Страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (6.24–6.25):

6.24.1)

1) $x^2 - 3|x| = 0;$

2) $3x^2 + 2|x| = 0;$

3) $x|x| - 3.8x = 0;$

4) $4x^2 + 5|x| - x = 0;$

5) $x^2 - 3|x| + 7x = 0;$

6) $5x|x| - 3.5x = 0.$

1) $x^2 - 3|x| = 0$

Поскольку $x^2 = |x|^2$, мы можем переписать уравнение в виде $|x|^2 - 3|x| = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$, где $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид: $t^2 - 3t = 0$.

Вынесем $t$ за скобки: $t(t - 3) = 0$.

Отсюда получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = 0$ или $t_2 = 3$. Оба значения удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Если $t = 0$, то $|x| = 0$, откуда $x = 0$.

Если $t = 3$, то $|x| = 3$, откуда $x = 3$ или $x = -3$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-3; 0; 3$.

2) $3x^2 + 2|x| = 0$

Так как для любого действительного $x$ выполняются неравенства $x^2 \ge 0$ и $|x| \ge 0$, то и $3x^2 \ge 0$ и $2|x| \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых $3x^2$ и $2|x|$ равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю.

$3x^2 = 0 \implies x = 0$.

$2|x| = 0 \implies x = 0$.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $0$.

3) $x|x| - 3,8x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(|x| - 3,8) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1. $x = 0$.

2. $|x| - 3,8 = 0$, откуда $|x| = 3,8$. Это уравнение имеет два корня: $x = 3,8$ и $x = -3,8$.

Таким образом, получаем три решения.

Ответ: $-3,8; 0; 3,8$.

4) $4x^2 + 5|x| - x = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$.

Уравнение принимает вид: $4x^2 + 5x - x = 0$, что упрощается до $4x^2 + 4x = 0$.

Вынесем $4x$ за скобки: $4x(x + 1) = 0$.

Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только корень $x_1 = 0$.

Случай 2: $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$.

Уравнение принимает вид: $4x^2 + 5(-x) - x = 0$, что упрощается до $4x^2 - 6x = 0$.

Вынесем $2x$ за скобки: $2x(2x - 3) = 0$.

Корни этого уравнения: $x_3 = 0$ и $2x - 3 = 0 \implies x_4 = 1,5$.

Ни один из этих корней не удовлетворяет условию $x < 0$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем единственный корень.

Ответ: $0$.

5) $x^2 - 3|x| + 7x = 0$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.

Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$.

Уравнение становится: $x^2 - 3x + 7x = 0$, или $x^2 + 4x = 0$.

Факторизуем: $x(x + 4) = 0$.

Получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -4$.

Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только $x_1 = 0$.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$.

Уравнение становится: $x^2 - 3(-x) + 7x = 0$, или $x^2 + 3x + 7x = 0$, что равносильно $x^2 + 10x = 0$.

Факторизуем: $x(x + 10) = 0$.

Получаем корни $x_3 = 0$ и $x_4 = -10$.

Условию $x < 0$ удовлетворяет только $x_4 = -10$.

Объединяя найденные в обоих случаях корни, получаем два решения.

Ответ: $-10; 0$.

6) $5x|x| - 3,5x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5|x| - 3,5) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1. $x = 0$.

2. $5|x| - 3,5 = 0$, откуда $5|x| = 3,5$, и $|x| = 3,5 / 5 = 0,7$.

Уравнение $|x| = 0,7$ имеет два корня: $x = 0,7$ и $x = -0,7$.

В итоге получаем три решения.

Ответ: $-0,7; 0; 0,7$.

6.25.1) $x^2 - 3x|x| - 8 = 0;$

2) $4x^2 + 5|x|x - 12 = 0;$

3) $x|x| - 3,8x^2 = 0;$

4) $4x^2 + 5|x|x - 9 = 0;$

5) $x^2 - 8\frac{|x|}{x} + 2 = 0;$

6) $5x|x| - 8\frac{|x|}{x} = 0.$

1) $x^2 - 3x|x| - 8 = 0$

Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модуль $|x|$. Это делается рассмотрением двух случаев.

Случай 1: $x \ge 0$
В этом случае $|x| = x$. Подставим это в исходное уравнение:
$x^2 - 3x(x) - 8 = 0$
$x^2 - 3x^2 - 8 = 0$
$-2x^2 = 8$
$x^2 = -4$
Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Случай 2: $x < 0$
В этом случае $|x| = -x$. Подставим это в уравнение:
$x^2 - 3x(-x) - 8 = 0$
$x^2 + 3x^2 - 8 = 0$
$4x^2 = 8$
$x^2 = 2$
$x = \pm\sqrt{2}$
Согласно условию этого случая ($x < 0$), мы выбираем только отрицательный корень: $x = -\sqrt{2}$.

Ответ: $x = -\sqrt{2}$

2) $4x^2 + 5|x|x - 12 = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$
При $x \ge 0$, $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$4x^2 + 5(x)x - 12 = 0$
$4x^2 + 5x^2 - 12 = 0$
$9x^2 = 12$
$x^2 = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$
$x = \pm\sqrt{\frac{4}{3}} = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}$
Так как $x \ge 0$, решением является $x = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Случай 2: $x < 0$
При $x < 0$, $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$4x^2 + 5(-x)x - 12 = 0$
$4x^2 - 5x^2 - 12 = 0$
$-x^2 = 12$
$x^2 = -12$
В этом случае действительных корней нет.

Ответ: $x = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

3) $x|x| - 3,8x^2 = 0$

Можно вынести общий множитель $x$ за скобки:
$x(|x| - 3,8x) = 0$
Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю:
1) $x = 0$
2) $|x| - 3,8x = 0$ или $|x| = 3,8x$.

Решим второе уравнение, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x > 0$
$x = 3,8x$
$2,8x = 0$
$x = 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $x > 0$.
Случай 2: $x < 0$
$-x = 3,8x$
$4,8x = 0$
$x = 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $x < 0$.

Единственный корень, который мы получили, это $x=0$ из первого множителя. Проверим его: $0 \cdot |0| - 3,8 \cdot 0^2 = 0$. Решение верное.

Ответ: $x = 0$

4) $4x^2 + 5|x|x - 9 = 0$

Раскрываем модуль в двух случаях.

Случай 1: $x \ge 0$
$|x| = x$.
$4x^2 + 5x \cdot x - 9 = 0$
$9x^2 = 9$
$x^2 = 1$
$x = \pm 1$
С учетом $x \ge 0$, получаем $x = 1$.

Случай 2: $x < 0$
$|x| = -x$.
$4x^2 + 5(-x)x - 9 = 0$
$4x^2 - 5x^2 - 9 = 0$
$-x^2 = 9$
$x^2 = -9$
Действительных корней нет.

Ответ: $x = 1$

5) $x^2 - 8 \frac{|x|}{x} + 2 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.
Рассмотрим выражение $\frac{|x|}{x}$. Оно равно $1$ при $x > 0$ и $-1$ при $x < 0$.

Случай 1: $x > 0$
Уравнение становится:
$x^2 - 8(1) + 2 = 0$
$x^2 - 6 = 0$
$x^2 = 6$
$x = \pm\sqrt{6}$
Поскольку $x > 0$, решением является $x = \sqrt{6}$.

Случай 2: $x < 0$
Уравнение становится:
$x^2 - 8(-1) + 2 = 0$
$x^2 + 8 + 2 = 0$
$x^2 + 10 = 0$
$x^2 = -10$
Действительных корней нет.

Ответ: $x = \sqrt{6}$

6) $5x|x| - 8 \frac{|x|}{x} = 0$

ОДЗ: $x \neq 0$.
Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x > 0$
$|x| = x$ и $\frac{|x|}{x} = 1$.
$5x(x) - 8(1) = 0$
$5x^2 = 8$
$x^2 = \frac{8}{5}$
$x = \pm\sqrt{\frac{8}{5}}$
С учетом условия $x > 0$, получаем $x = \sqrt{\frac{8}{5}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{10}}{5}$.

Случай 2: $x < 0$
$|x| = -x$ и $\frac{|x|}{x} = -1$.
$5x(-x) - 8(-1) = 0$
$-5x^2 + 8 = 0$
$5x^2 = 8$
$x^2 = \frac{8}{5}$
$x = \pm\sqrt{\frac{8}{5}}$
С учетом условия $x < 0$, получаем $x = -\sqrt{\frac{8}{5}} = -\frac{2\sqrt{10}}{5}$.

Ответ: $x = \pm\sqrt{\frac{8}{5}}$

6.26. Выделите квадрат двучлена в выражении:

1) $x^2 - 12x + 39;$

2) $x^2 - 4x - 9;$

3) $2x^2 - 24x + 36;$

4) $-x^2 - \frac{1}{4}x + 7\frac{3}{5};$

5) $-3x^2 - 1\frac{2}{3}x + 39;$

6) $-5x^2 - 7x + 4,5.$

1) Чтобы выделить квадрат двучлена в выражении $x^2 - 12x + 39$, мы используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем выражении $a = x$. Член $-12x$ можно представить как удвоенное произведение $-2 \cdot x \cdot 6$. Следовательно, $b = 6$.
Для получения полного квадрата нам не хватает члена $b^2 = 6^2 = 36$. Добавим и вычтем это число, чтобы не изменить выражение:
$x^2 - 12x + 39 = (x^2 - 12x + 36) - 36 + 39$
Теперь выражение в скобках является полным квадратом $(x-6)^2$.
$(x^2 - 12x + 36) - 36 + 39 = (x - 6)^2 + 3$.
Ответ: $(x - 6)^2 + 3$.

2) Рассмотрим выражение $x^2 - 4x - 9$. Снова применяем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a = x$. Член $-4x$ представляем как $-2 \cdot x \cdot 2$. Значит, $b = 2$.
Нам нужен член $b^2 = 2^2 = 4$. Добавим и вычтем 4:
$x^2 - 4x - 9 = (x^2 - 4x + 4) - 4 - 9$
Выражение в скобках равно $(x-2)^2$.
$(x^2 - 4x + 4) - 4 - 9 = (x - 2)^2 - 13$.
Ответ: $(x - 2)^2 - 13$.

3) В выражении $2x^2 - 24x + 36$ коэффициент при $x^2$ не равен 1. Сначала вынесем его за скобки:
$2x^2 - 24x + 36 = 2(x^2 - 12x + 18)$.
Теперь выделим полный квадрат в выражении $x^2 - 12x + 18$. Как и в первом пункте, $b=6$, и нам нужно добавить и вычесть $36$:
$x^2 - 12x + 18 = (x^2 - 12x + 36) - 36 + 18 = (x-6)^2 - 18$.
Подставим это обратно в исходное выражение с множителем 2:
$2((x-6)^2 - 18) = 2(x-6)^2 - 2 \cdot 18 = 2(x-6)^2 - 36$.
Ответ: $2(x - 6)^2 - 36$.

4) Рассмотрим выражение $-x^2 - \frac{1}{4}x + 7\frac{3}{5}$. Вынесем за скобки коэффициент -1:
$-x^2 - \frac{1}{4}x + 7\frac{3}{5} = -(x^2 + \frac{1}{4}x) + 7\frac{3}{5}$.
Для выражения в скобках используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a = x$. Член $\frac{1}{4}x$ представляем как $2 \cdot x \cdot \frac{1}{8}$. Значит, $b = \frac{1}{8}$.
Нам нужен член $b^2 = (\frac{1}{8})^2 = \frac{1}{64}$. Добавим и вычтем его внутри скобок:
$-(x^2 + \frac{1}{4}x + \frac{1}{64} - \frac{1}{64}) + 7\frac{3}{5} = -((x + \frac{1}{8})^2 - \frac{1}{64}) + 7\frac{3}{5}$.
Раскроем скобки, изменив знак:
$-(x + \frac{1}{8})^2 + \frac{1}{64} + 7\frac{3}{5}$.
Сложим константы: $7\frac{3}{5} = \frac{38}{5}$.
$\frac{1}{64} + \frac{38}{5} = \frac{1 \cdot 5}{320} + \frac{38 \cdot 64}{320} = \frac{5 + 2432}{320} = \frac{2437}{320} = 7\frac{197}{320}$.
Ответ: $-(x + \frac{1}{8})^2 + 7\frac{197}{320}$.

5) Рассмотрим выражение $-3x^2 - 1\frac{2}{3}x + 39$. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
$-3x^2 - \frac{5}{3}x + 39$.
Вынесем за скобки коэффициент -3:
$-3(x^2 + \frac{5}{9}x) + 39$.
Выделим полный квадрат в скобках. Здесь $2b = \frac{5}{9}$, значит $b = \frac{5}{18}$.
Нам нужен член $b^2 = (\frac{5}{18})^2 = \frac{25}{324}$. Добавим и вычтем его:
$-3(x^2 + \frac{5}{9}x + \frac{25}{324} - \frac{25}{324}) + 39 = -3((x + \frac{5}{18})^2 - \frac{25}{324}) + 39$.
Раскроем скобки:
$-3(x + \frac{5}{18})^2 + 3 \cdot \frac{25}{324} + 39 = -3(x + \frac{5}{18})^2 + \frac{25}{108} + 39$.
Сложим константы: $39 + \frac{25}{108} = 39\frac{25}{108}$.
Ответ: $-3(x + \frac{5}{18})^2 + 39\frac{25}{108}$.

6) Рассмотрим выражение $-5x^2 - 7x + 4,5$. Вынесем за скобки коэффициент -5:
$-5(x^2 + \frac{7}{5}x) + 4,5 = -5(x^2 + 1,4x) + 4,5$.
Выделим полный квадрат в скобках. Здесь $2b = 1,4$, значит $b = 0,7$.
Нам нужен член $b^2 = (0,7)^2 = 0,49$. Добавим и вычтем его:
$-5(x^2 + 1,4x + 0,49 - 0,49) + 4,5 = -5((x + 0,7)^2 - 0,49) + 4,5$.
Раскроем скобки:
$-5(x + 0,7)^2 + 5 \cdot 0,49 + 4,5$.
Вычислим константы: $5 \cdot 0,49 = 2,45$.
$2,45 + 4,5 = 6,95$.
Ответ: $-5(x + 0,7)^2 + 6,95$.

6.27. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе алгебраической дроби:

1) $\frac{4}{3\sqrt{5}}$;

2) $\frac{a+3}{\sqrt{a-2}}$;

3) $\frac{a^3+3,8}{\sqrt{a^2-5}}$;

4) $\frac{a^2-4}{\sqrt{2}-a}$;

5) $\frac{c-8}{\sqrt{c}-3}$;

6) $\frac{c^2-16}{\sqrt{c}+2}$.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{4}{3\sqrt{5}} $, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на $ \sqrt{5} $. Это позволит избавиться от квадратного корня в знаменателе, так как $ \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5 $.

$ \frac{4}{3\sqrt{5}} = \frac{4 \cdot \sqrt{5}}{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{3 \cdot 5} = \frac{4\sqrt{5}}{15} $

Ответ: $ \frac{4\sqrt{5}}{15} $

2) В знаменателе дроби $ \frac{a+3}{\sqrt{a}-2} $ находится выражение вида $ \sqrt{x} - y $. Чтобы избавиться от иррациональности, нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение, которым является $ \sqrt{a}+2 $. При умножении знаменателя на сопряженное выражение используем формулу разности квадратов: $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $.

$ \frac{a+3}{\sqrt{a}-2} = \frac{(a+3)(\sqrt{a}+2)}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} = \frac{a\sqrt{a} + 2a + 3\sqrt{a} + 6}{(\sqrt{a})^2 - 2^2} = \frac{a\sqrt{a} + 2a + 3\sqrt{a} + 6}{a-4} $

Ответ: $ \frac{a\sqrt{a} + 2a + 3\sqrt{a} + 6}{a-4} $

3) В знаменателе дроби $ \frac{a^3 + 3,8}{\sqrt{a^2}-5} $ выражение $ \sqrt{a^2} $ равно $ |a| $. Таким образом, дробь принимает вид $ \frac{a^3 + 3,8}{|a|-5} $. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ |a|+5 $.

$ \frac{a^3 + 3,8}{|a|-5} = \frac{(a^3 + 3,8)(|a|+5)}{(|a|-5)(|a|+5)} = \frac{(a^3 + 3,8)(|a|+5)}{|a|^2 - 5^2} = \frac{(a^3 + 3,8)(|a|+5)}{a^2 - 25} $

Ответ: $ \frac{(a^3 + 3,8)(|a|+5)}{a^2 - 25} $

4) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{a^2-4}{\sqrt{2}-a} $, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{2}+a $. В знаменателе применяем формулу разности квадратов.

$ \frac{a^2-4}{\sqrt{2}-a} = \frac{(a^2-4)(\sqrt{2}+a)}{(\sqrt{2}-a)(\sqrt{2}+a)} = \frac{(a^2-4)(\sqrt{2}+a)}{(\sqrt{2})^2 - a^2} = \frac{(a^2-4)(\sqrt{2}+a)}{2-a^2} $

Ответ: $ \frac{(a^2-4)(\sqrt{2}+a)}{2-a^2} $

5) Умножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{c-8}{\sqrt{c}-3} $ на выражение $ \sqrt{c}+3 $, сопряженное знаменателю. В знаменателе снова используем формулу разности квадратов.

$ \frac{c-8}{\sqrt{c}-3} = \frac{(c-8)(\sqrt{c}+3)}{(\sqrt{c}-3)(\sqrt{c}+3)} = \frac{c\sqrt{c}+3c-8\sqrt{c}-24}{(\sqrt{c})^2 - 3^2} = \frac{c\sqrt{c}+3c-8\sqrt{c}-24}{c-9} $

Ответ: $ \frac{c\sqrt{c}+3c-8\sqrt{c}-24}{c-9} $

6) В дроби $ \frac{c^2-16}{\sqrt{c}+2} $ умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{c}-2 $.

$ \frac{c^2-16}{\sqrt{c}+2} = \frac{(c^2-16)(\sqrt{c}-2)}{(\sqrt{c}+2)(\sqrt{c}-2)} = \frac{(c^2-16)(\sqrt{c}-2)}{(\sqrt{c})^2 - 2^2} = \frac{(c^2-16)(\sqrt{c}-2)}{c-4} $

Заметим, что числитель можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $ c^2-16 = (c-4)(c+4) $.

$ \frac{(c-4)(c+4)(\sqrt{c}-2)}{c-4} $

При условии, что $ c \neq 4 $, мы можем сократить дробь на $ (c-4) $.

$ (c+4)(\sqrt{c}-2) $

Полученное выражение является ответом. Можно также раскрыть скобки: $ c\sqrt{c}-2c+4\sqrt{c}-8 $.

Ответ: $ (c+4)(\sqrt{c}-2) $

6.28. Найдите значение выражения $\frac{x^2 - 8x + 16}{x - 4} + \sqrt{x - 2}$ при:

1) $x = 2,36$;

2) $x = 6$;

3) $x = 18$;

4) $x = 3,44$.

Для решения задачи сначала упростим исходное выражение: $ \frac{x^2 - 8x + 16}{x - 4} + \sqrt{x - 2} $.
Числитель дроби $ x^2 - 8x + 16 $ представляет собой полный квадрат разности по формуле $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $, где $a=x$ и $b=4$. Таким образом, $ x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2 $.
Теперь выражение можно записать как: $ \frac{(x-4)^2}{x-4} + \sqrt{x-2} $.
Область допустимых значений (ОДЗ) этого выражения определяется условиями:
1. Знаменатель не равен нулю: $ x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4 $.
2. Выражение под корнем неотрицательно: $ x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2 $.
Все предложенные в задаче значения $x$ удовлетворяют этим условиям.
Для $x \neq 4$ мы можем сократить дробь: $ \frac{(x-4)^2}{x-4} = x-4 $.
Итак, упрощенное выражение: $ (x-4) + \sqrt{x-2} $.
Теперь подставим в это выражение конкретные значения $x$.

1) x = 2,36;
Подставляем $x = 2.36$ в упрощенное выражение:
$ (2.36 - 4) + \sqrt{2.36 - 2} = -1.64 + \sqrt{0.36} = -1.64 + 0.6 = -1.04 $.
Ответ: -1,04.

2) x = 6;
Подставляем $x = 6$ в упрощенное выражение:
$ (6 - 4) + \sqrt{6 - 2} = 2 + \sqrt{4} = 2 + 2 = 4 $.
Ответ: 4.

3) x = 18;
Подставляем $x = 18$ в упрощенное выражение:
$ (18 - 4) + \sqrt{18 - 2} = 14 + \sqrt{16} = 14 + 4 = 18 $.
Ответ: 18.

4) x = 3,44;
Подставляем $x = 3.44$ в упрощенное выражение:
$ (3.44 - 4) + \sqrt{3.44 - 2} = -0.56 + \sqrt{1.44} = -0.56 + 1.2 = 0.64 $.
Ответ: 0,64.

6.29. Упростите выражение:

1) $5\sqrt{3}-\sqrt{12}+\sqrt{75}$;

2) $(4\sqrt{3}-\sqrt{18})\cdot\sqrt{2}-4\sqrt{6}$;

3) $(6\sqrt{5}-\sqrt{45})\cdot\sqrt{5}-4,4.$

1) Чтобы упростить выражение $5\sqrt{3}-\sqrt{12}+\sqrt{75}$, необходимо привести все слагаемые к общему виду, вынеся множители из-под знаков корней.
Упростим корень из 12: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
Упростим корень из 75: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3}$
Так как все слагаемые содержат одинаковый радикал $\sqrt{3}$, мы можем сложить и вычесть их коэффициенты:
$(5 - 2 + 5)\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.
Ответ: $8\sqrt{3}$.

2) Рассмотрим выражение $(4\sqrt{3}-\sqrt{18})\cdot\sqrt{2}-4\sqrt{6}$.
Сначала упростим $\sqrt{18}$, вынеся множитель из-под знака корня:
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
Подставим это значение в выражение:
$(4\sqrt{3}-3\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}-4\sqrt{6}$.
Теперь раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на $\sqrt{2}$:
$4\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - 4\sqrt{6}$.
Применим свойство умножения корней $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$:
$4\sqrt{3 \cdot 2} - 3\sqrt{2 \cdot 2} - 4\sqrt{6} = 4\sqrt{6} - 3\sqrt{4} - 4\sqrt{6}$.
Так как $\sqrt{4} = 2$, получаем:
$4\sqrt{6} - 3 \cdot 2 - 4\sqrt{6} = 4\sqrt{6} - 6 - 4\sqrt{6}$.
Приведем подобные слагаемые:
$(4\sqrt{6} - 4\sqrt{6}) - 6 = 0 - 6 = -6$.
Ответ: $-6$.

3) Упростим выражение $(6\sqrt{5}-\sqrt{45})\cdot\sqrt{5}-4,4$.
Сначала упростим корень в скобках, вынеся множитель из-под знака корня:
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.
Подставим это значение в выражение:
$(6\sqrt{5}-3\sqrt{5})\cdot\sqrt{5}-4,4$.
Выполним вычитание в скобках:
$(6-3)\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$.
Выражение примет вид:
$3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - 4,4$.
Так как $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 = 5$, получаем:
$3 \cdot 5 - 4,4$.
Выполним оставшиеся арифметические действия:
$15 - 4,4 = 10,6$.
Ответ: $10,6$.

6.30. Вычислите наиболее рациональным способом:

1) $\frac{5^8 - 1}{313 \cdot (25^2 - 1)}$

2) $\frac{3^{12} - 1}{365 \cdot (9^3 - 1)}$

3) $\frac{76^3 + 57^3}{76^2 - 76 \cdot 57 + 57^2}$

1) $\frac{5^8 - 1}{313 \cdot (25^2 - 1)}$

Для решения воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ и свойством степеней $(a^m)^n = a^{mn}$.

Преобразуем числитель дроби, представив $5^8$ как $(5^4)^2$:

$5^8 - 1 = (5^4)^2 - 1^2 = (5^4 - 1)(5^4 + 1)$.

Теперь преобразуем знаменатель. Заметим, что $25 = 5^2$, поэтому $25^2 = (5^2)^2 = 5^4$.

Знаменатель примет вид: $313 \cdot (5^4 - 1)$.

Подставим преобразованные выражения обратно в дробь:

$\frac{(5^4 - 1)(5^4 + 1)}{313 \cdot (5^4 - 1)}$

Сократим общий множитель $(5^4 - 1)$ в числителе и знаменателе. Получим:

$\frac{5^4 + 1}{313}$

Осталось вычислить значение этого выражения. Найдем $5^4$:

$5^4 = 625$.

Тогда: $\frac{625 + 1}{313} = \frac{626}{313} = 2$.

Ответ: 2.

2) $\frac{3^{12} - 1}{365 \cdot (9^3 - 1)}$

Это задание решается аналогично предыдущему. Снова применим формулу разности квадратов.

Преобразуем числитель, представив $3^{12}$ как $(3^6)^2$:

$3^{12} - 1 = (3^6)^2 - 1^2 = (3^6 - 1)(3^6 + 1)$.

В знаменателе представим $9$ как $3^2$. Тогда $9^3 = (3^2)^3 = 3^6$.

Знаменатель примет вид: $365 \cdot (3^6 - 1)$.

Запишем исходную дробь с преобразованными частями:

$\frac{(3^6 - 1)(3^6 + 1)}{365 \cdot (3^6 - 1)}$

Сократим общий множитель $(3^6 - 1)$:

$\frac{3^6 + 1}{365}$

Теперь вычислим значение $3^6$:

$3^6 = (3^3)^2 = 27^2 = 729$.

Подставим это значение в выражение:

$\frac{729 + 1}{365} = \frac{730}{365} = 2$.

Ответ: 2.

3) $\frac{76^3 + 57^3}{76^2 - 76 \cdot 57 + 57^2}$

Для решения этого примера необходимо узнать формулу сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В числителе нашей дроби стоит сумма кубов, а в знаменателе — неполный квадрат разности. Пусть $a = 76$ и $b = 57$.

Применим формулу к числителю:

$76^3 + 57^3 = (76 + 57)(76^2 - 76 \cdot 57 + 57^2)$.

Подставим разложение числителя в исходное выражение:

$\frac{(76 + 57)(76^2 - 76 \cdot 57 + 57^2)}{76^2 - 76 \cdot 57 + 57^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(76^2 - 76 \cdot 57 + 57^2)$. У нас останется:

$76 + 57$

Выполним сложение:

$76 + 57 = 133$.

Ответ: 133.

6.31. В выражении выделите квадрат двучлена:

1) $x^2 - 8x + 39;$

2) $x^2 + 12x - 9;$

3) $2x^2 - 22x - 37.$

1) Чтобы выделить квадрат двучлена в выражении $x^2 - 8x + 39$, необходимо использовать формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном выражении $a^2$ соответствует $x^2$, следовательно, $a=x$. Член $-8x$ соответствует удвоенному произведению $-2ab$. Из уравнения $-2xb = -8x$ находим, что $b = 4$. Для получения полного квадрата нам нужен член $b^2 = 4^2 = 16$. Чтобы не изменить значение исходного выражения, мы добавим и вычтем 16: $x^2 - 8x + 39 = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 39$. Выражение в скобках теперь является полным квадратом $(x-4)^2$. Подставим его обратно и выполним вычисления: $(x-4)^2 - 16 + 39 = (x-4)^2 + 23$.
Ответ: $(x-4)^2 + 23$.

2) Для выражения $x^2 + 12x - 9$ применяется формула квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a^2$ соответствует $x^2$, то есть $a=x$. Член $12x$ соответствует $2ab$. Из $2xb = 12x$ получаем $b = 6$. Для полного квадрата необходим член $b^2 = 6^2 = 36$. Добавим и вычтем 36 в исходном выражении: $x^2 + 12x - 9 = (x^2 + 12x + 36) - 36 - 9$. Выражение в скобках сворачивается в полный квадрат $(x+6)^2$. Подставим и вычислим оставшуюся часть: $(x+6)^2 - 36 - 9 = (x+6)^2 - 45$.
Ответ: $(x+6)^2 - 45$.

3) В выражении $2x^2 - 22x - 37$ коэффициент при $x^2$ отличен от единицы. Первым шагом вынесем этот коэффициент (2) за скобки для членов, содержащих переменную $x$: $2x^2 - 22x - 37 = 2(x^2 - 11x) - 37$. Теперь выделим полный квадрат для выражения в скобках, $x^2 - 11x$, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=x$, а $-11x$ это $-2ab$. Из $-2xb = -11x$ находим $b = \frac{11}{2}$. Соответственно, $b^2 = (\frac{11}{2})^2 = \frac{121}{4}$. Добавим и вычтем $\frac{121}{4}$ внутри скобок: $2(x^2 - 11x + \frac{121}{4} - \frac{121}{4}) - 37$. Сгруппируем члены в полный квадрат и раскроем скобки: $2\left( (x^2 - 11x + \frac{121}{4}) - \frac{121}{4} \right) - 37 = 2(x - \frac{11}{2})^2 - 2 \cdot \frac{121}{4} - 37$. Упростим полученное выражение: $2(x - \frac{11}{2})^2 - \frac{121}{2} - 37$. Приведем свободные члены к общему знаменателю и сложим их: $- \frac{121}{2} - 37 = - \frac{121}{2} - \frac{74}{2} = - \frac{195}{2}$. Окончательный вид выражения: $2(x - \frac{11}{2})^2 - \frac{195}{2}$.
Ответ: $2(x - \frac{11}{2})^2 - \frac{195}{2}$.

6.32. Найдите значение выражения $\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ при:

1) $a = 2, b = -3, c = -4;$

2) $a = 3, b = -7, c = 12.$

1) при $a = 2, b = -3, c = -4$

Подставим данные значения в выражение $\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$:

$\frac{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4)}{4 \cdot 2^2} = \frac{9 - (-32)}{4 \cdot 4} = \frac{9 + 32}{16} = \frac{41}{16}$

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$\frac{41}{16} = 2\frac{9}{16}$

Или в виде десятичной дроби:

$2\frac{9}{16} = 2.5625$

Ответ: $2\frac{9}{16}$

2) при $a = 3, b = -7, c = 12$

Подставим данные значения в выражение $\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$:

$\frac{(-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12}{4 \cdot 3^2} = \frac{49 - 144}{4 \cdot 9} = \frac{-95}{36}$

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$-\frac{95}{36} = -2\frac{23}{36}$

Ответ: $-2\frac{23}{36}$