Страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.3. Приведите уравнение к виду $ax^2 + bx + c = 0$ и укажите его коэффициенты:

1) $(2x - 3) \cdot (x + 3) - x(2 - x) = 0;$

2) $(4x - 5) \cdot (2x + 1) - 3x(3 - 2x) = 0;$

3) $(2 - 3x) \cdot (5x - 3) - x(2 - x) = 3 - 12x^2;$

4) $(1 - 2x) \cdot (2x - 4) - 3(2 - x) = 3 - 9x^2;$

5) $(5 + 2x) \cdot (4x - 1) - 2(2 + 3x) = -13x^2;$

6) $(2 - 6x) \cdot (x - 4) - 3x(1 - x) = -22x^2.$

1) Исходное уравнение: $(2x - 3)(x + 3) - x(2 - x) = 0$.
Сначала раскроем скобки. Произведение $(2x - 3)(x + 3)$ равно $2x^2 + 6x - 3x - 9 = 2x^2 + 3x - 9$. Произведение $x(2 - x)$ равно $2x - x^2$.
Подставим раскрытые скобки в уравнение:
$(2x^2 + 3x - 9) - (2x - x^2) = 0$
$2x^2 + 3x - 9 - 2x + x^2 = 0$
Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав члены с $x^2$, с $x$ и свободные члены:
$(2x^2 + x^2) + (3x - 2x) - 9 = 0$
$3x^2 + x - 9 = 0$
Уравнение приведено к виду $ax^2 + bx + c = 0$. Его коэффициенты:
$a = 3$, $b = 1$, $c = -9$.
Ответ: $3x^2 + x - 9 = 0$; $a = 3$, $b = 1$, $c = -9$.

2) Исходное уравнение: $(4x - 5)(2x + 1) - 3x(3 - 2x) = 0$.
Раскроем скобки. Произведение $(4x - 5)(2x + 1)$ равно $8x^2 + 4x - 10x - 5 = 8x^2 - 6x - 5$. Произведение $3x(3 - 2x)$ равно $9x - 6x^2$.
Подставим в уравнение:
$(8x^2 - 6x - 5) - (9x - 6x^2) = 0$
$8x^2 - 6x - 5 - 9x + 6x^2 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(8x^2 + 6x^2) + (-6x - 9x) - 5 = 0$
$14x^2 - 15x - 5 = 0$
Уравнение приведено к виду $ax^2 + bx + c = 0$. Его коэффициенты:
$a = 14$, $b = -15$, $c = -5$.
Ответ: $14x^2 - 15x - 5 = 0$; $a = 14$, $b = -15$, $c = -5$.

3) Исходное уравнение: $(2 - 3x)(5x - 3) - x(2 - x) = 3 - 12x^2$.
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$(10x - 6 - 15x^2 + 9x) - (2x - x^2) = 3 - 12x^2$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-15x^2 + 19x - 6 - 2x + x^2 = 3 - 12x^2$
$-14x^2 + 17x - 6 = 3 - 12x^2$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы справа остался 0:
$-14x^2 + 17x - 6 - 3 + 12x^2 = 0$
Снова приведем подобные слагаемые:
$(-14x^2 + 12x^2) + 17x + (-6 - 3) = 0$
$-2x^2 + 17x - 9 = 0$
Чтобы старший коэффициент 'a' был положительным, умножим всё уравнение на -1:
$2x^2 - 17x + 9 = 0$
Уравнение приведено к виду $ax^2 + bx + c = 0$. Его коэффициенты:
$a = 2$, $b = -17$, $c = 9$.
Ответ: $2x^2 - 17x + 9 = 0$; $a = 2$, $b = -17$, $c = 9$.

4) Исходное уравнение: $(1 - 2x)(2x - 4) - 3(2 - x) = 3 - 9x^2$.
Раскроем скобки в левой части:
$(2x - 4 - 4x^2 + 8x) - (6 - 3x) = 3 - 9x^2$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-4x^2 + 10x - 4 - 6 + 3x = 3 - 9x^2$
$-4x^2 + 13x - 10 = 3 - 9x^2$
Перенесем все члены в левую часть:
$-4x^2 + 13x - 10 - 3 + 9x^2 = 0$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(-4x^2 + 9x^2) + 13x + (-10 - 3) = 0$
$5x^2 + 13x - 13 = 0$
Уравнение приведено к виду $ax^2 + bx + c = 0$. Его коэффициенты:
$a = 5$, $b = 13$, $c = -13$.
Ответ: $5x^2 + 13x - 13 = 0$; $a = 5$, $b = 13$, $c = -13$.

5) Исходное уравнение: $(5 + 2x)(4x - 1) - 2(2 + 3x) = -13x^2$.
Раскроем скобки в левой части:
$(20x - 5 + 8x^2 - 2x) - (4 + 6x) = -13x^2$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$8x^2 + 18x - 5 - 4 - 6x = -13x^2$
$8x^2 + 12x - 9 = -13x^2$
Перенесем член из правой части в левую:
$8x^2 + 12x - 9 + 13x^2 = 0$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(8x^2 + 13x^2) + 12x - 9 = 0$
$21x^2 + 12x - 9 = 0$
Заметим, что все коэффициенты (21, 12, -9) делятся на 3. Для упрощения уравнения разделим обе его части на 3:
$7x^2 + 4x - 3 = 0$
Уравнение приведено к виду $ax^2 + bx + c = 0$. Его коэффициенты:
$a = 7$, $b = 4$, $c = -3$.
Ответ: $7x^2 + 4x - 3 = 0$; $a = 7$, $b = 4$, $c = -3$.

6) Исходное уравнение: $(2 - 6x)(x - 4) - 3x(1 - x) = -22x^2$.
Раскроем скобки в левой части:
$(2x - 8 - 6x^2 + 24x) - (3x - 3x^2) = -22x^2$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-6x^2 + 26x - 8 - 3x + 3x^2 = -22x^2$
$(-6x^2 + 3x^2) + (26x - 3x) - 8 = -22x^2$
$-3x^2 + 23x - 8 = -22x^2$
Перенесем член из правой части в левую:
$-3x^2 + 23x - 8 + 22x^2 = 0$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(-3x^2 + 22x^2) + 23x - 8 = 0$
$19x^2 + 23x - 8 = 0$
Уравнение приведено к виду $ax^2 + bx + c = 0$. Его коэффициенты:
$a = 19$, $b = 23$, $c = -8$.
Ответ: $19x^2 + 23x - 8 = 0$; $a = 19$, $b = 23$, $c = -8$.

6.4. Укажите неполное квадратное уравнение и его вид:

1) $1.7x^2 - x = 0$;

2) $-2x^2 + 3x - 1 = 0$;

3) $-7x^2 + 1.8 = 0$;

4) $-2x^2 = 0$;

5) $-0.8x^2 - 9 = 0$;

6) $-0.7x^2 - 5x = 0$.

Квадратным уравнением называется уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — некоторые числа, причем $a \neq 0$.

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Различают три вида неполных квадратных уравнений:

1. $ax^2 + bx = 0$ (при $c=0$, $b \neq 0$)

2. $ax^2 + c = 0$ (при $b=0$, $c \neq 0$)

3. $ax^2 = 0$ (при $b=0$ и $c=0$)

Если все коэффициенты $a, b, c$ отличны от нуля, уравнение является полным.

Проанализируем каждое из предложенных уравнений:

1) $1,7x^2 - x = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 1,7$, $b = -1$, $c = 0$. Поскольку коэффициент $c=0$, это неполное квадратное уравнение.

Ответ: неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx = 0$.

2) $-2x^2 + 3x - 1 = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = -2$, $b = 3$, $c = -1$. Все коэффициенты отличны от нуля, следовательно, это полное квадратное уравнение.

Ответ: полное квадратное уравнение.

3) $-7x^2 + 1,8 = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = -7$, $b = 0$, $c = 1,8$. Поскольку коэффициент $b=0$, это неполное квадратное уравнение.

Ответ: неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$.

4) $-2x^2 = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = -2$, $b = 0$, $c = 0$. Поскольку коэффициенты $b=0$ и $c=0$, это неполное квадратное уравнение.

Ответ: неполное квадратное уравнение вида $ax^2 = 0$.

5) $-0,8x^2 - 9 = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = -0,8$, $b = 0$, $c = -9$. Поскольку коэффициент $b=0$, это неполное квадратное уравнение.

Ответ: неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$.

6) $-0,7x^2 - 5x = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = -0,7$, $b = -5$, $c = 0$. Поскольку коэффициент $c=0$, это неполное квадратное уравнение.

Ответ: неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx = 0$.

6.5. Приведите примеры неполных квадратных уравнений различных видов.

Общий вид полного квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$, $b \neq 0$, $c \neq 0$.

Квадратное уравнение называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю. Различают три вида неполных квадратных уравнений.

1. Уравнения вида $ax^2 + c = 0$

Это неполное квадратное уравнение, в котором второй коэффициент $b=0$.

Пример такого уравнения: $4x^2 - 64 = 0$.

Ответ: $4x^2 - 64 = 0$.

2. Уравнения вида $ax^2 + bx = 0$

Это неполное квадратное уравнение, в котором свободный член $c=0$.

Пример такого уравнения: $3x^2 + 12x = 0$.

Ответ: $3x^2 + 12x = 0$.

3. Уравнения вида $ax^2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение, в котором и второй коэффициент, и свободный член равны нулю ($b=0$ и $c=0$).

Пример такого уравнения: $5x^2 = 0$.

Ответ: $5x^2 = 0$.

6.6. Найдите корни неполного квадратного уравнения:

1) $x^2 - 5x = 0$;

2) $-2x^2 + 7x = 0$;

3) $-7x^2 + 1,8x = 0$;

4) $-2x^2 - x = 0$;

5) $-0,8x^2 - 9,2x = 0$;

6) $-0,7x^2 + x = 0$.

1) Дано неполное квадратное уравнение $x^2 - 5x = 0$. Это уравнение вида $ax^2 + bx = 0$, где свободный член $c$ равен нулю. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 5) = 0$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы получаем два случая: $x = 0$ или $x - 5 = 0$. Из второго уравнения находим второй корень: $x = 5$. Таким образом, уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.
Ответ: 0; 5.

2) Рассмотрим уравнение $-2x^2 + 7x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(-2x + 7) = 0$. Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем два уравнения: $x = 0$ и $-2x + 7 = 0$. Первое уравнение дает корень $x_1 = 0$. Решим второе уравнение: $-2x = -7$ $x = \frac{-7}{-2} = \frac{7}{2} = 3,5$. Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3,5$.
Ответ: 0; 3,5.

3) Решим уравнение $-7x^2 + 1,8x = 0$. Выносим $x$ за скобки: $x(-7x + 1,8) = 0$. Отсюда следует, что либо $x_1 = 0$, либо $-7x + 1,8 = 0$. Решаем второе уравнение: $-7x = -1,8$ $x = \frac{-1,8}{-7} = \frac{1,8}{7}$. Для удобства представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$. Тогда $x = \frac{9/5}{7} = \frac{9}{5 \cdot 7} = \frac{9}{35}$. Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{9}{35}$.
Ответ: 0; $\frac{9}{35}$.

4) Дано уравнение $-2x^2 - x = 0$. Вынесем за скобки общий множитель $x$: $x(-2x - 1) = 0$. Это уравнение распадается на два: $x = 0$ и $2x + 1 = 0$. Первый корень $x_1 = 0$. Решаем второе уравнение: $-2x - 1 = 0$ $-2x = 1$ $x = -\frac{1}{2} = -0,5$. Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -0,5$.
Ответ: 0; -0,5.

5) Решим уравнение $-0,8x^2 - 9,2x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(-0,8x - 9,2) = 0$. Получаем два возможных случая: $x_1 = 0$ или $-0,8x - 9,2 = 0$. Решаем второе уравнение: $-0,8x = 9,2$ $x = \frac{9,2}{-0,8} = -\frac{92}{8}$. Сократим дробь: $-\frac{92}{8} = -\frac{23 \cdot 4}{2 \cdot 4} = -\frac{23}{2} = -11,5$. Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -11,5$.
Ответ: 0; -11,5.

6) Рассмотрим уравнение $-0,7x^2 + x = 0$. Выносим $x$ за скобки: $x(-0,7x + 1) = 0$. Приравниваем множители к нулю: $x_1 = 0$ или $-0,7x + 1 = 0$. Решаем второе уравнение: $-0,7x = -1$ $x = \frac{-1}{-0,7} = \frac{1}{0,7}$. Преобразуем дробь, чтобы избавиться от десятичного знака в знаменателе: $x = \frac{1}{7/10} = \frac{10}{7}$. Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{10}{7}$.
Ответ: 0; $\frac{10}{7}$.

6.7. Решите неполное квадратное уравнение:

1) $x^2 - 25 = 0;$

2) $-0,2x^2 + 7,2 = 0;$

3) $-7x^2 + 28 = 0;$

4) $-4x^2 + 1 = 0;$

5) $-0,8x^2 - 9,2 = 0;$

6) $-0,1x^2 + 10 = 0.$

1) Исходное уравнение $x^2 - 25 = 0$. Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$. Для его решения необходимо изолировать член с $x^2$. Перенесем свободный член (-25) в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$x^2 = 25$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у положительного числа существует два квадратных корня: положительный и отрицательный.
$x = \pm\sqrt{25}$
Таким образом, получаем два корня:
$x_1 = 5$
$x_2 = -5$
Ответ: $-5; 5$.

2) Исходное уравнение $-0,2x^2 + 7,2 = 0$. Перенесем свободный член (7,2) в правую часть уравнения:
$-0,2x^2 = -7,2$
Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на $-0,2$:
$x^2 = \frac{-7,2}{-0,2}$
$x^2 = 36$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{36}$
Получаем два корня:
$x_1 = 6$
$x_2 = -6$
Ответ: $-6; 6$.

3) Исходное уравнение $-7x^2 + 28 = 0$. Перенесем свободный член (28) в правую часть уравнения:
$-7x^2 = -28$
Разделим обе части уравнения на $-7$:
$x^2 = \frac{-28}{-7}$
$x^2 = 4$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{4}$
Получаем два корня:
$x_1 = 2$
$x_2 = -2$
Ответ: $-2; 2$.

4) Исходное уравнение $-4x^2 + 1 = 0$. Перенесем свободный член (1) в правую часть:
$-4x^2 = -1$
Разделим обе части на $-4$:
$x^2 = \frac{-1}{-4}$
$x^2 = \frac{1}{4}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$
Получаем два корня:
$x_1 = \frac{1}{2}$ или $0,5$
$x_2 = -\frac{1}{2}$ или $-0,5$
Ответ: $-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}$.

5) Исходное уравнение $-0,8x^2 - 9,2 = 0$. Перенесем свободный член (-9,2) в правую часть:
$-0,8x^2 = 9,2$
Разделим обе части на $-0,8$:
$x^2 = \frac{9,2}{-0,8}$
$x^2 = -11,5$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Так как в левой части уравнения стоит $x^2$ (неотрицательное число), а в правой — отрицательное число ($-11,5$), то данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.

6) Исходное уравнение $-0,1x^2 + 10 = 0$. Перенесем свободный член (10) в правую часть:
$-0,1x^2 = -10$
Разделим обе части на $-0,1$:
$x^2 = \frac{-10}{-0,1}$
$x^2 = 100$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{100}$
Получаем два корня:
$x_1 = 10$
$x_2 = -10$
Ответ: $-10; 10$.

6.8. Найдите корни неполного квадратного уравнения:

1) $2,7x^2 = 0$;

2) $-0,2x^2 = 0$;

3) $7x^2 = 0$;

4) $-4x^2 = 0$;

5) $0,8x^2 = 0$;

6) $-0,1x^2 = 0$.

Все представленные уравнения являются неполными квадратными уравнениями вида $ax^2 = 0$, где коэффициент $a \neq 0$. Для решения такого уравнения необходимо разделить обе его части на коэффициент $a$.

$ax^2 = 0$
$x^2 = \frac{0}{a}$
$x^2 = 0$

Единственное число, квадрат которого равен нулю, это сам нуль. Таким образом, любое уравнение такого вида имеет один корень: $x = 0$.

1) $2,7x^2 = 0$
Разделим обе части уравнения на $2,7$:
$x^2 = \frac{0}{2,7}$
$x^2 = 0$
$x = 0$
Ответ: $x=0$.

2) $-0,2x^2 = 0$
Разделим обе части уравнения на $-0,2$:
$x^2 = \frac{0}{-0,2}$
$x^2 = 0$
$x = 0$
Ответ: $x=0$.

3) $7x^2 = 0$
Разделим обе части уравнения на $7$:
$x^2 = \frac{0}{7}$
$x^2 = 0$
$x = 0$
Ответ: $x=0$.

4) $-4x^2 = 0$
Разделим обе части уравнения на $-4$:
$x^2 = \frac{0}{-4}$
$x^2 = 0$
$x = 0$
Ответ: $x=0$.

5) $0,8x^2 = 0$
Разделим обе части уравнения на $0,8$:
$x^2 = \frac{0}{0,8}$
$x^2 = 0$
$x = 0$
Ответ: $x=0$.

6) $-0,1x^2 = 0$
Разделим обе части уравнения на $-0,1$:
$x^2 = \frac{0}{-0,1}$
$x^2 = 0$
$x = 0$
Ответ: $x=0$.

6.9. Решите неполное квадратное уравнение:

1) $x^2 - 0,49 = 0;$

2) $-0,8x^2 + 3,2x = 0;$

3) $-7x^2 + 2,8x = 0;$

4) $-4x^2 + 25 = 0;$

5) $-0,6x^2 - 9,6x = 0;$

6) $-0,1x^2 = 0.$

1) Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$. Для его решения перенесем свободный член в правую часть уравнения: $x^2 = 0,49$. Далее извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что корень может быть как положительным, так и отрицательным. $x = \pm\sqrt{0,49}$. Поскольку $\sqrt{0,49} = 0,7$, получаем два корня: $x_1 = 0,7$ и $x_2 = -0,7$.
Ответ: $-0,7; 0,7$.

2) Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx = 0$. Для решения вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(-0,8x + 3,2) = 0$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас есть два случая: $x = 0$ или $-0,8x + 3,2 = 0$. Решим второе уравнение: $-0,8x = -3,2$. Разделим обе части на $-0,8$: $x = \frac{-3,2}{-0,8} = \frac{32}{8} = 4$. В итоге получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Ответ: $0; 4$.

3) Данное уравнение $-7x^2 + 2,8x = 0$ также решается вынесением общего множителя $x$ за скобки: $x(-7x + 2,8) = 0$. Приравниваем каждый множитель к нулю: $x = 0$ или $-7x + 2,8 = 0$. Решаем второе уравнение: $-7x = -2,8$. Находим $x$, разделив $-2,8$ на $-7$: $x = \frac{-2,8}{-7} = \frac{28}{70} = \frac{4}{10} = 0,4$. Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 0,4$.
Ответ: $0; 0,4$.

4) Для решения уравнения $-4x^2 + 25 = 0$ сначала изолируем член с $x^2$. Перенесем 25 в правую часть, изменив знак: $-4x^2 = -25$. Теперь разделим обе части на $-4$: $x^2 = \frac{-25}{-4} = \frac{25}{4}$. Извлечем квадратный корень из обеих частей: $x = \pm\sqrt{\frac{25}{4}}$. Так как $\sqrt{25}=5$ и $\sqrt{4}=2$, получаем $x = \pm\frac{5}{2}$. Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 2,5$ и $x_2 = -2,5$.
Ответ: $-2,5; 2,5$.

5) В уравнении $-0,6x^2 - 9,6x = 0$ вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем здесь является $x$, но для удобства можно вынести $-0,6x$: $-0,6x(x + 16) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $-0,6x = 0$ или $x + 16 = 0$. Из первого уравнения следует $x_1 = 0$. Из второго уравнения находим $x_2 = -16$.
Ответ: $-16; 0$.

6) Уравнение $-0,1x^2 = 0$ является неполным квадратным уравнением вида $ax^2=0$. Для его решения разделим обе части на коэффициент при $x^2$, то есть на $-0,1$: $x^2 = \frac{0}{-0,1}$, что дает $x^2 = 0$. Единственное число, квадрат которого равен нулю, это сам ноль. Следовательно, уравнение имеет один корень: $x = 0$.
Ответ: $0$.

Найдите корни уравнений (6.10–6.17):

6.10. 1) $4x^2 - 3x = 3 (12 - x);$

2) $12x^2 - 5x = 3(12 - 2x) + x;$

3) $x^2 - 3x = 2(12 - x) - x;$

4) $9x^2 - 3x = 3(12 - x);$

5) $-x^2 + 6x = 2(12 + 2x) + 2x;$

6) $4x^2 - 3x = 36 - 3x.$

1) $4x^2 - 3x = 3(12 - x)$
Сначала раскроем скобки в правой части уравнения:
$4x^2 - 3x = 36 - 3x$
Теперь перенесем все члены уравнения в левую часть, изменив их знаки на противоположные:
$4x^2 - 3x - 36 + 3x = 0$
Приведем подобные слагаемые. Члены $-3x$ и $+3x$ взаимно уничтожаются:
$4x^2 - 36 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:
$4x^2 = 36$
Разделим обе части на 4:
$x^2 = \frac{36}{4}$
$x^2 = 9$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{9}$
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$
Ответ: $3; -3$.

2) $12x^2 - 5x = 3(12 - 2x) + x$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$12x^2 - 5x = 36 - 6x + x$
Упростим правую часть, приведя подобные слагаемые:
$12x^2 - 5x = 36 - 5x$
Перенесем все члены в левую часть:
$12x^2 - 5x - 36 + 5x = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$12x^2 - 36 = 0$
Решим полученное неполное квадратное уравнение:
$12x^2 = 36$
$x^2 = \frac{36}{12}$
$x^2 = 3$
Извлечем квадратный корень:
$x = \pm\sqrt{3}$
Ответ: $\sqrt{3}; -\sqrt{3}$.

3) $x^2 - 3x = 2(12 - x) - x$
Раскроем скобки и упростим правую часть уравнения:
$x^2 - 3x = 24 - 2x - x$
$x^2 - 3x = 24 - 3x$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 3x - 24 + 3x = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 24 = 0$
Решим неполное квадратное уравнение:
$x^2 = 24$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{24}$
Упростим корень: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$
$x_1 = 2\sqrt{6}$, $x_2 = -2\sqrt{6}$
Ответ: $2\sqrt{6}; -2\sqrt{6}$.

4) $9x^2 - 3x = 3(12 - x)$
Раскроем скобки в правой части:
$9x^2 - 3x = 36 - 3x$
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$9x^2 - 3x - 36 + 3x = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$9x^2 - 36 = 0$
Решим неполное квадратное уравнение:
$9x^2 = 36$
$x^2 = \frac{36}{9}$
$x^2 = 4$
Извлечем квадратный корень:
$x = \pm\sqrt{4}$
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$
Ответ: $2; -2$.

5) $-x^2 + 6x = 2(12 + 2x) + 2x$
Раскроем скобки и упростим правую часть:
$-x^2 + 6x = 24 + 4x + 2x$
$-x^2 + 6x = 24 + 6x$
Перенесем все члены в левую часть:
$-x^2 + 6x - 24 - 6x = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$-x^2 - 24 = 0$
Умножим обе части уравнения на -1:
$x^2 + 24 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть:
$x^2 = -24$
Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.

6) $4x^2 - 3x = 36 - 3x$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$4x^2 - 3x - 36 + 3x = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$4x^2 - 36 = 0$
Решим неполное квадратное уравнение:
$4x^2 = 36$
$x^2 = \frac{36}{4}$
$x^2 = 9$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{9}$
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$
Ответ: $3; -3$.

6.11. 1) $x^2 - 5x - 5 = x - 5$;

2) $-2x^2 + 7x = 3x$;

3) $2 - 7x^2 + 1.8x = 2 - 3x$;

4) $-2x^2 + 5 = 5 - 4x$;

5) $-0.8x^2 - 9.2x = 2.1x$;

6) $2 - 0.7x^2 + 3x = x + 2.

1) $x^2 - 5x - 5 = x - 5$

Для решения данного квадратного уравнения перенесем все его члены в левую часть, чтобы получить уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$.

$x^2 - 5x - 5 - x + 5 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2) + (-5x - x) + (-5 + 5) = 0$

$x^2 - 6x = 0$

Получилось неполное квадратное уравнение (коэффициент $c=0$). Такие уравнения решаются разложением на множители. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 6) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, имеем два случая:

$x_1 = 0$

или

$x - 6 = 0 \Rightarrow x_2 = 6$

Ответ: $0; 6$

2) $-2x^2 + 7x = 3x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$-2x^2 + 7x - 3x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-2x^2 + 4x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Разделим обе части уравнения на $-2$ для упрощения:

$x^2 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Отсюда находим корни:

$x_1 = 0$

или

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

Ответ: $0; 2$

3) $2 - 7x^2 + 1,8x = 2 - 3x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$2 - 7x^2 + 1,8x - 2 + 3x = 0$

Приведем подобные слагаемые, расположив их по убыванию степеней $x$:

$(-7x^2) + (1,8x + 3x) + (2 - 2) = 0$

$-7x^2 + 4,8x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Умножим обе части на $-10$, чтобы избавиться от отрицательного знака и десятичной дроби:

$70x^2 - 48x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(70x - 48) = 0$

Находим корни:

$x_1 = 0$

или

$70x - 48 = 0 \Rightarrow 70x = 48 \Rightarrow x = \frac{48}{70} = \frac{24}{35}$

Ответ: $0; \frac{24}{35}$

4) $-2x^2 + 5 = 5 - 4x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$-2x^2 + 5 - 5 + 4x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-2x^2 + 4x = 0$

Это неполное квадратное уравнение, аналогичное уравнению из пункта 2. Разделим обе части на $-2$:

$x^2 - 2x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Корни уравнения:

$x_1 = 0$

или

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

Ответ: $0; 2$

5) $-0,8x^2 - 9,2x = 2,1x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$-0,8x^2 - 9,2x - 2,1x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-0,8x^2 - 11,3x = 0$

Умножим обе части уравнения на $-10$, чтобы избавиться от десятичных дробей и отрицательного знака:

$8x^2 + 113x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(8x + 113) = 0$

Находим корни:

$x_1 = 0$

или

$8x + 113 = 0 \Rightarrow 8x = -113 \Rightarrow x_2 = -\frac{113}{8} = -14,125$

Ответ: $0; -14,125$

6) $2 - 0,7x^2 + 3x = x + 2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$2 - 0,7x^2 + 3x - x - 2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(-0,7x^2) + (3x - x) + (2 - 2) = 0$

$-0,7x^2 + 2x = 0$

Умножим обе части уравнения на $-10$:

$7x^2 - 20x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(7x - 20) = 0$

Находим корни:

$x_1 = 0$

или

$7x - 20 = 0 \Rightarrow 7x = 20 \Rightarrow x_2 = \frac{20}{7}$

Ответ: $0; \frac{20}{7}$

6.12.

1) $x^2 - 5x = 5(5 - x);$

2) $-2x^2 + 7x = 7x - 32;$

3) $-0,7x^2 + 5,6x = 0;$

4) $2x^2 - x = 2 - x;$

5) $-0,8x^2 - 9,2 = 4,2;$

6) $-0,7x^2 + x = x.$

1) $x^2 - 5x = 5(5 - x)$

Сначала раскроем скобки в правой части уравнения:

$x^2 - 5x = 25 - 5x$

Затем перенесем все слагаемые из правой части в левую, изменяя их знак на противоположный:

$x^2 - 5x - 25 + 5x = 0$

Приведем подобные члены ($ -5x $ и $ +5x $ взаимно уничтожаются):

$x^2 - 25 = 0$

Мы получили неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = 25$

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение имеет два корня:

$x_1 = \sqrt{25} = 5$

$x_2 = -\sqrt{25} = -5$

Ответ: $-5; 5$.

2) $-2x^2 + 7x = 7x - 32$

Перенесем все слагаемые из правой части в левую:

$-2x^2 + 7x - 7x + 32 = 0$

Приведем подобные слагаемые ($ 7x $ и $ -7x $ взаимно уничтожаются):

$-2x^2 + 32 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Разделим обе части уравнения на $-2$, чтобы упростить его:

$x^2 - 16 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = 16$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x_1 = \sqrt{16} = 4$

$x_2 = -\sqrt{16} = -4$

Ответ: $-4; 4$.

3) $-0,7x^2 + 5,6x = 0$

Это неполное квадратное уравнение, у которого свободный член $c$ равен нулю. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(-0,7x + 5,6) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $-0,7x + 5,6 = 0$

Первый корень уравнения: $x_1 = 0$.

Теперь решим второе уравнение:

$-0,7x = -5,6$

$x = \frac{-5,6}{-0,7} = \frac{56}{7} = 8$

Второй корень уравнения: $x_2 = 8$.

Ответ: $0; 8$.

4) $2x^2 - x = 2 - x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$2x^2 - x - 2 + x = 0$

Приведем подобные слагаемые ($ -x $ и $ +x $ взаимно уничтожаются):

$2x^2 - 2 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 1 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = 1$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x_1 = \sqrt{1} = 1$

$x_2 = -\sqrt{1} = -1$

Ответ: $-1; 1$.

5) $-0,8x^2 - 9,2 = 4,2$

Перенесем число $4,2$ из правой части в левую:

$-0,8x^2 - 9,2 - 4,2 = 0$

Сложим свободные члены:

$-0,8x^2 - 13,4 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$-0,8x^2 = 13,4$

Выразим $x^2$:

$x^2 = \frac{13,4}{-0,8} = -\frac{134}{8} = -16,75$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным числом. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

6) $-0,7x^2 + x = x$

Перенесем $x$ из правой части в левую:

$-0,7x^2 + x - x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-0,7x^2 = 0$

Разделим обе части на $-0,7$:

$x^2 = 0$

Извлекая квадратный корень, получаем единственный корень:

$x = 0$

Ответ: $0$.