Страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.29. Упростите выражение:

1) $\sqrt{17 - 4\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}}$;

2) $\sqrt{28 - 16\sqrt{3}} $;

3) $\sqrt{17 + \sqrt{288}} $;

4) $\sqrt{a - 2\sqrt{a - 1}} $ при $a \geq 2$.

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt{17 - 4\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}}$, начнем с самого внутреннего радикала: $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}$. Постараемся представить подкоренное выражение в виде полного квадрата, используя формулу $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$. Перепишем $9 + 4\sqrt{5}$ как $9 + 2 \cdot 2\sqrt{5}$. Можно предположить, что $2xy = 2 \cdot 2\sqrt{5}$, откуда $x=2$ и $y=\sqrt{5}$. Проверим, сходится ли сумма квадратов: $x^2+y^2 = 2^2 + (\sqrt{5})^2 = 4+5=9$. Это соответствует действительности. Значит, $9+4\sqrt{5} = (2+\sqrt{5})^2$.
Тогда $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{(2+\sqrt{5})^2} = |2+\sqrt{5}| = 2+\sqrt{5}$.
Подставим это обратно в исходное выражение:$\sqrt{17 - 4(2+\sqrt{5})} = \sqrt{17 - 8 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$.
Снова применим тот же метод. Представим $9 - 4\sqrt{5}$ в виде полного квадрата $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.$9 - 4\sqrt{5} = 9 - 2 \cdot 2\sqrt{5}$. Снова $x=2, y=\sqrt{5}$. Тогда $x^2+y^2 = 4+5=9$.Следовательно, $9 - 4\sqrt{5} = (2-\sqrt{5})^2$. Однако, чтобы результат извлечения корня был положительным, мы должны записать квадрат как $(\sqrt{5}-2)^2$, так как $\sqrt{5} > 2$.Тогда $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} = |\sqrt{5}-2| = \sqrt{5}-2$.
Ответ: $\sqrt{5}-2$.

2) Для упрощения выражения $\sqrt{28 - 16\sqrt{3}}$ воспользуемся тем же подходом, что и в предыдущем задании. Представим подкоренное выражение $28 - 16\sqrt{3}$ в виде полного квадрата разности $(x-y)^2$. Сначала вынесем 2 из-под знака корня в слагаемом $16\sqrt{3}$, чтобы получить вид $A-2\sqrt{B}$.$28 - 16\sqrt{3} = 28 - 2 \cdot 8\sqrt{3}$. Чтобы было удобнее, внесем 8 под знак корня: $28 - 2\sqrt{8^2 \cdot 3} = 28 - 2\sqrt{64 \cdot 3} = 28 - 2\sqrt{192}$.
Теперь ищем два числа, сумма которых равна 28, а произведение равно 192. Это числа 16 и 12, так как $16+12=28$ и $16 \cdot 12=192$.
Следовательно, $28 - 2\sqrt{192} = (\sqrt{16} - \sqrt{12})^2$.
Тогда $\sqrt{28 - 16\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{16}-\sqrt{12})^2} = |\sqrt{16}-\sqrt{12}| = 4 - \sqrt{4 \cdot 3} = 4 - 2\sqrt{3}$.Поскольку $4 > 2\sqrt{3}$ (так как $16 > 12$), результат является положительным.
Ответ: $4 - 2\sqrt{3}$.

3) Упростим выражение $\sqrt{17 + \sqrt{288}}$. Сначала упростим внутренний радикал: $\sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = 12\sqrt{2}$.Исходное выражение принимает вид $\sqrt{17 + 12\sqrt{2}}$.
Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата суммы $(x+y)^2$. Для этого приведем его к виду $A+2\sqrt{B}$.$17 + 12\sqrt{2} = 17 + 2 \cdot 6\sqrt{2} = 17 + 2\sqrt{36 \cdot 2} = 17 + 2\sqrt{72}$.
Теперь ищем два числа, сумма которых равна 17, а произведение равно 72. Это числа 9 и 8, так как $9+8=17$ и $9 \cdot 8=72$.
Следовательно, $17 + 2\sqrt{72} = (\sqrt{9} + \sqrt{8})^2$.
Тогда $\sqrt{17 + \sqrt{288}} = \sqrt{(\sqrt{9}+\sqrt{8})^2} = |\sqrt{9}+\sqrt{8}| = 3 + \sqrt{4 \cdot 2} = 3 + 2\sqrt{2}$.
Ответ: $3 + 2\sqrt{2}$.

4) Упростим выражение $\sqrt{a - 2\sqrt{a-1}}$ при условии $a \ge 2$.Подкоренное выражение имеет вид $X-2\sqrt{Y}$, где $X=a$ и $Y=a-1$. Мы можем представить его в виде полного квадрата.Попробуем представить $a$ в виде суммы: $a = (a-1) + 1$.Тогда $a - 2\sqrt{a-1} = (a-1) - 2\sqrt{a-1} + 1$.Это выражение является полным квадратом разности: $(\sqrt{a-1})^2 - 2 \cdot \sqrt{a-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a-1} - 1)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $\sqrt{(\sqrt{a-1}-1)^2} = |\sqrt{a-1}-1|$.
Теперь рассмотрим условие $a \ge 2$.Если $a \ge 2$, то $a-1 \ge 1$.Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства, получаем $\sqrt{a-1} \ge \sqrt{1}$, то есть $\sqrt{a-1} \ge 1$.Отсюда следует, что $\sqrt{a-1} - 1 \ge 0$.Поскольку выражение под знаком модуля неотрицательно, модуль можно опустить: $|\sqrt{a-1}-1| = \sqrt{a-1}-1$.
Ответ: $\sqrt{a-1}-1$.

4.30. Выполните действия:

1) $\frac{a - c}{a - \sqrt{2a}} \cdot \frac{a - 2}{\sqrt{a} - \sqrt{c}} \cdot \left(\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2a}}{\sqrt{a} + \sqrt{2}}\right);$

2) $\left(\frac{a^2}{2} - \frac{a}{\sqrt{2}} + 1\right) \cdot \left(\frac{a^2}{2} + \frac{a}{\sqrt{2}} + 1\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{a^4 + 2a^2 + 4};$

3) $\frac{x + 2\sqrt{3}}{3x - 3\sqrt{3}} - \frac{3y - x}{2x - 2y} + \frac{x^2 - y\sqrt{3}}{x^2 - xy + y\sqrt{3} - x\sqrt{3}};$

4) $\left(\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c} + \sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c} - \sqrt{a}} + \frac{2\sqrt{ac}}{c - a}\right) \cdot \left(\sqrt{c} - \frac{\sqrt{ac} + a}{\sqrt{c} + \sqrt{a}}\right).$

1)

Преобразуем каждый множитель по отдельности.

Первый множитель: $\frac{a-c}{a-\sqrt{2a}} = \frac{(\sqrt{a})^2-(\sqrt{c})^2}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{c})(\sqrt{a}+\sqrt{c})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{2})}$.

Второй множитель: $\frac{a-2}{\sqrt{a}-\sqrt{c}} = \frac{(\sqrt{a})^2-(\sqrt{2})^2}{\sqrt{a}-\sqrt{c}} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{2})(\sqrt{a}+\sqrt{2})}{\sqrt{a}-\sqrt{c}}$.

Третий множитель (выражение в скобках): $\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2a}}{\sqrt{a}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{a}+\sqrt{2}) - \sqrt{2a}}{\sqrt{a}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2a}+2-\sqrt{2a}}{\sqrt{a}+\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{2}}$.

Теперь перемножим преобразованные выражения:

$\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{c})(\sqrt{a}+\sqrt{c})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{2})} \cdot \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{2})(\sqrt{a}+\sqrt{2})}{\sqrt{a}-\sqrt{c}} \cdot \frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{2}}$

Сократим общие множители в числителях и знаменателях: $(\sqrt{a}-\sqrt{c})$, $(\sqrt{a}-\sqrt{2})$ и $(\sqrt{a}+\sqrt{2})$.

$\frac{\sout{(\sqrt{a}-\sqrt{c})}(\sqrt{a}+\sqrt{c})}{\sqrt{a}\sout{(\sqrt{a}-\sqrt{2})}} \cdot \frac{\sout{(\sqrt{a}-\sqrt{2})}\sout{(\sqrt{a}+\sqrt{2})}}{\sout{\sqrt{a}-\sqrt{c}}} \cdot \frac{2}{\sout{\sqrt{a}+\sqrt{2}}} = \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{c}) \cdot 2}{\sqrt{a}} = \frac{2(\sqrt{a}+\sqrt{c})}{\sqrt{a}}$.

Ответ: $\frac{2(\sqrt{a}+\sqrt{c})}{\sqrt{a}}$

2)

Рассмотрим произведение первых двух скобок. Перегруппируем слагаемые и применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$:

$(\frac{a^2}{2} - \frac{a}{\sqrt{2}} + 1) \cdot (\frac{a^2}{2} + \frac{a}{\sqrt{2}} + 1) = ((\frac{a^2}{2}+1) - \frac{a}{\sqrt{2}}) \cdot ((\frac{a^2}{2}+1) + \frac{a}{\sqrt{2}})$

$= (\frac{a^2}{2}+1)^2 - (\frac{a}{\sqrt{2}})^2 = (\frac{a^4}{4} + 2 \cdot \frac{a^2}{2} + 1) - \frac{a^2}{2} = \frac{a^4}{4} + a^2 + 1 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^4}{4} + \frac{a^2}{2} + 1$.

Приведем полученное выражение к общему знаменателю:

$\frac{a^4}{4} + \frac{2a^2}{4} + \frac{4}{4} = \frac{a^4+2a^2+4}{4}$.

Теперь умножим результат на третий множитель:

$\frac{a^4+2a^2+4}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{a^4+2a^2+4}$.

Сократим одинаковые выражения в числителе и знаменателе:

$\frac{\sout{a^4+2a^2+4}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sout{a^4+2a^2+4}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$

3)

Разложим на множители знаменатели дробей:

$3x-3\sqrt{3} = 3(x-\sqrt{3})$.

$2x-2y = 2(x-y)$.

$x^2-xy+y\sqrt{3}-x\sqrt{3} = x(x-y) - \sqrt{3}(x-y) = (x-y)(x-\sqrt{3})$.

Выражение принимает вид:

$\frac{x+2\sqrt{3}}{3(x-\sqrt{3})} - \frac{3y-x}{2(x-y)} + \frac{x^2-y\sqrt{3}}{(x-y)(x-\sqrt{3})}$.

Общий знаменатель: $6(x-y)(x-\sqrt{3})$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2(x-y)(x+2\sqrt{3}) - 3(x-\sqrt{3})(3y-x) + 6(x^2-y\sqrt{3})}{6(x-y)(x-\sqrt{3})}$.

Раскроем скобки в числителе:

$2(x^2+2\sqrt{3}x-xy-2\sqrt{3}y) - 3(3xy-x^2-3\sqrt{3}y+x\sqrt{3}) + 6x^2-6y\sqrt{3}$

$= 2x^2+4\sqrt{3}x-2xy-4\sqrt{3}y - 9xy+3x^2+9\sqrt{3}y-3x\sqrt{3} + 6x^2-6y\sqrt{3}$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(2x^2+3x^2+6x^2) + (-2xy-9xy) + (4\sqrt{3}x-3x\sqrt{3}) + (-4\sqrt{3}y+9\sqrt{3}y-6y\sqrt{3})$

$= 11x^2 - 11xy + \sqrt{3}x - \sqrt{3}y$.

Разложим числитель на множители: $11x(x-y) + \sqrt{3}(x-y) = (11x+\sqrt{3})(x-y)$.

Подставим в дробь: $\frac{(11x+\sqrt{3})(x-y)}{6(x-y)(x-\sqrt{3})}$.

Сократим на $(x-y)$: $\frac{11x+\sqrt{3}}{6(x-\sqrt{3})}$.

Ответ: $\frac{11x+\sqrt{3}}{6(x-\sqrt{3})}$

4)

Сначала упростим выражение в первой скобке. Общий знаменатель $c-a = (\sqrt{c}-\sqrt{a})(\sqrt{c}+\sqrt{a})$.

$\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}-\sqrt{a}} + \frac{2\sqrt{ac}}{c-a} = \frac{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{a}) + \sqrt{a}(\sqrt{c}+\sqrt{a}) + 2\sqrt{ac}}{(\sqrt{c}+\sqrt{a})(\sqrt{c}-\sqrt{a})}$

$= \frac{c-\sqrt{ac}+\sqrt{ac}+a+2\sqrt{ac}}{c-a} = \frac{c+a+2\sqrt{ac}}{c-a}$.

Числитель является полным квадратом: $c+a+2\sqrt{ac} = (\sqrt{c}+\sqrt{a})^2$.

Тогда первая скобка равна: $\frac{(\sqrt{c}+\sqrt{a})^2}{(\sqrt{c}-\sqrt{a})(\sqrt{c}+\sqrt{a})} = \frac{\sqrt{c}+\sqrt{a}}{\sqrt{c}-\sqrt{a}}$.

Теперь упростим выражение во второй скобке.

$\sqrt{c} - \frac{\sqrt{ac}+a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{c}(\sqrt{c}+\sqrt{a}) - (\sqrt{ac}+a)}{\sqrt{c}+\sqrt{a}} = \frac{c+\sqrt{ac}-\sqrt{ac}-a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}} = \frac{c-a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}$.

Так как $c-a=(\sqrt{c}-\sqrt{a})(\sqrt{c}+\sqrt{a})$, вторая скобка равна: $\frac{(\sqrt{c}-\sqrt{a})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}{\sqrt{c}+\sqrt{a}} = \sqrt{c}-\sqrt{a}$.

Перемножим результаты:

$\frac{\sqrt{c}+\sqrt{a}}{\sqrt{c}-\sqrt{a}} \cdot (\sqrt{c}-\sqrt{a}) = \sqrt{c}+\sqrt{a}$.

Ответ: $\sqrt{c}+\sqrt{a}$

4.31. Вычислите значение выражения:

1) $a^2 - 2a - 1, a = 1 + \sqrt{3}$;

2) $a^2 - 3a - 2, a = \frac{3-\sqrt{17}}{2}$;

3) $a^2 - 4a - 6, a = 2 - \sqrt{11}$;

4) $a^2 - 5a + 3, a = \frac{5+\sqrt{3}}{2}$.

1) Для вычисления значения выражения $a^2 - 2a - 1$ при $a = 1 + \sqrt{3}$ воспользуемся методом, который позволяет избежать прямого возведения в квадрат иррационального числа. Сначала преобразуем данное значение $a$.

Из $a = 1 + \sqrt{3}$ следует, что $a - 1 = \sqrt{3}$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(a - 1)^2 = (\sqrt{3})^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$a^2 - 2a + 1 = 3$

Теперь выразим часть искомого выражения $a^2 - 2a$:

$a^2 - 2a = 3 - 1$

$a^2 - 2a = 2$

Подставим полученное значение $2$ в исходное выражение:

$(a^2 - 2a) - 1 = 2 - 1 = 1$

Ответ: 1

2) Для вычисления значения выражения $a^2 - 3a - 2$ при $a = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$ преобразуем значение $a$.

Умножим обе части равенства $a = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$ на 2:

$2a = 3 - \sqrt{17}$

Изолируем радикал (корень):

$2a - 3 = -\sqrt{17}$

Возведем обе части в квадрат:

$(2a - 3)^2 = (-\sqrt{17})^2$

$4a^2 - 12a + 9 = 17$

Перенесем 9 в правую часть:

$4a^2 - 12a = 17 - 9$

$4a^2 - 12a = 8$

Разделим обе части на 4, чтобы получить выражение, близкое к искомому:

$a^2 - 3a = 2$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(a^2 - 3a) - 2 = 2 - 2 = 0$

Ответ: 0

3) Для вычисления значения выражения $a^2 - 4a - 6$ при $a = 2 - \sqrt{11}$ преобразуем значение $a$.

Из $a = 2 - \sqrt{11}$ изолируем радикал:

$a - 2 = -\sqrt{11}$

Возведем обе части в квадрат:

$(a - 2)^2 = (-\sqrt{11})^2$

$a^2 - 4a + 4 = 11$

Выразим $a^2 - 4a$:

$a^2 - 4a = 11 - 4$

$a^2 - 4a = 7$

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$(a^2 - 4a) - 6 = 7 - 6 = 1$

Ответ: 1

4) Для вычисления значения выражения $a^2 - 5a + 3$ при $a = \frac{5 + \sqrt{3}}{2}$ преобразуем значение $a$.

Умножим обе части равенства $a = \frac{5 + \sqrt{3}}{2}$ на 2:

$2a = 5 + \sqrt{3}$

Изолируем радикал:

$2a - 5 = \sqrt{3}$

Возведем обе части в квадрат:

$(2a - 5)^2 = (\sqrt{3})^2$

$4a^2 - 20a + 25 = 3$

Перенесем 25 в правую часть:

$4a^2 - 20a = 3 - 25$

$4a^2 - 20a = -22$

Разделим обе части на 4:

$a^2 - 5a = \frac{-22}{4} = -\frac{11}{2}$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(a^2 - 5a) + 3 = -\frac{11}{2} + 3 = -\frac{11}{2} + \frac{6}{2} = \frac{-11+6}{2} = -\frac{5}{2}$

Ответ: $-\frac{5}{2}$

4.32. Выполните действия:

1) $\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{-x}} + \sqrt{-y};$

2) $\frac{x + \sqrt{yx}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} - 2\sqrt{x};$

3) $\frac{\sqrt{ac} - c}{\sqrt{-c}} - \sqrt{a};$

4) $\frac{a-c}{\sqrt{-a}-\sqrt{-c}}.$

1) $\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{-x}} + \sqrt{-y}$

Для того чтобы выражение имело смысл в действительных числах, должны выполняться следующие условия:

1. Подрадикальное выражение в числителе должно быть неотрицательным: $xy \ge 0$.

2. Подрадикальное выражение в знаменателе должно быть строго положительным (так как корень в знаменателе): $-x > 0$, что означает $x < 0$.

3. Подрадикальное выражение у второго слагаемого должно быть неотрицательным: $-y \ge 0$, что означает $y \le 0$.

Если $x < 0$ и $y \le 0$, то их произведение $xy \ge 0$. Таким образом, все условия выполняются при $x < 0$ и $y \le 0$.

Преобразуем выражение, используя свойство корня $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ для неотрицательных $a$ и $b$. Так как $x < 0$ и $y \le 0$, то $-x > 0$ и $-y \ge 0$. Представим $xy$ как $(-x)(-y)$:

$\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{-x}} + \sqrt{-y} = \frac{\sqrt{(-x)(-y)}}{\sqrt{-x}} + \sqrt{-y} = \frac{\sqrt{-x}\sqrt{-y}}{\sqrt{-x}} + \sqrt{-y}$

Сокращаем дробь на $\sqrt{-x}$:

$\sqrt{-y} + \sqrt{-y} = 2\sqrt{-y}$

Ответ: $2\sqrt{-y}$

2) $\frac{x + \sqrt{yx}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} - 2\sqrt{x}$

Для того чтобы выражение имело смысл, подкоренные выражения должны быть неотрицательными, а знаменатель не должен быть равен нулю. $x \ge 0$, $y \ge 0$. Знаменатель $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ равен нулю только если $x=0$ и $y=0$ одновременно, что мы исключаем.

Преобразуем числитель дроби. Представим $x$ как $(\sqrt{x})^2$ и $\sqrt{yx}$ как $\sqrt{y}\sqrt{x}$. Вынесем общий множитель $\sqrt{x}$ за скобки:

$x + \sqrt{yx} = (\sqrt{x})^2 + \sqrt{y}\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})$

Теперь подставим преобразованный числитель обратно в выражение:

$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} - 2\sqrt{x}$

Сократим дробь на $(\sqrt{x} + \sqrt{y})$:

$\sqrt{x} - 2\sqrt{x} = -\sqrt{x}$

Ответ: $-\sqrt{x}$

3) $\frac{\sqrt{ac}-c}{\sqrt{-c}} - \sqrt{a}$

Определим область допустимых значений. Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными, а знаменатель не должен быть равен нулю.

1. $\sqrt{a}$ определен при $a \ge 0$.

2. $\sqrt{-c}$ в знаменателе определен при $-c > 0$, то есть $c < 0$.

3. $\sqrt{ac}$ определен при $ac \ge 0$.

Из условий $a \ge 0$ и $c < 0$ следует, что их произведение $ac \le 0$. Чтобы одновременно выполнялись условия $ac \ge 0$ и $ac \le 0$, необходимо, чтобы $ac = 0$. Так как $c < 0$, это возможно только если $a = 0$.

Таким образом, выражение имеет смысл только при $a=0$ и $c < 0$. Подставим $a=0$ в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{0 \cdot c}-c}{\sqrt{-c}} - \sqrt{0} = \frac{\sqrt{0}-c}{\sqrt{-c}} - 0 = \frac{-c}{\sqrt{-c}}$

Так как $c < 0$, то $-c > 0$. Мы можем представить $-c$ как $(\sqrt{-c})^2$:

$\frac{(\sqrt{-c})^2}{\sqrt{-c}} = \sqrt{-c}$

Ответ: $\sqrt{-c}$

4) $\frac{a-c}{\sqrt{-a}-\sqrt{-c}}$

Определим область допустимых значений. Подрадикальные выражения должны быть неотрицательными, а знаменатель не равен нулю.

1. $-a \ge 0 \implies a \le 0$.

2. $-c \ge 0 \implies c \le 0$.

3. $\sqrt{-a} - \sqrt{-c} \ne 0 \implies \sqrt{-a} \ne \sqrt{-c} \implies -a \ne -c \implies a \ne c$.

Итак, $a \le 0$, $c \le 0$ и $a \ne c$.

Преобразуем числитель. Так как $a \le 0$ и $c \le 0$, то $-a \ge 0$ и $-c \ge 0$. Мы можем записать:

$a = -(-a) = -(\sqrt{-a})^2$

$c = -(-c) = -(\sqrt{-c})^2$

Подставим это в числитель:

$a - c = -(\sqrt{-a})^2 - (-(\sqrt{-c})^2) = (\sqrt{-c})^2 - (\sqrt{-a})^2$

Это разность квадратов, которую можно разложить на множители:

$(\sqrt{-c})^2 - (\sqrt{-a})^2 = (\sqrt{-c} - \sqrt{-a})(\sqrt{-c} + \sqrt{-a})$

Теперь подставим разложенный числитель в исходную дробь:

$\frac{(\sqrt{-c} - \sqrt{-a})(\sqrt{-c} + \sqrt{-a})}{\sqrt{-a}-\sqrt{-c}}$

Заметим, что знаменатель $\sqrt{-a}-\sqrt{-c} = -(\sqrt{-c}-\sqrt{-a})$.

$\frac{(\sqrt{-c} - \sqrt{-a})(\sqrt{-c} + \sqrt{-a})}{-(\sqrt{-c}-\sqrt{-a})}$

Сократим дробь на $(\sqrt{-c}-\sqrt{-a})$, так как $a \ne c$:

$-(\sqrt{-c} + \sqrt{-a}) = -\sqrt{-a} - \sqrt{-c}$

Ответ: $-\sqrt{-a} - \sqrt{-c}$

4.33. Упростите выражение:

1) $\sqrt{\frac{36}{49 \cdot 144}}$;2) $\sqrt{\frac{121 \cdot 256}{25 \cdot 676}};

3) $\sqrt{\frac{169x^6}{81y^8}}$ при $x \ge 0$;4) $\sqrt{\frac{441a^8}{196x^{30}}}$ при $x \ge 0$.

1) Для упрощения выражения $ \sqrt{\frac{36}{49 \cdot 144}} $ воспользуемся свойствами квадратного корня: корень из дроби равен дроби из корней числителя и знаменателя $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $, а корень из произведения равен произведению корней $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $.
$ \sqrt{\frac{36}{49 \cdot 144}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49 \cdot 144}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49} \cdot \sqrt{144}} $.
Теперь вычислим значения корней из чисел, которые являются полными квадратами: $ \sqrt{36} = 6 $, $ \sqrt{49} = 7 $, $ \sqrt{144} = 12 $.
Подставим полученные значения обратно в выражение:
$ \frac{6}{7 \cdot 12} = \frac{6}{84} $.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 6:
$ \frac{6:6}{84:6} = \frac{1}{14} $.
Ответ: $ \frac{1}{14} $.

2) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{121 \cdot 256}{25 \cdot 676}} $, используя те же свойства квадратного корня.
$ \sqrt{\frac{121 \cdot 256}{25 \cdot 676}} = \frac{\sqrt{121 \cdot 256}}{\sqrt{25 \cdot 676}} = \frac{\sqrt{121} \cdot \sqrt{256}}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{676}} $.
Вычислим значения корней: $ \sqrt{121} = 11 $, $ \sqrt{256} = 16 $, $ \sqrt{25} = 5 $, $ \sqrt{676} = 26 $.
Подставим значения в выражение:
$ \frac{11 \cdot 16}{5 \cdot 26} = \frac{176}{130} $.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:
$ \frac{176 : 2}{130 : 2} = \frac{88}{65} $.
Ответ: $ \frac{88}{65} $.

3) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{169x^6}{81y^8}} $ при условии $ x \ge 0 $.
Используем свойства корней:
$ \sqrt{\frac{169x^6}{81y^8}} = \frac{\sqrt{169x^6}}{\sqrt{81y^8}} = \frac{\sqrt{169} \cdot \sqrt{x^6}}{\sqrt{81} \cdot \sqrt{y^8}} $.
Вычислим числовые корни: $ \sqrt{169} = 13 $, $ \sqrt{81} = 9 $.
Теперь упростим корни с переменными, используя свойство $ \sqrt{a^{2n}} = |a^n| $.
$ \sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3| $. Поскольку по условию $ x \ge 0 $, то $ x^3 $ также будет неотрицательным ($ x^3 \ge 0 $), и, следовательно, модуль можно опустить: $ |x^3| = x^3 $.
$ \sqrt{y^8} = \sqrt{(y^4)^2} = |y^4| $. Выражение $ y^4 $ всегда неотрицательно ($ y^4 \ge 0 $) для любого действительного значения $ y $, поэтому $ |y^4| = y^4 $.
Соберем все части вместе. Следует учесть, что знаменатель исходного выражения не может быть равен нулю, поэтому $ y \neq 0 $.
$ \frac{13x^3}{9y^4} $.
Ответ: $ \frac{13x^3}{9y^4} $.

4) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{441a^8}{196x^{30}}} $ при условии $ a \ge 0 $.
Применяем свойства корней:
$ \sqrt{\frac{441a^8}{196x^{30}}} = \frac{\sqrt{441a^8}}{\sqrt{196x^{30}}} = \frac{\sqrt{441} \cdot \sqrt{a^8}}{\sqrt{196} \cdot \sqrt{x^{30}}} $.
Вычислим числовые корни: $ \sqrt{441} = 21 $, $ \sqrt{196} = 14 $.
Упростим корни с переменными:
$ \sqrt{a^8} = \sqrt{(a^4)^2} = |a^4| $. Так как степень 4 четная, $ a^4 $ всегда неотрицательно, поэтому $ |a^4| = a^4 $. В данном случае условие $ a \ge 0 $ является избыточным.
$ \sqrt{x^{30}} = \sqrt{(x^{15})^2} = |x^{15}| $. Поскольку на переменную $ x $ не дано ограничений по знаку, а степень 15 нечетная, знак $ x^{15} $ зависит от знака $ x $, поэтому необходимо оставить знак модуля.
Подставляем все в выражение. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $ x \neq 0 $.
$ \frac{21a^4}{14|x^{15}|} $.
Сократим числовой коэффициент $ \frac{21}{14} $, разделив числитель и знаменатель на 7: $ \frac{21:7}{14:7} = \frac{3}{2} $.
Итоговое выражение: $ \frac{3a^4}{2|x^{15}|} $.
Ответ: $ \frac{3a^4}{2|x^{15}|} $.

4.34. Зная, что $\frac{x+3y}{y} = 4$, найдите значение выражения:

1) $\frac{3x+5y}{3x-2y}$;

2) $\frac{7x-2y}{3y-4x}$;

3) $\frac{x^2-9xy+3y^2}{x^2+y^2}$;

4) $\frac{2x^2-3y^2}{y^2+2xy-x^2}$.

Сначала преобразуем данное в условии равенство, чтобы найти соотношение между переменными x и y.

Дано: $\frac{x+3y}{y} = 4$.

Разделим числитель на знаменатель почленно (при условии, что $y \neq 0$):

$\frac{x}{y} + \frac{3y}{y} = 4$

$\frac{x}{y} + 3 = 4$

$\frac{x}{y} = 1$

Из этого следует, что $x = y$. Теперь подставим это соотношение в каждое из выражений, чтобы найти их значения.

1) $\frac{3x+5y}{3x-2y}$

Подставляем $x = y$ в данное выражение:

$\frac{3(y)+5y}{3(y)-2y} = \frac{3y+5y}{3y-2y} = \frac{8y}{y}$

Так как $y \neq 0$, мы можем сократить дробь на y, получая:

$\frac{8y}{y} = 8$

Ответ: 8

2) $\frac{7x-2y}{3y-4x}$

Подставляем $x = y$ в данное выражение:

$\frac{7(y)-2y}{3y-4(y)} = \frac{7y-2y}{3y-4y} = \frac{5y}{-y}$

Сокращаем дробь на y:

$\frac{5y}{-y} = -5$

Ответ: -5

3) $\frac{x^2-9xy+3y^2}{x^2+y^2}$

Подставляем $x = y$ в данное выражение:

$\frac{(y)^2-9(y)y+3y^2}{(y)^2+y^2} = \frac{y^2-9y^2+3y^2}{y^2+y^2} = \frac{-5y^2}{2y^2}$

Так как $y \neq 0$, то и $y^2 \neq 0$, поэтому сокращаем дробь на $y^2$:

$\frac{-5y^2}{2y^2} = -\frac{5}{2} = -2,5$

Ответ: -2,5

4) $\frac{2x^2-3y^2}{y^2+2xy-x^2}$

Подставляем $x = y$ в данное выражение:

$\frac{2(y)^2-3y^2}{y^2+2(y)y-(y)^2} = \frac{2y^2-3y^2}{y^2+2y^2-y^2} = \frac{-y^2}{2y^2}$

Сокращаем дробь на $y^2$:

$\frac{-y^2}{2y^2} = -\frac{1}{2} = -0,5$

Ответ: -0,5