqrt{11}+\sqrt{3}$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(\sqrt{11}+\sqrt{3}) + \sqrt{3} = \sqrt{11} + 2\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{11}+2\sqrt{3}$.

4) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{3\sqrt{15}+\sqrt{6}}{\sqrt{15}-\sqrt{6}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $\sqrt{15}+\sqrt{6}$.

Вычислим новый знаменатель: $(\sqrt{15}-\sqrt{6})(\sqrt{15}+\sqrt{6}) = (\sqrt{15})^2 - (\sqrt{6})^2 = 15 - 6 = 9$.

Вычислим новый числитель, перемножив скобки: $(3\sqrt{15}+\sqrt{6})(\sqrt{15}+\sqrt{6}) = 3\sqrt{15}\cdot\sqrt{15} + 3\sqrt{15}\cdot\sqrt{6} + \sqrt{6}\cdot\sqrt{15} + \sqrt{6}\cdot\sqrt{6} = 3\cdot 15 + 3\sqrt{90} + \sqrt{90} + 6$.

Упростим выражение для числителя: $45 + 4\sqrt{90} + 6 = 51 + 4\sqrt{9\cdot 10} = 51 + 4\cdot 3\sqrt{10} = 51 + 12\sqrt{10}$.

Теперь запишем полученную дробь и сократим ее: $\frac{51+12\sqrt{10}}{9} = \frac{3(17+4\sqrt{10})}{9} = \frac{17+4\sqrt{10}}{3}$.

Ответ: $\frac{17+4\sqrt{10}}{3}$.

5.15. Среди следующих уравнений найдите линейные уравнения:

1) $2x - 1 = 0$;

2) $\frac{2}{3}y = \frac{1}{6}$;

3) $2 - 3,5x = 7,4$;

4) $x^2 - 3x = 0$;

5) $x^3 - 5x^2 + 1 = 0$;

6) $2\frac{3}{5}x - 2\frac{5}{6} = 0$;

7) $4 - \sqrt{x} = 0$;

8) $4x - \sqrt{x} = 0$.

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида $ax + b = 0$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты), причем коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$). Основной признак линейного уравнения заключается в том, что переменная в нем содержится только в первой степени. Проанализируем каждое из предложенных уравнений на соответствие этому определению.

1) $2x - 1 = 0$
Это уравнение является линейным. Оно уже представлено в стандартном виде $ax + b = 0$, где коэффициент $a = 2$, а свободный член $b = -1$. Переменная $x$ находится в первой степени.
Ответ: является линейным уравнением.

2) $\frac{2}{3}y = \frac{1}{6}$
Это уравнение является линейным. Чтобы привести его к стандартному виду, перенесем все члены в левую часть: $\frac{2}{3}y - \frac{1}{6} = 0$. Здесь переменная $y$ находится в первой степени, коэффициент $a = \frac{2}{3}$, а свободный член $b = -\frac{1}{6}$.
Ответ: является линейным уравнением.

3) $2 - 3,5x = 7,4$
Это уравнение является линейным. Приведем его к стандартному виду $ax + b = 0$. Перенесем все члены в левую часть: $-3,5x + 2 - 7,4 = 0$, что упрощается до $-3,5x - 5,4 = 0$. Здесь переменная $x$ находится в первой степени, коэффициент $a = -3,5$, а свободный член $b = -5,4$.
Ответ: является линейным уравнением.

4) $x^2 - 3x = 0$
Это уравнение не является линейным, так как оно содержит переменную $x$ во второй степени ($x^2$). Такое уравнение называется квадратным.
Ответ: не является линейным уравнением.

5) $x^3 - 5x^2 + 1 = 0$
Это уравнение не является линейным, так как оно содержит переменную $x$ в третьей ($x^3$) и второй ($x^2$) степенях. Наивысшая степень переменной равна трем, поэтому это кубическое уравнение.
Ответ: не является линейным уравнением.

6) $2\frac{3}{5}x - 2\frac{5}{6} = 0$
Это уравнение является линейным. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{3}{5} = \frac{13}{5}$ и $2\frac{5}{6} = \frac{17}{6}$. Уравнение примет вид $\frac{13}{5}x - \frac{17}{6} = 0$. Оно соответствует стандартному виду $ax + b = 0$, где переменная $x$ в первой степени, $a = \frac{13}{5}$ и $b = -\frac{17}{6}$.
Ответ: является линейным уравнением.

7) $4 - \sqrt{x} = 0$
Это уравнение не является линейным. Оно содержит переменную под знаком квадратного корня, что эквивалентно степени $\frac{1}{2}$ ($x^{1/2}$). В линейном уравнении степень переменной должна быть равна 1.
Ответ: не является линейным уравнением.

8) $4x - \sqrt{x} = 0$
Это уравнение не является линейным. Несмотря на наличие слагаемого $4x$, где переменная в первой степени, присутствие слагаемого с переменной под знаком корня ($\sqrt{x}$) делает все уравнение нелинейным.
Ответ: не является линейным уравнением.

Таким образом, проанализировав все уравнения, мы приходим к выводу, что линейными являются уравнения под номерами 1, 2, 3 и 6.

5.16. Найдите степень многочлена:

1) $2x^3 + x - 1;$

2) $\frac{2}{3}y^2 - \frac{1}{6}y;$

3) $2,1 - 3,5x;$

4) $x^2 - 3x^4 + x - 2;$

5) $x^3 - 5x^2;$

6) $2\frac{3}{5}x^2 - x^5 - 2\frac{5}{6};$

7) $4xy - x^2y + 3xy^4;$

8) $4xy - y^5x + 1.$

1) $2x^3 + x - 1$

Степенью многочлена называется наибольшая из степеней его одночленов (членов). Данный многочлен состоит из трех членов: $2x^3$, $x$ и $-1$.

Степень одночлена $2x^3$ равна 3 (показатель степени переменной $x$).

Степень одночлена $x$ (можно записать как $x^1$) равна 1.

Степень свободного члена $-1$ равна 0.

Наибольшая из степеней (3, 1, 0) равна 3. Таким образом, степень многочлена равна 3.

Ответ: 3

2) $\frac{2}{3}y^2 - \frac{1}{6}y$

Многочлен состоит из членов $\frac{2}{3}y^2$ и $-\frac{1}{6}y$.

Степень члена $\frac{2}{3}y^2$ равна 2.

Степень члена $-\frac{1}{6}y$ равна 1.

Наибольшая степень равна 2, поэтому степень всего многочлена равна 2.

Ответ: 2

3) $2,1 - 3,5x$

Многочлен состоит из членов $2,1$ и $-3,5x$.

Степень члена $2,1$ (свободного члена) равна 0.

Степень члена $-3,5x$ равна 1.

Наибольшая степень равна 1, поэтому степень многочлена равна 1.

Ответ: 1

4) $x^2 - 3x^4 + x - 2$

Члены многочлена: $x^2$, $-3x^4$, $x$, $-2$.

Их степени соответственно равны: 2, 4, 1, 0.

Наибольшая из этих степеней - 4. Значит, степень многочлена равна 4.

Ответ: 4

5) $x^3 - 5x^2$

Члены многочлена: $x^3$ и $-5x^2$.

Их степени равны 3 и 2.

Наибольшая степень равна 3. Значит, степень многочлена равна 3.

Ответ: 3

6) $2\frac{3}{5}x^2 - x^5 - 2\frac{5}{6}$

Члены многочлена: $2\frac{3}{5}x^2$, $-x^5$, $-2\frac{5}{6}$.

Их степени соответственно равны: 2, 5, 0.

Наибольшая из этих степеней - 5. Следовательно, степень многочлена равна 5.

Ответ: 5

7) $4xy - x^2y + 3xy^4$

Для одночленов с несколькими переменными степенью является сумма показателей степеней всех переменных. Члены многочлена: $4xy$, $-x^2y$, $3xy^4$.

Степень члена $4xy$ (т.е. $4x^1y^1$) равна $1 + 1 = 2$.

Степень члена $-x^2y$ (т.е. $-x^2y^1$) равна $2 + 1 = 3$.

Степень члена $3xy^4$ (т.е. $3x^1y^4$) равна $1 + 4 = 5$.

Наибольшая из степеней (2, 3, 5) равна 5. Значит, степень многочлена равна 5.

Ответ: 5

8) $4xy - y^5x + 1$

Члены многочлена: $4xy$, $-y^5x$, $1$.

Степень члена $4xy$ (т.е. $4x^1y^1$) равна $1 + 1 = 2$.

Степень члена $-y^5x$ (т.е. $-x^1y^5$) равна $1 + 5 = 6$.

Степень члена $1$ равна 0.

Наибольшая из степеней (2, 6, 0) равна 6. Следовательно, степень многочлена равна 6.

Ответ: 6

5.17. Среди следующих многочленов найдите двучлены и трехчлены:

1) $x^2 + x - 4;$

2) $1 - 5x + 5x^2 + 3x^3;$

3) $2,1 - 3,5x;$

4) $x^2 - 3x - 2;$

5) $\frac{2}{3}y - 1;$

6) $2\frac{3}{5}x^2 - x - 2\frac{5}{6};$

7) $4xy - x^2y + 3xy^4;$

8) $4xy - y^5x + 1.$

Чтобы решить задачу, определим, что такое двучлен и трехчлен. Двучлен — это многочлен, который является суммой или разностью двух одночленов (членов). Трехчлен — это многочлен, который является суммой или разностью трех одночленов (членов). Для каждого выражения посчитаем количество его членов, чтобы классифицировать его.

1) Многочлен $x^2 + x - 4$ состоит из трех членов: $x^2$, $x$ и $-4$. Следовательно, это трехчлен.
Ответ: трехчлен.

2) Многочлен $1 - 5x + 5x^2 + 3x^3$ состоит из четырех членов: $1$, $-5x$, $5x^2$ и $3x^3$. Так как количество членов не равно двум или трем, он не является ни двучленом, ни трехчленом.
Ответ: не является ни двучленом, ни трехчленом.

3) Многочлен $2,1 - 3,5x$ состоит из двух членов: $2,1$ и $-3,5x$. Следовательно, это двучлен.
Ответ: двучлен.

4) Многочлен $x^2 - 3x - 2$ состоит из трех членов: $x^2$, $-3x$ и $-2$. Следовательно, это трехчлен.
Ответ: трехчлен.

5) Многочлен $\frac{2}{3}y - 1$ состоит из двух членов: $\frac{2}{3}y$ и $-1$. Следовательно, это двучлен.
Ответ: двучлен.

6) Многочлен $2\frac{3}{5}x^2 - x - 2\frac{5}{6}$ состоит из трех членов: $2\frac{3}{5}x^2$, $-x$ и $-2\frac{5}{6}$. Следовательно, это трехчлен.
Ответ: трехчлен.

7) Многочлен $4xy - x^2y + 3xy^4$ состоит из трех членов. Одночлены $4xy$, $-x^2y$ и $3xy^4$ не являются подобными, так как их буквенные части различны. Следовательно, это трехчлен.
Ответ: трехчлен.

8) Многочлен $4xy - y^5x + 1$ состоит из трех членов. Одночлены $4xy$, $-y^5x$ (что эквивалентно $-xy^5$) и $1$ не являются подобными. Следовательно, это трехчлен.
Ответ: трехчлен.

5.18. Верно ли, что значение выражения:

1) $$x^2+3x$$ при $x = -3, x = 0$ равно нулю;

2) $$2x^2-5x+1$$ при $x = -1, x = 0$ отлично от нуля?

1) Чтобы проверить, верно ли утверждение, нужно подставить заданные значения $x$ в выражение $x^2 + 3x$.
При $x = -3$ значение выражения будет: $(-3)^2 + 3 \cdot (-3) = 9 - 9 = 0$.
При $x = 0$ значение выражения будет: $0^2 + 3 \cdot 0 = 0 + 0 = 0$.
Так как в обоих случаях значение выражения равно нулю, утверждение является верным.
Ответ: да, верно.

2) Чтобы проверить, верно ли утверждение, нужно подставить заданные значения $x$ в выражение $2x^2 - 5x + 1$.
При $x = -1$ значение выражения будет: $2 \cdot (-1)^2 - 5 \cdot (-1) + 1 = 2 \cdot 1 + 5 + 1 = 8$.
При $x = 0$ значение выражения будет: $2 \cdot 0^2 - 5 \cdot 0 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$.
Так как в обоих случаях значение выражения не равно нулю ($8 \neq 0$ и $1 \neq 0$), утверждение является верным.
Ответ: да, верно.