Страница 66 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.1. Найдите дискриминант и укажите число корней квадратного уравнения:

1) $x^2 - 6x + 2 = 0;$

2) $3x^2 + 8x - 1 = 0;$

3) $-x^2 + 8x + 3 = 0;$

4) $x^2 - 10x + 25 = 0;$

5) $2x^2 - x - 2\frac{1}{3} = 0;$

6) $x^2 + 16x + 64 = 0.$

1) Для квадратного уравнения $x^2 - 6x + 2 = 0$ определим коэффициенты: $a = 1$, $b = -6$, $c = 2$.
Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.
Подставим значения коэффициентов в формулу:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 36 - 8 = 28$.
Поскольку дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня.
Ответ: дискриминант равен 28, число корней – 2.

2) Для уравнения $3x^2 + 8x - 1 = 0$ коэффициенты: $a = 3$, $b = 8$, $c = -1$.
Вычисляем дискриминант:
$D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 64 + 12 = 76$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Ответ: дискриминант равен 76, число корней – 2.

3) Для уравнения $-x^2 + 8x + 3 = 0$ коэффициенты: $a = -1$, $b = 8$, $c = 3$.
Вычисляем дискриминант:
$D = 8^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 3 = 64 + 12 = 76$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Ответ: дискриминант равен 76, число корней – 2.

4) Для уравнения $x^2 - 10x + 25 = 0$ коэффициенты: $a = 1$, $b = -10$, $c = 25$.
Вычисляем дискриминант:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0$.
Поскольку $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня).
Ответ: дискриминант равен 0, число корней – 1.

5) В уравнении $2x^2 - x - 2\frac{1}{3} = 0$ преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$. Уравнение примет вид $2x^2 - x - \frac{7}{3} = 0$.
Коэффициенты: $a = 2$, $b = -1$, $c = -\frac{7}{3}$.
Вычисляем дискриминант:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-\frac{7}{3}) = 1 + \frac{56}{3} = \frac{3}{3} + \frac{56}{3} = \frac{59}{3}$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Ответ: дискриминант равен $\frac{59}{3}$, число корней – 2.

6) Для уравнения $x^2 + 16x + 64 = 0$ коэффициенты: $a = 1$, $b = 16$, $c = 64$.
Вычисляем дискриминант:
$D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 256 - 256 = 0$.
Поскольку $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень.
Ответ: дискриминант равен 0, число корней – 1.

7.2. Найдите коэффициенты и дискриминант квадратного уравнения:

1) $3x^2 - 12x - 9 = 0;$

2) $-x^2 - 12x + 21 = 0;$

3) $2\frac{2}{7}x^2 - 1\frac{1}{7}x - \frac{1}{7} = 0;$

4) $-1,4x^2 + 21x + 2,7 = 0;$

5) $\frac{2}{9}x^2 - 1\frac{2}{3}x - \frac{1}{6} = 0;$

6) $1\frac{3}{11}x^2 - 1\frac{2}{3}x - \frac{4}{11} = 0.$

1) В уравнении $3x^2 - 12x - 9 = 0$ коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -12$, $c = -9$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9) = 144 + 108 = 252$.

Ответ: коэффициенты $a=3, b=-12, c=-9$; дискриминант $D=252$.

2) В уравнении $-x^2 - 12x + 21 = 0$ коэффициенты равны: $a = -1$, $b = -12$, $c = 21$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 21 = 144 + 84 = 228$.

Ответ: коэффициенты $a=-1, b=-12, c=21$; дискриминант $D=228$.

3) $2\frac{2}{7}x^2 - 1\frac{2}{7}x - \frac{1}{7} = 0$

Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные: $2\frac{2}{7} = \frac{16}{7}$ и $1\frac{2}{7} = \frac{9}{7}$.

Уравнение принимает вид: $\frac{16}{7}x^2 - \frac{9}{7}x - \frac{1}{7} = 0$.

Коэффициенты: $a = \frac{16}{7}$, $b = -\frac{9}{7}$, $c = -\frac{1}{7}$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-\frac{9}{7})^2 - 4 \cdot \frac{16}{7} \cdot (-\frac{1}{7}) = \frac{81}{49} + \frac{64}{49} = \frac{145}{49}$.

Ответ: коэффициенты $a=\frac{16}{7}, b=-\frac{9}{7}, c=-\frac{1}{7}$; дискриминант $D=\frac{145}{49}$.

4) В уравнении $-1,4x^2 + 21x + 2,7 = 0$ коэффициенты равны: $a = -1,4$, $b = 21$, $c = 2,7$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 21^2 - 4 \cdot (-1,4) \cdot 2,7 = 441 + 5,6 \cdot 2,7 = 441 + 15,12 = 456,12$.

Ответ: коэффициенты $a=-1,4, b=21, c=2,7$; дискриминант $D=456,12$.

5) $\frac{2}{9}x^2 - 1\frac{2}{3}x - \frac{1}{6} = 0$

Преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.

Уравнение принимает вид: $\frac{2}{9}x^2 - \frac{5}{3}x - \frac{1}{6} = 0$.

Коэффициенты: $a = \frac{2}{9}$, $b = -\frac{5}{3}$, $c = -\frac{1}{6}$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-\frac{5}{3})^2 - 4 \cdot \frac{2}{9} \cdot (-\frac{1}{6}) = \frac{25}{9} + \frac{8}{54} = \frac{25}{9} + \frac{4}{27} = \frac{75}{27} + \frac{4}{27} = \frac{79}{27}$.

Ответ: коэффициенты $a=\frac{2}{9}, b=-\frac{5}{3}, c=-\frac{1}{6}$; дискриминант $D=\frac{79}{27}$.

6) $1\frac{3}{11}x^2 - 1\frac{2}{3}x - \frac{4}{11} = 0$

Преобразуем смешанные дроби в неправильные: $1\frac{3}{11} = \frac{14}{11}$ и $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.

Уравнение принимает вид: $\frac{14}{11}x^2 - \frac{5}{3}x - \frac{4}{11} = 0$.

Коэффициенты: $a = \frac{14}{11}$, $b = -\frac{5}{3}$, $c = -\frac{4}{11}$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-\frac{5}{3})^2 - 4 \cdot \frac{14}{11} \cdot (-\frac{4}{11}) = \frac{25}{9} + \frac{224}{121} = \frac{25 \cdot 121}{1089} + \frac{224 \cdot 9}{1089} = \frac{3025 + 2016}{1089} = \frac{5041}{1089}$.

Ответ: коэффициенты $a=\frac{14}{11}, b=-\frac{5}{3}, c=-\frac{4}{11}$; дискриминант $D=\frac{5041}{1089}$.

7.3. Выделите квадрат двучлена и решите уравнение:

1) $x^2 - 2x - 8 = 0;$

2) $2x^2 - 7x + 5 = 0;$

3) $-x^2 - 4x - 7 = 0;$

4) $3x^2 - 2x - 3 = 0.$

1) Дано уравнение $x^2 - 2x - 8 = 0$.
Для выделения квадрата двучлена перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$x^2 - 2x = 8$
Левую часть дополним до полного квадрата. Формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$, а $2ab = 2x$, откуда $b=1$. Следовательно, нужно добавить $b^2 = 1^2 = 1$ к обеим частям уравнения:
$x^2 - 2x + 1 = 8 + 1$
$(x - 1)^2 = 9$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x - 1 = \pm\sqrt{9}$
$x - 1 = \pm3$
Отсюда находим два корня:
$x_1 = 1 + 3 = 4$
$x_2 = 1 - 3 = -2$
Ответ: $x_1 = 4, x_2 = -2$.

2) Дано уравнение $2x^2 - 7x + 5 = 0$.
Разделим все члены уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 2:
$x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{5}{2} = 0$
Перенесем свободный член в правую часть:
$x^2 - \frac{7}{2}x = -\frac{5}{2}$
Дополним левую часть до полного квадрата. Здесь $a=x$, $2ab = \frac{7}{2}x$, откуда $b = \frac{7}{4}$. Добавляем $b^2 = (\frac{7}{4})^2 = \frac{49}{16}$ к обеим частям:
$x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{49}{16} = -\frac{5}{2} + \frac{49}{16}$
$(x - \frac{7}{4})^2 = -\frac{40}{16} + \frac{49}{16}$
$(x - \frac{7}{4})^2 = \frac{9}{16}$
Извлекаем квадратный корень:
$x - \frac{7}{4} = \pm\sqrt{\frac{9}{16}}$
$x - \frac{7}{4} = \pm\frac{3}{4}$
Находим корни:
$x_1 = \frac{7}{4} + \frac{3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$
$x_2 = \frac{7}{4} - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = \frac{5}{2}$.

3) Дано уравнение $-x^2 - 4x - 7 = 0$.
Умножим обе части уравнения на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:
$x^2 + 4x + 7 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть:
$x^2 + 4x = -7$
Дополним левую часть до полного квадрата. Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Здесь $a=x$, $2ab=4x$, откуда $b=2$. Добавляем $b^2 = 2^2 = 4$ к обеим частям:
$x^2 + 4x + 4 = -7 + 4$
$(x + 2)^2 = -3$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Так как $(x+2)^2 \ge 0$, а правая часть равна -3, уравнение не имеет решений в действительных числах.
Ответ: действительных корней нет.

4) Дано уравнение $3x^2 - 2x - 3 = 0$.
Разделим все члены уравнения на 3:
$x^2 - \frac{2}{3}x - 1 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть:
$x^2 - \frac{2}{3}x = 1$
Дополним левую часть до полного квадрата. Здесь $a=x$, $2ab = \frac{2}{3}x$, откуда $b = \frac{1}{3}$. Добавляем $b^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$ к обеим частям:
$x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = 1 + \frac{1}{9}$
$(x - \frac{1}{3})^2 = \frac{10}{9}$
Извлекаем квадратный корень:
$x - \frac{1}{3} = \pm\sqrt{\frac{10}{9}}$
$x - \frac{1}{3} = \pm\frac{\sqrt{10}}{3}$
Находим корни:
$x = \frac{1}{3} \pm \frac{\sqrt{10}}{3}$
$x_1 = \frac{1 + \sqrt{10}}{3}$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{10}}{3}$
Ответ: $x = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{3}$.

Найдите корни уравнений (7.4–7.9):

7.4 1) $x^2 - 6x + 8 = 0$;

2) $x^2 - 12x + 11 = 0$;

3) $3y^2 - 8y + 4 = 0$;

4) $-2y^2 + 9y - 10 = 0$.

1) $x^2 - 6x + 8 = 0$

Это приведённое квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$. Для решения найдём дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-6$, $c=8$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$.

Корни находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-6) + 2}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

$x_2 = \frac{-(-6) - 2}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Также можно было воспользоваться теоремой Виета. Сумма корней равна $6$, а их произведение равно $8$. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и 4.

Ответ: 2; 4.

2) $x^2 - 12x + 11 = 0$

Это приведённое квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=-12$, $c=11$. Вычислим дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 144 - 44 = 100$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-12) + 10}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 10}{2} = \frac{22}{2} = 11$.

$x_2 = \frac{-(-12) - 10}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

По теореме Виета: сумма корней равна $12$, произведение равно $11$. Корни: 1 и 11.

Ответ: 1; 11.

3) $3y^2 - 8y + 4 = 0$

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a=3$, $b=-8$, $c=4$. Вычислим дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$.

Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$y_1 = \frac{-(-8) + 4}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 4}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

$y_2 = \frac{-(-8) - 4}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$; 2.

4) $-2y^2 + 9y - 10 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Для удобства умножим обе части уравнения на -1, чтобы коэффициент при $y^2$ стал положительным: $2y^2 - 9y + 10 = 0$.

Теперь коэффициенты равны $a=2$, $b=-9$, $c=10$. Вычислим дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$.

Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$y_1 = \frac{-(-9) + 1}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5$.

$y_2 = \frac{-(-9) - 1}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Ответ: 2; 2,5.

7.5.

1) $x^2 - 14x - 32 = 0$;

2) $5x^2 - 12x + 7 = 0$;

3) $-2x^2 + x + 15 = 0$;

4) $4x^2 + x - 33 = 0$.

1) Решим квадратное уравнение $x^2 - 14x - 32 = 0$.
Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны $a=1$, $b=-14$, $c=-32$.
Для нахождения корней вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 196 + 128 = 324$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$\sqrt{D} = \sqrt{324} = 18$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-14) + 18}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 18}{2} = \frac{32}{2} = 16$.
$x_2 = \frac{-(-14) - 18}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 18}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
Ответ: $x_1 = 16, x_2 = -2$.

2) Решим квадратное уравнение $5x^2 - 12x + 7 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=5$, $b=-12$, $c=7$.
Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 7 = 144 - 140 = 4$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-12) + 2}{2 \cdot 5} = \frac{12 + 2}{10} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5} = 1.4$.
$x_2 = \frac{-(-12) - 2}{2 \cdot 5} = \frac{12 - 2}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
Ответ: $x_1 = 1.4, x_2 = 1$.

3) Решим квадратное уравнение $-2x^2 + x + 15 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=-2$, $b=1$, $c=15$.
Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.
$D = 1^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 15 = 1 + 120 = 121$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-1 + 11}{2 \cdot (-2)} = \frac{10}{-4} = -\frac{5}{2} = -2.5$.
$x_2 = \frac{-1 - 11}{2 \cdot (-2)} = \frac{-12}{-4} = 3$.
Ответ: $x_1 = -2.5, x_2 = 3$.

4) Решим квадратное уравнение $4x^2 + x - 33 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=4$, $b=1$, $c=-33$.
Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-33) = 1 + 528 = 529$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$\sqrt{D} = \sqrt{529} = 23$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-1 + 23}{2 \cdot 4} = \frac{22}{8} = \frac{11}{4} = 2.75$.
$x_2 = \frac{-1 - 23}{2 \cdot 4} = \frac{-24}{8} = -3$.
Ответ: $x_1 = 2.75, x_2 = -3$.

7.6.

1) $x^2 - x - 56 = 0$;

2) $-x^2 + x + 72 = 0$;

3) $x^2 + x - 90 = 0$;

4) $x^2 + x - 210 = 0$.

1) $x^2 - x - 56 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=-1$, $c=-56$.

Для решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.

Сначала вычислим дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта равен $\sqrt{225} = 15$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-1) + 15}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

$x_2 = \frac{-(-1) - 15}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.

Также можно решить это уравнение с помощью теоремы Виета. Для приведенного квадратного уравнения ($a=1$) сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

$x_1 + x_2 = -b = -(-1) = 1$

$x_1 \cdot x_2 = c = -56$

Методом подбора находим два числа, которые удовлетворяют этим условиям: это 8 и -7, так как $8 + (-7) = 1$ и $8 \cdot (-7) = -56$.

Ответ: $x_1 = 8, x_2 = -7$.

2) $-x^2 + x + 72 = 0$

Чтобы упростить решение, умножим все члены уравнения на -1:

$x^2 - x - 72 = 0$.

Теперь мы имеем приведенное квадратное уравнение, где $a=1$, $b=-1$, $c=-72$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{289} = 17$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-1) + 17}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

$x_2 = \frac{-(-1) - 17}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.

Проверим по теореме Виета для уравнения $x^2 - x - 72 = 0$:

$x_1 + x_2 = -(-1) = 1$

$x_1 \cdot x_2 = -72$

Найденные корни 9 и -8 удовлетворяют этим условиям: $9 + (-8) = 1$ и $9 \cdot (-8) = -72$.

Ответ: $x_1 = 9, x_2 = -8$.

3) $x^2 + x - 90 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=1$, $c=-90$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{361} = 19$.

Найдем корни по формуле:

$x_1 = \frac{-1 + 19}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9$.

$x_2 = \frac{-1 - 19}{2 \cdot 1} = \frac{-20}{2} = -10$.

Проверим по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -90$

Корни 9 и -10 удовлетворяют условиям: $9 + (-10) = -1$ и $9 \cdot (-10) = -90$.

Ответ: $x_1 = 9, x_2 = -10$.

4) $x^2 + x - 210 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, где $a=1$, $b=1$, $c=-210$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 1 + 840 = 841$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{841} = 29$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-1 + 29}{2 \cdot 1} = \frac{28}{2} = 14$.

$x_2 = \frac{-1 - 29}{2 \cdot 1} = \frac{-30}{2} = -15$.

Проверим по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -210$

Найденные корни 14 и -15 удовлетворяют условиям: $14 + (-15) = -1$ и $14 \cdot (-15) = -210$.

Ответ: $x_1 = 14, x_2 = -15$.

7.7.1) $2x^2 - 7x + 6 = 0;$

2) $25x^2 + 90x + 81 = 0;$

3) $5x^2 - 12x + 4 = 0;$

4) $36x^2 - 84x + 49 = 0.$

1) $2x^2 - 7x + 6 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=2$, $b=-7$, $c=6$.

Для решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант. Сначала вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = \frac{3}{2}$.

2) $25x^2 + 90x + 81 = 0$

Это квадратное уравнение. Заметим, что его левая часть является полным квадратом. Выражение $25x^2$ - это квадрат $(5x)$, $81$ - это квадрат $9$, а средний член $90x$ равен удвоенному произведению $2 \cdot 5x \cdot 9$.

Таким образом, мы имеем дело с формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Уравнение можно переписать в виде: $(5x + 9)^2 = 0$.

Из этого следует, что выражение в скобках равно нулю:

$5x + 9 = 0$.

$5x = -9$.

$x = -\frac{9}{5} = -1.8$.

Уравнение имеет один действительный корень кратности 2.

Ответ: $x = -1.8$.

3) $5x^2 - 12x + 4 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=5$, $b=-12$, $c=4$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-12) + 8}{2 \cdot 5} = \frac{12 + 8}{10} = \frac{20}{10} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-12) - 8}{2 \cdot 5} = \frac{12 - 8}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = \frac{2}{5}$.

4) $36x^2 - 84x + 49 = 0$

Это квадратное уравнение. Как и в пункте 2, левая часть представляет собой полный квадрат. Выражение $36x^2$ - это квадрат $(6x)$, $49$ - это квадрат $7$, а средний член $-84x$ равен $-2 \cdot 6x \cdot 7$.

Таким образом, мы имеем дело с формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Уравнение можно переписать в виде: $(6x - 7)^2 = 0$.

Отсюда следует, что:

$6x - 7 = 0$.

$6x = 7$.

$x = \frac{7}{6}$.

Уравнение имеет один действительный корень кратности 2.

Ответ: $x = \frac{7}{6}$.

7.8. 1) $0.25x^2 - x + 1 = 0;$

2) $7x^2 + 18x + 5 = 0;$

3) $-3x^2 + 11x + 4 = 0;$

4) $9x^2 - 4x - 2 = 0.$

1) $0.25x^2 - x + 1 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a = 0.25$, $b = -1$, $c = 1$.

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$4 \cdot (0.25x^2 - x + 1) = 4 \cdot 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат разности:

$(x - 2)^2 = 0$

Из этого следует, что $x - 2 = 0$.

Решая это простое уравнение, находим единственный корень:

$x = 2$

Проверка через дискриминант:

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$ для исходного уравнения:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 0.25 \cdot 1 = 1 - 1 = 0$

Так как $D=0$, уравнение имеет один действительный корень, который вычисляется по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:

$x = \frac{-(-1)}{2 \cdot 0.25} = \frac{1}{0.5} = 2$

Ответ: $2$.

2) $7x^2 + 18x + 5 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 7$, $b = 18$, $c = 5$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 18^2 - 4 \cdot 7 \cdot 5 = 324 - 140 = 184$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-18 \pm \sqrt{184}}{2 \cdot 7} = \frac{-18 \pm \sqrt{4 \cdot 46}}{14} = \frac{-18 \pm 2\sqrt{46}}{14}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x_{1,2} = \frac{2(-9 \pm \sqrt{46})}{14} = \frac{-9 \pm \sqrt{46}}{7}$

Таким образом, корни уравнения:

$x_1 = \frac{-9 - \sqrt{46}}{7}$ и $x_2 = \frac{-9 + \sqrt{46}}{7}$.

Ответ: $\frac{-9 - \sqrt{46}}{7}, \frac{-9 + \sqrt{46}}{7}$.

3) $-3x^2 + 11x + 4 = 0$

Умножим все члены уравнения на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$3x^2 - 11x - 4 = 0$

Теперь это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 3$, $b = -11$, $c = -4$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-11) \pm 13}{2 \cdot 3} = \frac{11 \pm 13}{6}$

Вычислим каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{11 - 13}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{11 + 13}{6} = \frac{24}{6} = 4$

Ответ: $-\frac{1}{3}, 4$.

4) $9x^2 - 4x - 2 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 9$, $b = -4$, $c = -2$.

Поскольку коэффициент $b$ является четным числом, можно использовать упрощенную формулу для корней. Пусть $k = \frac{b}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Вычислим "четверть дискриминанта" $D_1$ по формуле $D_1 = k^2 - ac$:

$D_1 = (-2)^2 - 9 \cdot (-2) = 4 + 18 = 22$

Корни находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{22}}{9} = \frac{2 \pm \sqrt{22}}{9}$

Таким образом, корни уравнения:

$x_1 = \frac{2 - \sqrt{22}}{9}$ и $x_2 = \frac{2 + \sqrt{22}}{9}$.

Ответ: $\frac{2 - \sqrt{22}}{9}, \frac{2 + \sqrt{22}}{9}$.

7.9. 1) $3y^2 + 7y + 4 = 0;$

2) $3y^2 - 6y + 3 = 0;$

3) $9y^2 - 6y + 1 = 0;$

4) $2y^2 + 9y - 486 = 0.$

1) $3y^2 + 7y + 4 = 0$

Это полное квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$, где коэффициенты $a=3$, $b=7$, $c=4$.

Для решения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Корни уравнения находятся по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$y_1 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 - 1}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$.

$y_2 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 + 1}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.

Ответ: $y_1 = -\frac{4}{3}$, $y_2 = -1$.

2) $3y^2 - 6y + 3 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 3:

$y^2 - 2y + 1 = 0$.

Левая часть этого уравнения представляет собой полный квадрат разности $(y - 1)^2$.

Получаем уравнение $(y - 1)^2 = 0$.

Отсюда следует, что $y - 1 = 0$, то есть $y = 1$.

Уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня).

Также можно решить исходное уравнение через дискриминант:

$a=3$, $b=-6$, $c=3$.

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 36 - 36 = 0$.

Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень, который находится по формуле $y = \frac{-b}{2a}$.

$y = \frac{-(-6)}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Ответ: $y = 1$.

3) $9y^2 - 6y + 1 = 0$

Левая часть уравнения является формулой квадрата разности: $(3y)^2 - 2 \cdot (3y) \cdot 1 + 1^2$, что равно $(3y - 1)^2$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде $(3y - 1)^2 = 0$.

Из этого следует, что $3y - 1 = 0$.

$3y = 1$.

$y = \frac{1}{3}$.

Уравнение имеет один действительный корень.

Решение через дискриминант:

$a=9$, $b=-6$, $c=1$.

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 36 - 36 = 0$.

Так как $D = 0$, корень один: $y = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2 \cdot 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $y = \frac{1}{3}$.

4) $2y^2 + 9y - 486 = 0$

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a=2$, $b=9$, $c=-486$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-486) = 81 + 8 \cdot 486 = 81 + 3888 = 3969$.

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{3969} = 63$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$y_1 = \frac{-9 - 63}{2 \cdot 2} = \frac{-72}{4} = -18$.

$y_2 = \frac{-9 + 63}{2 \cdot 2} = \frac{54}{4} = \frac{27}{2} = 13.5$.

Ответ: $y_1 = -18$, $y_2 = 13.5$.

7.10. Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения $ax^2 + 2kx + c = 0$ (когда второй коэффициент уравнения — четное число), найдите корни уравнения:

1) $3x^2 - 14x + 16 = 0$;

2) $4x^2 - 36x + 77 = 0$;

3) $5x^2 - 16x + 3 = 0$;

4) $7y^2 - 20y + 14 = 0$.

Для решения квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, в котором второй коэффициент $b$ является четным числом (т.е. $b = 2k$), можно использовать упрощенную формулу для нахождения корней. Эта формула выводится из стандартной и имеет вид:

$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$, где $k = \frac{b}{2}$.

Применим эту формулу для решения каждого из данных уравнений.

1) $3x^2 - 14x + 16 = 0$

Здесь коэффициенты $a = 3$, $b = -14$, $c = 16$.

Поскольку второй коэффициент $b = -14$ — четное число, находим $k$:

$k = \frac{b}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.

Теперь подставим значения $a, c$ и $k$ в формулу:

$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 3 \cdot 16}}{3} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{3} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{3} = \frac{7 \pm 1}{3}$.

Отсюда находим два корня:

$x_1 = \frac{7 + 1}{3} = \frac{8}{3}$

$x_2 = \frac{7 - 1}{3} = \frac{6}{3} = 2$

Ответ: $2; \frac{8}{3}$.

2) $4x^2 - 36x + 77 = 0$

Коэффициенты: $a = 4$, $b = -36$, $c = 77$.

Коэффициент $b = -36$ четный, поэтому находим $k$:

$k = \frac{b}{2} = \frac{-36}{2} = -18$.

Подставляем значения в формулу:

$x = \frac{-(-18) \pm \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 77}}{4} = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 308}}{4} = \frac{18 \pm \sqrt{16}}{4} = \frac{18 \pm 4}{4}$.

Находим корни:

$x_1 = \frac{18 + 4}{4} = \frac{22}{4} = \frac{11}{2} = 5,5$

$x_2 = \frac{18 - 4}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3,5$

Ответ: $3,5; 5,5$.

3) $5x^2 - 16x + 3 = 0$

Коэффициенты: $a = 5$, $b = -16$, $c = 3$.

Коэффициент $b = -16$ четный, поэтому $k$:

$k = \frac{b}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.

Подставляем значения в формулу:

$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 5 \cdot 3}}{5} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 15}}{5} = \frac{8 \pm \sqrt{49}}{5} = \frac{8 \pm 7}{5}$.

Находим корни:

$x_1 = \frac{8 + 7}{5} = \frac{15}{5} = 3$

$x_2 = \frac{8 - 7}{5} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}; 3$.

4) $7y^2 - 20y + 14 = 0$

Коэффициенты: $a = 7$, $b = -20$, $c = 14$.

Коэффициент $b = -20$ четный, находим $k$:

$k = \frac{b}{2} = \frac{-20}{2} = -10$.

Подставляем значения в формулу для переменной $y$:

$y = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 7 \cdot 14}}{7} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 98}}{7} = \frac{10 \pm \sqrt{2}}{7}$.

Корни этого уравнения являются иррациональными числами:

$y_1 = \frac{10 + \sqrt{2}}{7}$

$y_2 = \frac{10 - \sqrt{2}}{7}$

Ответ: $\frac{10 - \sqrt{2}}{7}; \frac{10 + \sqrt{2}}{7}$.