Страница 67 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (7.11–7.14):

7.11. 1) $8x^2 - 12x + 36 = 0$;

2) $-x^2 - 6x + 19 = 0$;

3) $3x^2 + 32x + 80 = 0$;

4) $x^2 - 34x + 289 = 0$.

1)

Дано квадратное уравнение $8x^2 - 12x + 36 = 0$.

Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на их наибольший общий делитель, равный 4:

$ \frac{8x^2}{4} - \frac{12x}{4} + \frac{36}{4} = \frac{0}{4} $

$2x^2 - 3x + 9 = 0$.

Теперь решим это уравнение. Коэффициенты: $a=2$, $b=-3$, $c=9$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 9 - 72 = -63$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

2)

Дано квадратное уравнение $-x^2 - 6x + 19 = 0$.

Умножим все члены уравнения на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$x^2 + 6x - 19 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=6$, $c=-19$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-19) = 36 + 76 = 112$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{16 \cdot 7}}{2} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{7}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{7}$.

Корни уравнения: $x_1 = -3 - 2\sqrt{7}$ и $x_2 = -3 + 2\sqrt{7}$.

Ответ: $-3 - 2\sqrt{7}; -3 + 2\sqrt{7}$.

3)

Дано квадратное уравнение $3x^2 + 32x + 80 = 0$.

Коэффициенты: $a=3$, $b=32$, $c=80$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 32^2 - 4 \cdot 3 \cdot 80 = 1024 - 960 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-32 \pm 8}{2 \cdot 3} = \frac{-32 \pm 8}{6}$.

Вычислим каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{-32 + 8}{6} = \frac{-24}{6} = -4$.

$x_2 = \frac{-32 - 8}{6} = \frac{-40}{6} = -\frac{20}{3}$.

Ответ: $-4; -\frac{20}{3}$.

4)

Дано квадратное уравнение $x^2 - 34x + 289 = 0$.

Можно заметить, что левая часть уравнения является формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

В данном случае $a=x$ и $b=17$, так как $2 \cdot x \cdot 17 = 34x$ и $17^2 = 289$.

Свернем выражение в полный квадрат:

$(x - 17)^2 = 0$.

Это уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня):

$x - 17 = 0 \Rightarrow x = 17$.

Альтернативный способ: через дискриминант.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-34$, $c=289$.

$D = b^2 - 4ac = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 289 = 1156 - 1156 = 0$.

Поскольку $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень, который находится по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:

$x = \frac{-(-34)}{2 \cdot 1} = \frac{34}{2} = 17$.

Ответ: 17.

7.12.

1) $12y^2 + 16y - 3 = 0;$

2) $2y^2 - 5y - 3 = 0;$

3) $5a^2 + 9a + 4 = 0;$

4) $a^2 + 9a + 4 = 0.$

1) Решим квадратное уравнение $12y^2 + 16y - 3 = 0$. Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a = 12$, $b = 16$, $c = -3$.Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:$D = 16^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-3) = 256 + 144 = 400$.Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$.Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$y_1 = \frac{-16 + 20}{2 \cdot 12} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$.$y_2 = \frac{-16 - 20}{2 \cdot 12} = \frac{-36}{24} = -\frac{3}{2} = -1.5$.Ответ: $y_1 = \frac{1}{6}$, $y_2 = -1.5$.

2) Решим квадратное уравнение $2y^2 - 5y - 3 = 0$. Коэффициенты: $a = 2$, $b = -5$, $c = -3$.Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$y_1 = \frac{-(-5) + 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$.$y_2 = \frac{-(-5) - 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} = -0.5$.Ответ: $y_1 = 3$, $y_2 = -0.5$.

3) Решим квадратное уравнение $5a^2 + 9a + 4 = 0$. Коэффициенты: $a = 5$, $b = 9$, $c = 4$.Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:$D = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 81 - 80 = 1$.Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$.Найдем корни по формуле $a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$a_1 = \frac{-9 + 1}{2 \cdot 5} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5} = -0.8$.$a_2 = \frac{-9 - 1}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$.Ответ: $a_1 = -0.8$, $a_2 = -1$.

4) Решим квадратное уравнение $a^2 + 9a + 4 = 0$. Коэффициенты: $a = 1$, $b = 9$, $c = 4$.Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 81 - 16 = 65$.Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Поскольку $\sqrt{65}$ не извлекается нацело, корень из дискриминанта так и останется $\sqrt{65}$.Найдем корни по формуле $a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$a_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 \pm \sqrt{65}}{2}$.$a_1 = \frac{-9 + \sqrt{65}}{2}$.$a_2 = \frac{-9 - \sqrt{65}}{2}$.Ответ: $a_1 = \frac{-9 + \sqrt{65}}{2}$, $a_2 = \frac{-9 - \sqrt{65}}{2}$.

7.13.

1) $9x - 5x^2 = -2;$

2) $a^2 = 52a - 576;$

3) $-y^2 = 5y - 14;$

4) $c^2 - 25 = c - 5.$

1) $9x - 5x^2 = -2$
Для решения данного квадратного уравнения сначала приведем его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$. Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$-5x^2 + 9x + 2 = 0$
Для удобства умножим все уравнение на $-1$, чтобы коэффициент при старшей степени был положительным:
$5x^2 - 9x - 2 = 0$
Теперь найдем корни уравнения с помощью дискриминанта. Коэффициенты уравнения: $a=5$, $b=-9$, $c=-2$.
Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-9) + 11}{2 \cdot 5} = \frac{9 + 11}{10} = \frac{20}{10} = 2$
$x_2 = \frac{-(-9) - 11}{2 \cdot 5} = \frac{9 - 11}{10} = \frac{-2}{10} = -0.2$
Ответ: $-0.2; 2$

2) $a^2 = 52a - 576$
Приведем уравнение к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть:
$a^2 - 52a + 576 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант. Коэффициенты: $A=1$, $B=-52$, $C=576$.
$D = B^2 - 4AC = (-52)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 576 = 2704 - 2304 = 400$
$\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$.
Найдем корни по формуле $a_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:
$a_1 = \frac{-(-52) + 20}{2 \cdot 1} = \frac{52 + 20}{2} = \frac{72}{2} = 36$
$a_2 = \frac{-(-52) - 20}{2 \cdot 1} = \frac{52 - 20}{2} = \frac{32}{2} = 16$
Ответ: $16; 36$

3) $-y^2 = 5y - 14$
Приведем уравнение к стандартному виду:
$-y^2 - 5y + 14 = 0$
Умножим уравнение на $-1$:
$y^2 + 5y - 14 = 0$
Решим уравнение через дискриминант. Коэффициенты: $a=1$, $b=5$, $c=-14$.
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$
$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.
Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$
$y_2 = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7$
Ответ: $-7; 2$

4) $c^2 - 25 = c - 5$
Приведем уравнение к стандартному виду, собрав все члены в левой части:
$c^2 - c - 25 + 5 = 0$
$c^2 - c - 20 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $A=1$, $B=-1$, $C=-20$.
Найдем дискриминант:
$D = B^2 - 4AC = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$
$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.
Найдем корни по формуле $c_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:
$c_1 = \frac{-(-1) + 9}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$c_2 = \frac{-(-1) - 9}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Ответ: $-4; 5$

7.14.

1) $25 = 26a - a^2;$

2) $a^2 = 4a + 96;$

3) $10 - 29a = 3a^2;$

4) $3c^2 + 3 = 10c.$

1) Это квадратное уравнение. Для его решения перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$.
$25 = 26a - a^2$
$a^2 - 26a + 25 = 0$
Данное уравнение является приведенным квадратным уравнением (коэффициент при $a^2$ равен 1). Его можно решить с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
$a_1 + a_2 = 26$
$a_1 \cdot a_2 = 25$
Подбором находим, что корни уравнения: $a_1 = 1$ и $a_2 = 25$.
Также можно решить через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 676 - 100 = 576$
$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$
$a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 \pm 24}{2}$
$a_1 = \frac{26 + 24}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$a_2 = \frac{26 - 24}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Ответ: $1; 25$.

2) Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в левую часть.
$a^2 = 4a + 96$
$a^2 - 4a - 96 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400$
$\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$
Найдем корни по формуле $a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$a_1 = \frac{4 + 20}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$a_2 = \frac{4 - 20}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
Ответ: $-8; 12$.

3) Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение.
$10 - 29a = 3a^2$
$3a^2 + 29a - 10 = 0$
Решим уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 29^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 841 + 120 = 961$
$\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$
Найдем корни по формуле $a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$a_1 = \frac{-29 + 31}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$a_2 = \frac{-29 - 31}{2 \cdot 3} = \frac{-60}{6} = -10$
Ответ: $-10; \frac{1}{3}$.

4) Приведем уравнение к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть.
$3c^2 + 3 = 10c$
$3c^2 - 10c + 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$
$\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$
Найдем корни по формуле $c_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$c_1 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$
$c_2 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}; 3$.

Найдите корни уравнений (7.15–7.16):

7.15. 1) $(2y - 3) \cdot (5y + 1) = 2y + \frac{2}{5}$;

2) $-y \cdot (y + 7) = (2 + y) \cdot (y - 2)$;

3) $(3y - 1) \cdot (y + 3) = y(6y + 1)$;

4) $(y + 1) \cdot (y - 1) = 2(5y + 10,5)$.

1) $(2y - 3) \cdot (5y + 1) = 2y + \frac{2}{5}$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$10y^2 + 2y - 15y - 3 = 2y + \frac{2}{5}$
Приведем подобные слагаемые:
$10y^2 - 13y - 3 = 2y + \frac{2}{5}$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$10y^2 - 13y - 2y - 3 - \frac{2}{5} = 0$
$10y^2 - 15y - (3 + \frac{2}{5}) = 0$
$10y^2 - 15y - \frac{17}{5} = 0$
Умножим все уравнение на 5, чтобы избавиться от дроби:
$50y^2 - 75y - 17 = 0$
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-75)^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-17) = 5625 + 3400 = 9025$
$\sqrt{D} = \sqrt{9025} = 95$
Найдем корни уравнения по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{75 + 95}{2 \cdot 50} = \frac{170}{100} = 1,7$
$y_2 = \frac{75 - 95}{2 \cdot 50} = \frac{-20}{100} = -0,2$
Ответ: $y_1 = 1,7$; $y_2 = -0,2$.

2) $-y \cdot (y + 7) = (2 + y) \cdot (y - 2)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В правой части используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$-y^2 - 7y = y^2 - 4$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = y^2 + y^2 + 7y - 4$
$2y^2 + 7y - 4 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$
$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$
Найдем корни уравнения:
$y_1 = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$
$y_2 = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$
Ответ: $y_1 = 0,5$; $y_2 = -4$.

3) $(3y - 1) \cdot (y + 3) = y(6y + 1)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$3y^2 + 9y - y - 3 = 6y^2 + y$
$3y^2 + 8y - 3 = 6y^2 + y$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = 6y^2 - 3y^2 + y - 8y + 3$
$3y^2 - 7y + 3 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 49 - 36 = 13$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни уравнения:
$y = \frac{-(-7) \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{6}$
$y_1 = \frac{7 + \sqrt{13}}{6}$
$y_2 = \frac{7 - \sqrt{13}}{6}$
Ответ: $y_1 = \frac{7 + \sqrt{13}}{6}$; $y_2 = \frac{7 - \sqrt{13}}{6}$.

4) $(y + 1) \cdot (y - 1) = 2(5y + 10,5)$
Раскроем скобки. В левой части используем формулу разности квадратов:
$y^2 - 1^2 = 10y + 2 \cdot 10,5$
$y^2 - 1 = 10y + 21$
Перенесем все члены в левую часть:
$y^2 - 10y - 1 - 21 = 0$
$y^2 - 10y - 22 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 100 + 88 = 188$
Найдем корни уравнения. Упростим корень из дискриминанта: $\sqrt{188} = \sqrt{4 \cdot 47} = 2\sqrt{47}$.
$y = \frac{-(-10) \pm 2\sqrt{47}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 2\sqrt{47}}{2} = \frac{2(5 \pm \sqrt{47})}{2} = 5 \pm \sqrt{47}$
$y_1 = 5 + \sqrt{47}$
$y_2 = 5 - \sqrt{47}$
Ответ: $y_1 = 5 + \sqrt{47}$; $y_2 = 5 - \sqrt{47}$.

7.16.

1) $(x+1)^2 = (2x-1)^2;$

2) $(2x-3)^2 = 11x - 19;$

3) $15(x+1)^2 = 15x^2 + 17;$

4) $(x-2)^2 = -2x + 31.$

1) Решим уравнение $(x + 1)^2 = (2x - 1)^2$.

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, используя формулу квадрата суммы/разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2$

$x^2 + 2x + 1 = 4x^2 - 4x + 1$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$.

$4x^2 - x^2 - 4x - 2x + 1 - 1 = 0$

$3x^2 - 6x = 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки.

$3x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому имеем два случая:

$3x = 0$ или $x - 2 = 0$

$x_1 = 0$

$x_2 = 2$

Ответ: $0; 2$.

2) Решим уравнение $(2x - 3)^2 = 11x - 19$.

Раскроем скобки в левой части уравнения.

$(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 11x - 19$

$4x^2 - 12x + 9 = 11x - 19$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение.

$4x^2 - 12x - 11x + 9 + 19 = 0$

$4x^2 - 23x + 28 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Здесь $a = 4, b = -23, c = 28$.

$D = (-23)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 28 = 529 - 16 \cdot 28 = 529 - 448 = 81$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-23) + \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{23 + 9}{8} = \frac{32}{8} = 4$

$x_2 = \frac{-(-23) - \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{23 - 9}{8} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}$

Ответ: $4; \frac{7}{4}$.

3) Решим уравнение $15(x + 1)^2 = 15x^2 + 17$.

Раскроем скобки в левой части уравнения.

$15(x^2 + 2x + 1) = 15x^2 + 17$

Умножим выражение в скобках на 15.

$15x^2 + 30x + 15 = 15x^2 + 17$

Вычтем $15x^2$ из обеих частей уравнения.

$30x + 15 = 17$

Теперь решим получившееся линейное уравнение.

$30x = 17 - 15$

$30x = 2$

$x = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$

Ответ: $\frac{1}{15}$.

4) Решим уравнение $(x - 2)^2 = -2x + 31$.

Раскроем скобки в левой части.

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = -2x + 31$

$x^2 - 4x + 4 = -2x + 31$

Перенесем все члены в левую часть.

$x^2 - 4x + 2x + 4 - 31 = 0$

$x^2 - 2x - 27 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. $a = 1, b = -2, c = -27$.

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 4 + 108 = 112$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{16 \cdot 7}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{7}}{2}$

Сократим дробь на 2, разделив числитель и знаменатель.

$x = 1 \pm 2\sqrt{7}$

Таким образом, корни уравнения:

$x_1 = 1 + 2\sqrt{7}$

$x_2 = 1 - 2\sqrt{7}$

Ответ: $1 \pm 2\sqrt{7}$.

7.17. Решите уравнение:

1) $ \frac{4a^2 - 1}{3} = (10a - 9)a; $

2) $ \frac{a^2 + a}{2} = \frac{8a - 7}{3}; $

3) $ 11(a + 1) = \frac{a^2 - 1}{2}; $

4) $ (2a - 1) \cdot (a - 5) = a^2 - 5. $

1) Исходное уравнение: $\frac{4a^2 - 1}{3} = (10a - 9)a$.
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$\frac{4a^2 - 1}{3} = 10a^2 - 9a$.
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 3:
$4a^2 - 1 = 3(10a^2 - 9a)$
$4a^2 - 1 = 30a^2 - 27a$.
Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$30a^2 - 4a^2 - 27a + 1 = 0$
$26a^2 - 27a + 1 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-27)^2 - 4 \cdot 26 \cdot 1 = 729 - 104 = 625$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдём их по формуле $a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$a_1 = \frac{-(-27) + \sqrt{625}}{2 \cdot 26} = \frac{27 + 25}{52} = \frac{52}{52} = 1$.
$a_2 = \frac{-(-27) - \sqrt{625}}{2 \cdot 26} = \frac{27 - 25}{52} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$.
Ответ: $1; \frac{1}{26}$.

2) Исходное уравнение: $\frac{a^2 + a}{2} = \frac{8a - 7}{3}$.
Это пропорция. Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$3(a^2 + a) = 2(8a - 7)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$3a^2 + 3a = 16a - 14$.
Перенесём все члены в левую часть:
$3a^2 + 3a - 16a + 14 = 0$
$3a^2 - 13a + 14 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1$.
Найдём корни уравнения:
$a_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 1}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.
$a_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 1}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
Ответ: $2; \frac{7}{3}$.

3) Исходное уравнение: $11(a + 1) = \frac{a^2 - 1}{2}$.
Заметим, что в правой части находится формула разности квадратов: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$.
Подставим это в уравнение:
$11(a + 1) = \frac{(a - 1)(a + 1)}{2}$.
Перенесём все члены в левую часть и вынесем общий множитель $(a+1)$ за скобки:
$11(a + 1) - \frac{(a - 1)(a + 1)}{2} = 0$
$(a + 1) \cdot (11 - \frac{a - 1}{2}) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1) $a + 1 = 0 \implies a_1 = -1$.
2) $11 - \frac{a - 1}{2} = 0 \implies 11 = \frac{a - 1}{2} \implies 22 = a - 1 \implies a_2 = 23$.
Ответ: $-1; 23$.

4) Исходное уравнение: $(2a - 1)(a - 5) = a^2 - 5$.
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$2a^2 - 10a - a + 5 = a^2 - 5$.
Приведём подобные слагаемые:
$2a^2 - 11a + 5 = a^2 - 5$.
Перенесём все члены из правой части в левую:
$2a^2 - a^2 - 11a + 5 + 5 = 0$
$a^2 - 11a + 10 = 0$.
Это приведённое квадратное уравнение. Его можно решить по теореме Виета. Сумма корней равна 11, а их произведение равно 10.
$a_1 + a_2 = 11$
$a_1 \cdot a_2 = 10$
Подбором находим корни: $a_1 = 1$ и $a_2 = 10$.
Также можно решить через дискриминант:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 - 40 = 81$.
$a_1 = \frac{11 + \sqrt{81}}{2} = \frac{11 + 9}{2} = \frac{20}{2} = 10$.
$a_2 = \frac{11 - \sqrt{81}}{2} = \frac{11 - 9}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Ответ: $1; 10$.

7.18. При каких значениях переменной верно равенство:

1) $y (5y + 4) = 5y + 4;$

2) $y (3y - 8) = (8 - 3y)^2;$

3) $\frac{y^2}{3} - 9 = -2y;$

4) $\frac{y^2 - 10}{3} = -y?$

1) Решим уравнение $y(5y + 4) = 5y + 4$.
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы справа остался ноль:
$y(5y + 4) - (5y + 4) = 0$
Теперь можно вынести общий множитель $(5y + 4)$ за скобки:
$(y - 1)(5y + 4) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1) $y - 1 = 0 \implies y = 1$
2) $5y + 4 = 0 \implies 5y = -4 \implies y = -4/5 = -0.8$
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $y_1 = 1$, $y_2 = -0.8$.

2) Решим уравнение $y(3y - 8) = (8 - 3y)^2$.
Заметим, что выражение в скобках в левой части, $3y - 8$, является противоположным выражению в скобках в правой части, $8 - 3y$. То есть, $3y - 8 = -(8 - 3y)$.
Подставим это в исходное уравнение:
$y \cdot (-(8 - 3y)) = (8 - 3y)^2$
$-y(8 - 3y) = (8 - 3y)^2$
Перенесем все члены в правую часть:
$(8 - 3y)^2 + y(8 - 3y) = 0$
Вынесем общий множитель $(8 - 3y)$ за скобки:
$(8 - 3y)((8 - 3y) + y) = 0$
Упростим выражение во второй скобке:
$(8 - 3y)(8 - 2y) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $8 - 3y = 0 \implies 3y = 8 \implies y = 8/3$
2) $8 - 2y = 0 \implies 2y = 8 \implies y = 4$
Ответ: $y_1 = 4$, $y_2 = 8/3$.

3) Решим уравнение $\frac{y^2}{3} - 9 = -2y$.
Для начала избавимся от дроби, умножив все члены уравнения на 3:
$3 \cdot \frac{y^2}{3} - 3 \cdot 9 = 3 \cdot (-2y)$
$y^2 - 27 = -6y$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ay^2+by+c=0$:
$y^2 + 6y - 27 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$a=1, b=6, c=-27$
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144$
$\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$
Найдем корни уравнения по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-6 + 12}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$
$y_2 = \frac{-6 - 12}{2 \cdot 1} = \frac{-18}{2} = -9$
Ответ: $y_1 = 3$, $y_2 = -9$.

4) Решим уравнение $\frac{y^2 - 10}{3} = -y$.
Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
$y^2 - 10 = -3y$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$y^2 + 3y - 10 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать по теореме Виета: нам нужны два числа, произведение которых равно $c=-10$, а сумма равна $-b=-3$. Эти числа 2 и -5, так как $2 \cdot (-5) = -10$ и $2 + (-5) = -3$.
Либо решим через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$a=1, b=3, c=-10$
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$
$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$
Найдем корни уравнения:
$y_1 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$
$y_2 = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$
Ответ: $y_1 = 2$, $y_2 = -5$.

7.19. Один из корней уравнения равен 2. Найдите параметр $p$ в уравнении:

1) $px^2 - 2x + 3 = 0;$

2) $px^2 - 5x - 2 = 0;$

3) $x^2 - 2px + 6 = 0;$

4) $x^2 - 8px - 4,6 = 0.$

По условию задачи, число 2 является одним из корней уравнения. Это означает, что при подстановке значения $x = 2$ в каждое из уравнений мы получим верное числовое равенство. Используем это свойство для нахождения параметра $p$ в каждом случае.

1) $px^2 - 2x + 3 = 0$
Подставим корень $x = 2$ в уравнение:
$p \cdot (2)^2 - 2 \cdot 2 + 3 = 0$
Выполним вычисления:
$p \cdot 4 - 4 + 3 = 0$
$4p - 1 = 0$
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $p$:
$4p = 1$
$p = \frac{1}{4}$
Ответ: $p = \frac{1}{4}$.

2) $px^2 - 5x - 2 = 0$
Подставим корень $x = 2$ в уравнение:
$p \cdot (2)^2 - 5 \cdot 2 - 2 = 0$
Выполним вычисления:
$p \cdot 4 - 10 - 2 = 0$
$4p - 12 = 0$
Решим уравнение:
$4p = 12$
$p = \frac{12}{4}$
$p = 3$
Ответ: $p = 3$.

3) $x^2 - 2px + 6 = 0$
Подставим корень $x = 2$ в уравнение:
$(2)^2 - 2p \cdot 2 + 6 = 0$
Выполним вычисления:
$4 - 4p + 6 = 0$
$10 - 4p = 0$
Решим уравнение:
$10 = 4p$
$p = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5$
Ответ: $p = 2,5$.

4) $x^2 - 8px - 4,6 = 0$
Подставим корень $x = 2$ в уравнение:
$(2)^2 - 8p \cdot 2 - 4,6 = 0$
Выполним вычисления:
$4 - 16p - 4,6 = 0$
$-0,6 - 16p = 0$
Решим уравнение:
$-16p = 0,6$
$p = -\frac{0,6}{16} = -\frac{6}{160} = -\frac{3}{80}$
$p = -0,0375$
Ответ: $p = -0,0375$.

7.20. При каких значениях параметра $p$ число $-3$ является корнем уравнения:

1) $2y^2 - 3y + 2p = 0$;

2) $-y^2 + 2y - 5p = 0$;

3) $-0,2y^2 = 3y + 4,6p$;

4) $-y^2 = -3,4y + 2,5p?$

Для того чтобы число -3 являлось корнем уравнения, оно должно удовлетворять этому уравнению. Это означает, что если мы подставим значение $y = -3$ в уравнение, мы получим верное равенство. Используем это свойство для нахождения параметра $p$ в каждом случае.

1) Подставим $y = -3$ в уравнение $2y^2 - 3y + 2p = 0$:
$2 \cdot (-3)^2 - 3 \cdot (-3) + 2p = 0$
$2 \cdot 9 + 9 + 2p = 0$
$18 + 9 + 2p = 0$
$27 + 2p = 0$
Теперь решим полученное уравнение относительно $p$:
$2p = -27$
$p = -\frac{27}{2}$
$p = -13,5$
Ответ: $p = -13,5$.

2) Подставим $y = -3$ в уравнение $-y^2 + 2y - 5p = 0$:
$-(-3)^2 + 2 \cdot (-3) - 5p = 0$
$-(9) - 6 - 5p = 0$
$-9 - 6 - 5p = 0$
$-15 - 5p = 0$
Решим уравнение для $p$:
$-5p = 15$
$p = \frac{15}{-5}$
$p = -3$
Ответ: $p = -3$.

3) Подставим $y = -3$ в уравнение $-0,2y^2 = 3y + 4,6p$:
$-0,2 \cdot (-3)^2 = 3 \cdot (-3) + 4,6p$
$-0,2 \cdot 9 = -9 + 4,6p$
$-1,8 = -9 + 4,6p$
Теперь найдем $p$:
$4,6p = 9 - 1,8$
$4,6p = 7,2$
$p = \frac{7,2}{4,6}$
$p = \frac{72}{46}$
$p = \frac{36}{23}$
Ответ: $p = \frac{36}{23}$.

4) Подставим $y = -3$ в уравнение $-y^2 = -3,4y + 2,5p$:
$-(-3)^2 = -3,4 \cdot (-3) + 2,5p$
$-9 = 10,2 + 2,5p$
Решим полученное уравнение относительно $p$:
$2,5p = -9 - 10,2$
$2,5p = -19,2$
$p = \frac{-19,2}{2,5}$
$p = \frac{-192}{25}$
$p = -7,68$
Ответ: $p = -7,68$.

Найдите корни уравнений (7.21–7.25):

7.21. 1) $(a + c)x^2 + 2ax + a - c = 0;$

2) $acx^2 - (an + cp)x + np = 0;$

3) $x^2 + 2(n - p)x - 4np = 0;$

4) $2x^2 - (a - 2c)x - ac = 0.$

1) Исходное уравнение: $(a + c)x^2 + 2ax + a - c = 0$.
Это квадратное уравнение вида $Ax^2+Bx+C=0$, где $A=a+c$, $B=2a$, $C=a-c$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a+c=0$, или $c=-a$.
Если при этом $a=0$, то и $c=0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 0 - 0 = 0$, то есть $0=0$, что верно для любого действительного числа $x$.
Если $a \neq 0$, то уравнение становится линейным: $2ax + a - (-a) = 0$, что равносильно $2ax + 2a = 0$, или $2a(x+1)=0$. Так как $a \neq 0$, получаем $x+1=0$, откуда $x=-1$.
Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a+c \neq 0$.
В этом случае мы можем использовать формулу для корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант $D$:
$D = B^2 - 4AC = (2a)^2 - 4(a+c)(a-c) = 4a^2 - 4(a^2 - c^2) = 4a^2 - 4a^2 + 4c^2 = 4c^2$.
Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:
$x_{1,2} = \frac{-2a \pm \sqrt{4c^2}}{2(a+c)} = \frac{-2a \pm 2c}{2(a+c)}$.
Один корень: $x_1 = \frac{-2a + 2c}{2(a+c)} = \frac{2(c-a)}{2(c+a)} = \frac{c-a}{c+a}$.
Второй корень: $x_2 = \frac{-2a - 2c}{2(a+c)} = \frac{-2(a+c)}{2(a+c)} = -1$.
Ответ: если $a=c=0$, то $x$ - любое число; если $a+c=0$ и $a \neq 0$, то $x=-1$; если $a+c \neq 0$, то $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{c-a}{a+c}$.

2) Исходное уравнение: $acx^2 - (an + cp)x + np = 0$.
Это уравнение можно решить путем разложения на множители. Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:
$acx^2 - anx - cpx + np = 0$
Вынесем общие множители:
$ax(cx - n) - p(cx - n) = 0$
$(ax - p)(cx - n) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, множество корней исходного уравнения является объединением множеств корней двух линейных уравнений:
1) $ax - p = 0 \Rightarrow ax = p$
2) $cx - n = 0 \Rightarrow cx = n$
Проанализируем решения в зависимости от значений параметров.
- Если $a \neq 0$ и $c \neq 0$, то каждое уравнение имеет по одному корню: $x_1 = \frac{p}{a}$ и $x_2 = \frac{n}{c}$.
- Если $a=p=0$, то первое уравнение ($0 \cdot x = 0$) верно для любого $x$. Следовательно, исходное уравнение тоже верно для любого $x$, так как один из множителей всегда равен нулю. Аналогично, если $c=n=0$, то второе уравнение ($0 \cdot x = 0$) и, следовательно, исходное уравнение верны для любого $x$.
- Если $a \neq 0$, а $c=0, n \neq 0$, то второе уравнение ($0 \cdot x = n$) не имеет решений. Решение дает только первое уравнение: $x = \frac{p}{a}$.
- Если $c \neq 0$, а $a=0, p \neq 0$, то первое уравнение ($0 \cdot x = p$) не имеет решений. Решение дает только второе уравнение: $x = \frac{n}{c}$.
- Если $a=0, p \neq 0$ и $c=0, n \neq 0$, то оба уравнения не имеют решений, а значит и исходное уравнение не имеет корней. Это соответствует случаю, когда $a=c=0$, а $p \neq 0, n \neq 0$, тогда исходное уравнение принимает вид $np=0$, что является ложным утверждением.
Ответ: если ($a=p=0$) или ($c=n=0$), то $x$ - любое число; если $a \neq 0$ и $c \neq 0$, то $x_1 = \frac{p}{a}, x_2 = \frac{n}{c}$; если $a \neq 0, c = 0, n \neq 0$, то $x = \frac{p}{a}$; если $a=0, p \neq 0, c \neq 0$, то $x = \frac{n}{c}$; если $a=0, c=0, p \neq 0, n \neq 0$, то корней нет.

3) Исходное уравнение: $x^2 + 2(n - p)x - 4np = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом. Коэффициент при $x$ равен $2(n-p)$, поэтому его половина $k = n-p$.
Найдем дискриминант, деленный на 4 ($D/4$):
$D/4 = k^2 - ac = (n-p)^2 - 1 \cdot (-4np) = n^2 - 2np + p^2 + 4np = n^2 + 2np + p^2 = (n+p)^2$.
Корни находятся по формуле $x_{1,2} = -k \pm \sqrt{D/4}$:
$x_{1,2} = -(n-p) \pm \sqrt{(n+p)^2} = p-n \pm (n+p)$.
Первый корень: $x_1 = p-n + (n+p) = 2p$.
Второй корень: $x_2 = p-n - (n+p) = p-n-n-p = -2n$.
Ответ: $x_1 = 2p, x_2 = -2n$.

4) Исходное уравнение: $2x^2 - (a - 2c)x - ac = 0$.
Решим это уравнение путем разложения на множители. Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:
$2x^2 - ax + 2cx - ac = 0$
Вынесем общие множители из пар слагаемых:
$x(2x - a) + c(2x - a) = 0$
Вынесем общий множитель $(2x-a)$:
$(x + c)(2x - a) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $x + c = 0 \Rightarrow x_1 = -c$
2) $2x - a = 0 \Rightarrow 2x = a \Rightarrow x_2 = \frac{a}{2}$
Ответ: $x_1 = -c, x_2 = \frac{a}{2}$.