Номер 7.11, страница 67 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (7.11–7.14):

7.11. 1) $8x^2 - 12x + 36 = 0$;

2) $-x^2 - 6x + 19 = 0$;

3) $3x^2 + 32x + 80 = 0$;

4) $x^2 - 34x + 289 = 0$.

1)

Дано квадратное уравнение $8x^2 - 12x + 36 = 0$.

Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на их наибольший общий делитель, равный 4:

$ \frac{8x^2}{4} - \frac{12x}{4} + \frac{36}{4} = \frac{0}{4} $

$2x^2 - 3x + 9 = 0$.

Теперь решим это уравнение. Коэффициенты: $a=2$, $b=-3$, $c=9$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 9 - 72 = -63$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

2)

Дано квадратное уравнение $-x^2 - 6x + 19 = 0$.

Умножим все члены уравнения на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$x^2 + 6x - 19 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=6$, $c=-19$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-19) = 36 + 76 = 112$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{16 \cdot 7}}{2} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{7}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{7}$.

Корни уравнения: $x_1 = -3 - 2\sqrt{7}$ и $x_2 = -3 + 2\sqrt{7}$.

Ответ: $-3 - 2\sqrt{7}; -3 + 2\sqrt{7}$.

3)

Дано квадратное уравнение $3x^2 + 32x + 80 = 0$.

Коэффициенты: $a=3$, $b=32$, $c=80$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 32^2 - 4 \cdot 3 \cdot 80 = 1024 - 960 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-32 \pm 8}{2 \cdot 3} = \frac{-32 \pm 8}{6}$.

Вычислим каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{-32 + 8}{6} = \frac{-24}{6} = -4$.

$x_2 = \frac{-32 - 8}{6} = \frac{-40}{6} = -\frac{20}{3}$.

Ответ: $-4; -\frac{20}{3}$.

4)

Дано квадратное уравнение $x^2 - 34x + 289 = 0$.

Можно заметить, что левая часть уравнения является формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

В данном случае $a=x$ и $b=17$, так как $2 \cdot x \cdot 17 = 34x$ и $17^2 = 289$.

Свернем выражение в полный квадрат:

$(x - 17)^2 = 0$.

Это уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня):

$x - 17 = 0 \Rightarrow x = 17$.

Альтернативный способ: через дискриминант.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-34$, $c=289$.

$D = b^2 - 4ac = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 289 = 1156 - 1156 = 0$.

Поскольку $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень, который находится по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:

$x = \frac{-(-34)}{2 \cdot 1} = \frac{34}{2} = 17$.

Ответ: 17.