Страница 70 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.38. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 3x - 2y = 5, \\ 5x + 2y = 8; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x - 3y = -4, \\ 1,5x + 2y = 7; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 3,6x + 3,2y = 5,6, \\ 5,2x + 2,4y = 8; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3x - 2y = 5,3, \\ 2,5x + 1,2y = 7,8. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:$\begin{cases} 3x - 2y = 5, \\5x + 2y = 8;\end{cases}$
Для решения этой системы удобно использовать метод сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ противоположны ($-2$ и $2$). Сложим левые и правые части уравнений:
$(3x - 2y) + (5x + 2y) = 5 + 8$
$8x = 13$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{13}{8}$
Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:
$5 \cdot (\frac{13}{8}) + 2y = 8$
$\frac{65}{8} + 2y = 8$
$2y = 8 - \frac{65}{8}$
$2y = \frac{64}{8} - \frac{65}{8}$
$2y = -\frac{1}{8}$
$y = -\frac{1}{16}$
Ответ: $(\frac{13}{8}; -\frac{1}{16})$.

2) Дана система уравнений:$\begin{cases} 2x - 3y = -4, \\1,5x + 2y = 7;\end{cases}$
Решим систему методом сложения. Для этого умножим первое уравнение на $2$, а второе на $3$, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$\begin{cases} 2(2x - 3y) = 2(-4), \\3(1,5x + 2y) = 3(7);\end{cases}$
$\begin{cases} 4x - 6y = -8, \\4,5x + 6y = 21;\end{cases}$
Сложим уравнения:
$(4x - 6y) + (4,5x + 6y) = -8 + 21$
$8,5x = 13$
$x = \frac{13}{8,5} = \frac{130}{85} = \frac{26}{17}$
Подставим значение $x$ в первое исходное уравнение:
$2 \cdot (\frac{26}{17}) - 3y = -4$
$\frac{52}{17} - 3y = -4$
$-3y = -4 - \frac{52}{17}$
$-3y = -\frac{68}{17} - \frac{52}{17}$
$-3y = -\frac{120}{17}$
$y = \frac{120}{17 \cdot 3} = \frac{40}{17}$
Ответ: $(\frac{26}{17}; \frac{40}{17})$.

3) Дана система уравнений:$\begin{cases} 3,6x + 3,2y = 5,6, \\5,2x + 2,4y = 8;\end{cases}$
Для удобства избавимся от десятичных дробей, умножив оба уравнения на $10$:
$\begin{cases} 36x + 32y = 56, \\52x + 24y = 80;\end{cases}$
Упростим уравнения, разделив каждое на $4$:
$\begin{cases} 9x + 8y = 14, \\13x + 6y = 20;\end{cases}$
Применим метод сложения. Умножим первое уравнение на $3$, а второе на $-4$, чтобы избавиться от $y$:
$\begin{cases} 3(9x + 8y) = 3 \cdot 14, \\-4(13x + 6y) = -4 \cdot 20;\end{cases}$
$\begin{cases} 27x + 24y = 42, \\-52x - 24y = -80;\end{cases}$
Сложим полученные уравнения:
$(27x + 24y) + (-52x - 24y) = 42 + (-80)$
$-25x = -38$
$x = \frac{38}{25}$
Подставим $x$ в упрощенное уравнение $9x + 8y = 14$:
$9 \cdot (\frac{38}{25}) + 8y = 14$
$\frac{342}{25} + 8y = 14$
$8y = 14 - \frac{342}{25}$
$8y = \frac{350}{25} - \frac{342}{25}$
$8y = \frac{8}{25}$
$y = \frac{1}{25}$
Ответ: $(\frac{38}{25}; \frac{1}{25})$.

4) Дана система уравнений:$\begin{cases} 3x - 2y = 5,3, \\2,5x + 1,2y = 7,8;\end{cases}$
Умножим оба уравнения на $10$, чтобы работать с целыми числами:
$\begin{cases} 30x - 20y = 53, \\25x + 12y = 78;\end{cases}$
Решим систему методом сложения. Найдем $y$, для чего умножим первое уравнение на $5$, а второе на $-6$, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:
$\begin{cases} 5(30x - 20y) = 5 \cdot 53, \\-6(25x + 12y) = -6 \cdot 78;\end{cases}$
$\begin{cases} 150x - 100y = 265, \\-150x - 72y = -468;\end{cases}$
Сложим уравнения:
$(150x - 100y) + (-150x - 72y) = 265 - 468$
$-172y = -203$
$y = \frac{203}{172}$
Теперь найдем $x$. Умножим первое уравнение исходной целочисленной системы на $3$, а второе на $5$:
$\begin{cases} 3(30x - 20y) = 3 \cdot 53, \\5(25x + 12y) = 5 \cdot 78;\end{cases}$
$\begin{cases} 90x - 60y = 159, \\125x + 60y = 390;\end{cases}$
Сложим эти уравнения:
$(90x - 60y) + (125x + 60y) = 159 + 390$
$215x = 549$
$x = \frac{549}{215}$
Ответ: $(\frac{549}{215}; \frac{203}{172})$.

7.39. Сравните числа:

1) $2,14$ и $2,1(4)$;

2) $1,73$ и $\sqrt{3}$;

3) $-3\frac{3}{7}$ и $-3\frac{4}{9}$;

4) $2-\sqrt{5}$ и $1-\sqrt{2}$.

1) Сравним числа $2,14$ и $2,1(4)$.
Число $2,1(4)$ является периодической десятичной дробью, которую можно записать как $2,1444...$.
Первое число $2,14$ можно представить как $2,1400...$.
Сравним эти числа по разрядам:
- Целые части равны: $2 = 2$.
- Разряд десятых равен: $1 = 1$.
- Разряд сотых равен: $4 = 4$.
- В разряде тысячных у первого числа стоит $0$, а у второго $4$.
Поскольку $0 < 4$, то $2,1400... < 2,1444...$.
Следовательно, $2,14 < 2,1(4)$.
Ответ: $2,14 < 2,1(4)$.

2) Сравним числа $1,73$ и $\sqrt{3}$.
Оба числа положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты. Знак неравенства при этом сохранится.
Возведем в квадрат первое число: $1,73^2 = 1,73 \cdot 1,73 = 2,9929$.
Возведем в квадрат второе число: $(\sqrt{3})^2 = 3$.
Сравним полученные результаты: $2,9929 < 3$.
Так как $1,73^2 < (\sqrt{3})^2$ и оба исходных числа положительны, то $1,73 < \sqrt{3}$.
Ответ: $1,73 < \sqrt{3}$.

3) Сравним числа $-3\frac{3}{7}$ и $-3\frac{4}{9}$.
Для начала сравним положительные числа (модули данных чисел): $3\frac{3}{7}$ и $3\frac{4}{9}$.
Так как целые части у них одинаковы, сравним их дробные части: $\frac{3}{7}$ и $\frac{4}{9}$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 9 — это $7 \cdot 9 = 63$.
$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 9}{7 \cdot 9} = \frac{27}{63}$.
$\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{28}{63}$.
Сравниваем полученные дроби: $\frac{27}{63} < \frac{28}{63}$, следовательно, $\frac{3}{7} < \frac{4}{9}$.
Это означает, что $3\frac{3}{7} < 3\frac{4}{9}$.
При сравнении отрицательных чисел большим является то, чей модуль меньше.
Так как $|-3\frac{3}{7}| < |-3\frac{4}{9}|$, то $-3\frac{3}{7} > -3\frac{4}{9}$.
Ответ: $-3\frac{3}{7} > -3\frac{4}{9}$.

4) Сравним числа $2 - \sqrt{5}$ и $1 - \sqrt{2}$.
Оценим значения корней: $2 < \sqrt{5} < 3$ (так как $4 < 5 < 9$) и $1 < \sqrt{2} < 2$ (так как $1 < 2 < 4$).
Поэтому оба выражения отрицательны:
$2 - \sqrt{5} < 0$
$1 - \sqrt{2} < 0$
Предположим, что $2 - \sqrt{5} > 1 - \sqrt{2}$.
Перенесем числа так, чтобы сгруппировать целые части и корни:
$2 - 1 > \sqrt{5} - \sqrt{2}$
$1 > \sqrt{5} - \sqrt{2}$
Обе части неравенства положительны (так как $\sqrt{5} \approx 2,23$ и $\sqrt{2} \approx 1,41$, их разность $\approx 0,82 < 1$), поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$1^2 > (\sqrt{5} - \sqrt{2})^2$
$1 > (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$
$1 > 5 - 2\sqrt{10} + 2$
$1 > 7 - 2\sqrt{10}$
$2\sqrt{10} > 7 - 1$
$2\sqrt{10} > 6$
$\sqrt{10} > 3$
Возведем обе части в квадрат еще раз:
$(\sqrt{10})^2 > 3^2$
$10 > 9$
Полученное неравенство верно. Значит, наше первоначальное предположение было верным.
Ответ: $2 - \sqrt{5} > 1 - \sqrt{2}$.

7.40. Решите уравнение и найдите сумму и произведение его корней:

1) $7x^2 - 8x + 1 = 0;$

2) $x^2 + 11x - 12 = 0;$

3) $-2x^2 + 7x + 9 = 0.$

Для решения каждого квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ мы сначала найдем его корни, а затем вычислим их сумму и произведение. Для нахождения корней будем использовать формулу корней через дискриминант, а для нахождения суммы и произведения — теорему Виета в качестве основного способа или проверки.

1) $7x^2 - 8x + 1 = 0$

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a=7$, $b=-8$, $c=1$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 64 - 28 = 36$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-8) + 6}{2 \cdot 7} = \frac{8 + 6}{14} = \frac{14}{14} = 1$.

$x_2 = \frac{-(-8) - 6}{2 \cdot 7} = \frac{8 - 6}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$.

Корни уравнения: $1$ и $\frac{1}{7}$.

Теперь найдем сумму и произведение корней. По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-8}{7} = \frac{8}{7}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{7}$.

Проверка: $1 + \frac{1}{7} = \frac{7}{7} + \frac{1}{7} = \frac{8}{7}$; $1 \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{7}$.

Ответ: корни уравнения $1$ и $\frac{1}{7}$; сумма корней $\frac{8}{7}$; произведение корней $\frac{1}{7}$.

2) $x^2 + 11x - 12 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение ($a=1$) с коэффициентами $a=1$, $b=11$, $c=-12$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 121 + 48 = 169$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$.

$x_2 = \frac{-11 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12$.

Корни уравнения: $1$ и $-12$.

Для приведенного квадратного уравнения по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b = -11$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c = -12$.

Проверка: $1 + (-12) = -11$; $1 \cdot (-12) = -12$.

Ответ: корни уравнения $1$ и $-12$; сумма корней $-11$; произведение корней $-12$.

3) $-2x^2 + 7x + 9 = 0$

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a=-2$, $b=7$, $c=9$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 9 = 49 + 72 = 121$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot (-2)} = \frac{4}{-4} = -1$.

$x_2 = \frac{-7 - 11}{2 \cdot (-2)} = \frac{-18}{-4} = \frac{9}{2}$.

Корни уравнения: $-1$ и $\frac{9}{2}$.

Найдем сумму и произведение корней по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{7}{-2} = \frac{7}{2}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{9}{-2} = -\frac{9}{2}$.

Проверка: $-1 + \frac{9}{2} = -\frac{2}{2} + \frac{9}{2} = \frac{7}{2}$; $-1 \cdot \frac{9}{2} = -\frac{9}{2}$.

Ответ: корни уравнения $-1$ и $\frac{9}{2}$; сумма корней $\frac{7}{2}$; произведение корней $-\frac{9}{2}$.

7.41. Составьте линейные уравнения, если его корнями являются числа 5; 7.

Линейное уравнение с одной переменной $x$ имеет общий вид $ax + b = 0$, где $a$ и $b$ — это некоторые числа (коэффициенты), причем $a \neq 0$. Корень уравнения — это такое значение переменной $x$, которое обращает уравнение в верное числовое равенство.

Чтобы составить уравнение с заданным корнем $x_0$, нужно найти такие коэффициенты $a$ и $b$, для которых будет выполняться равенство $a \cdot x_0 + b = 0$. Существует бесконечное множество таких уравнений, так как мы можем выбрать любое ненулевое значение для $a$ и вычислить соответствующее значение $b = -a \cdot x_0$. Для простоты выберем $a=1$.

а) Требуется составить линейное уравнение, корнем которого является число 5.

Пусть корень уравнения $x = 5$. Выберем коэффициент $a=1$. Тогда уравнение будет иметь вид $x + b = 0$. Подставим значение корня в это уравнение, чтобы найти $b$:

$1 \cdot 5 + b = 0$

$5 + b = 0$

$b = -5$

Таким образом, простейшее линейное уравнение, корнем которого является 5, это $x - 5 = 0$.

Ответ: $x - 5 = 0$.

б) Требуется составить линейное уравнение, корнем которого является число 7.

Пусть корень уравнения $x = 7$. Аналогично предыдущему пункту, выберем коэффициент $a=1$. Уравнение примет вид $x + b = 0$. Найдем $b$, подставив значение корня:

$1 \cdot 7 + b = 0$

$7 + b = 0$

$b = -7$

Следовательно, простейшее линейное уравнение с корнем 7 — это $x - 7 = 0$.

Ответ: $x - 7 = 0$.