Номер 7.6, страница 66 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.6.

1) $x^2 - x - 56 = 0$;

2) $-x^2 + x + 72 = 0$;

3) $x^2 + x - 90 = 0$;

4) $x^2 + x - 210 = 0$.

1) $x^2 - x - 56 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=-1$, $c=-56$.

Для решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.

Сначала вычислим дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта равен $\sqrt{225} = 15$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-1) + 15}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

$x_2 = \frac{-(-1) - 15}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.

Также можно решить это уравнение с помощью теоремы Виета. Для приведенного квадратного уравнения ($a=1$) сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

$x_1 + x_2 = -b = -(-1) = 1$

$x_1 \cdot x_2 = c = -56$

Методом подбора находим два числа, которые удовлетворяют этим условиям: это 8 и -7, так как $8 + (-7) = 1$ и $8 \cdot (-7) = -56$.

Ответ: $x_1 = 8, x_2 = -7$.

2) $-x^2 + x + 72 = 0$

Чтобы упростить решение, умножим все члены уравнения на -1:

$x^2 - x - 72 = 0$.

Теперь мы имеем приведенное квадратное уравнение, где $a=1$, $b=-1$, $c=-72$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{289} = 17$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-1) + 17}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

$x_2 = \frac{-(-1) - 17}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.

Проверим по теореме Виета для уравнения $x^2 - x - 72 = 0$:

$x_1 + x_2 = -(-1) = 1$

$x_1 \cdot x_2 = -72$

Найденные корни 9 и -8 удовлетворяют этим условиям: $9 + (-8) = 1$ и $9 \cdot (-8) = -72$.

Ответ: $x_1 = 9, x_2 = -8$.

3) $x^2 + x - 90 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=1$, $c=-90$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{361} = 19$.

Найдем корни по формуле:

$x_1 = \frac{-1 + 19}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9$.

$x_2 = \frac{-1 - 19}{2 \cdot 1} = \frac{-20}{2} = -10$.

Проверим по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -90$

Корни 9 и -10 удовлетворяют условиям: $9 + (-10) = -1$ и $9 \cdot (-10) = -90$.

Ответ: $x_1 = 9, x_2 = -10$.

4) $x^2 + x - 210 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, где $a=1$, $b=1$, $c=-210$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 1 + 840 = 841$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{841} = 29$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-1 + 29}{2 \cdot 1} = \frac{28}{2} = 14$.

$x_2 = \frac{-1 - 29}{2 \cdot 1} = \frac{-30}{2} = -15$.

Проверим по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -210$

Найденные корни 14 и -15 удовлетворяют условиям: $14 + (-15) = -1$ и $14 \cdot (-15) = -210$.

Ответ: $x_1 = 14, x_2 = -15$.