Номер 7.14, страница 67 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.14.

1) $25 = 26a - a^2;$

2) $a^2 = 4a + 96;$

3) $10 - 29a = 3a^2;$

4) $3c^2 + 3 = 10c.$

1) Это квадратное уравнение. Для его решения перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$.
$25 = 26a - a^2$
$a^2 - 26a + 25 = 0$
Данное уравнение является приведенным квадратным уравнением (коэффициент при $a^2$ равен 1). Его можно решить с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
$a_1 + a_2 = 26$
$a_1 \cdot a_2 = 25$
Подбором находим, что корни уравнения: $a_1 = 1$ и $a_2 = 25$.
Также можно решить через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 676 - 100 = 576$
$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$
$a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 \pm 24}{2}$
$a_1 = \frac{26 + 24}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$a_2 = \frac{26 - 24}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Ответ: $1; 25$.

2) Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в левую часть.
$a^2 = 4a + 96$
$a^2 - 4a - 96 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400$
$\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$
Найдем корни по формуле $a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$a_1 = \frac{4 + 20}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$a_2 = \frac{4 - 20}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
Ответ: $-8; 12$.

3) Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение.
$10 - 29a = 3a^2$
$3a^2 + 29a - 10 = 0$
Решим уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 29^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 841 + 120 = 961$
$\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$
Найдем корни по формуле $a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$a_1 = \frac{-29 + 31}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$a_2 = \frac{-29 - 31}{2 \cdot 3} = \frac{-60}{6} = -10$
Ответ: $-10; \frac{1}{3}$.

4) Приведем уравнение к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть.
$3c^2 + 3 = 10c$
$3c^2 - 10c + 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$
$\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$
Найдем корни по формуле $c_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$c_1 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$
$c_2 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}; 3$.