Номер 4.31, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.31. Вычислите значение выражения:

1) $a^2 - 2a - 1, a = 1 + \sqrt{3}$;

2) $a^2 - 3a - 2, a = \frac{3-\sqrt{17}}{2}$;

3) $a^2 - 4a - 6, a = 2 - \sqrt{11}$;

4) $a^2 - 5a + 3, a = \frac{5+\sqrt{3}}{2}$.

1) Для вычисления значения выражения $a^2 - 2a - 1$ при $a = 1 + \sqrt{3}$ воспользуемся методом, который позволяет избежать прямого возведения в квадрат иррационального числа. Сначала преобразуем данное значение $a$.

Из $a = 1 + \sqrt{3}$ следует, что $a - 1 = \sqrt{3}$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(a - 1)^2 = (\sqrt{3})^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$a^2 - 2a + 1 = 3$

Теперь выразим часть искомого выражения $a^2 - 2a$:

$a^2 - 2a = 3 - 1$

$a^2 - 2a = 2$

Подставим полученное значение $2$ в исходное выражение:

$(a^2 - 2a) - 1 = 2 - 1 = 1$

Ответ: 1

2) Для вычисления значения выражения $a^2 - 3a - 2$ при $a = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$ преобразуем значение $a$.

Умножим обе части равенства $a = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$ на 2:

$2a = 3 - \sqrt{17}$

Изолируем радикал (корень):

$2a - 3 = -\sqrt{17}$

Возведем обе части в квадрат:

$(2a - 3)^2 = (-\sqrt{17})^2$

$4a^2 - 12a + 9 = 17$

Перенесем 9 в правую часть:

$4a^2 - 12a = 17 - 9$

$4a^2 - 12a = 8$

Разделим обе части на 4, чтобы получить выражение, близкое к искомому:

$a^2 - 3a = 2$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(a^2 - 3a) - 2 = 2 - 2 = 0$

Ответ: 0

3) Для вычисления значения выражения $a^2 - 4a - 6$ при $a = 2 - \sqrt{11}$ преобразуем значение $a$.

Из $a = 2 - \sqrt{11}$ изолируем радикал:

$a - 2 = -\sqrt{11}$

Возведем обе части в квадрат:

$(a - 2)^2 = (-\sqrt{11})^2$

$a^2 - 4a + 4 = 11$

Выразим $a^2 - 4a$:

$a^2 - 4a = 11 - 4$

$a^2 - 4a = 7$

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$(a^2 - 4a) - 6 = 7 - 6 = 1$

Ответ: 1

4) Для вычисления значения выражения $a^2 - 5a + 3$ при $a = \frac{5 + \sqrt{3}}{2}$ преобразуем значение $a$.

Умножим обе части равенства $a = \frac{5 + \sqrt{3}}{2}$ на 2:

$2a = 5 + \sqrt{3}$

Изолируем радикал:

$2a - 5 = \sqrt{3}$

Возведем обе части в квадрат:

$(2a - 5)^2 = (\sqrt{3})^2$

$4a^2 - 20a + 25 = 3$

Перенесем 25 в правую часть:

$4a^2 - 20a = 3 - 25$

$4a^2 - 20a = -22$

Разделим обе части на 4:

$a^2 - 5a = \frac{-22}{4} = -\frac{11}{2}$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(a^2 - 5a) + 3 = -\frac{11}{2} + 3 = -\frac{11}{2} + \frac{6}{2} = \frac{-11+6}{2} = -\frac{5}{2}$

Ответ: $-\frac{5}{2}$