Номер 7.21, страница 67 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите корни уравнений (7.21–7.25):

7.21. 1) $(a + c)x^2 + 2ax + a - c = 0;$

2) $acx^2 - (an + cp)x + np = 0;$

3) $x^2 + 2(n - p)x - 4np = 0;$

4) $2x^2 - (a - 2c)x - ac = 0.$

1) Исходное уравнение: $(a + c)x^2 + 2ax + a - c = 0$.
Это квадратное уравнение вида $Ax^2+Bx+C=0$, где $A=a+c$, $B=2a$, $C=a-c$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a+c=0$, или $c=-a$.
Если при этом $a=0$, то и $c=0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 0 - 0 = 0$, то есть $0=0$, что верно для любого действительного числа $x$.
Если $a \neq 0$, то уравнение становится линейным: $2ax + a - (-a) = 0$, что равносильно $2ax + 2a = 0$, или $2a(x+1)=0$. Так как $a \neq 0$, получаем $x+1=0$, откуда $x=-1$.
Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a+c \neq 0$.
В этом случае мы можем использовать формулу для корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант $D$:
$D = B^2 - 4AC = (2a)^2 - 4(a+c)(a-c) = 4a^2 - 4(a^2 - c^2) = 4a^2 - 4a^2 + 4c^2 = 4c^2$.
Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:
$x_{1,2} = \frac{-2a \pm \sqrt{4c^2}}{2(a+c)} = \frac{-2a \pm 2c}{2(a+c)}$.
Один корень: $x_1 = \frac{-2a + 2c}{2(a+c)} = \frac{2(c-a)}{2(c+a)} = \frac{c-a}{c+a}$.
Второй корень: $x_2 = \frac{-2a - 2c}{2(a+c)} = \frac{-2(a+c)}{2(a+c)} = -1$.
Ответ: если $a=c=0$, то $x$ - любое число; если $a+c=0$ и $a \neq 0$, то $x=-1$; если $a+c \neq 0$, то $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{c-a}{a+c}$.

2) Исходное уравнение: $acx^2 - (an + cp)x + np = 0$.
Это уравнение можно решить путем разложения на множители. Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:
$acx^2 - anx - cpx + np = 0$
Вынесем общие множители:
$ax(cx - n) - p(cx - n) = 0$
$(ax - p)(cx - n) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, множество корней исходного уравнения является объединением множеств корней двух линейных уравнений:
1) $ax - p = 0 \Rightarrow ax = p$
2) $cx - n = 0 \Rightarrow cx = n$
Проанализируем решения в зависимости от значений параметров.
- Если $a \neq 0$ и $c \neq 0$, то каждое уравнение имеет по одному корню: $x_1 = \frac{p}{a}$ и $x_2 = \frac{n}{c}$.
- Если $a=p=0$, то первое уравнение ($0 \cdot x = 0$) верно для любого $x$. Следовательно, исходное уравнение тоже верно для любого $x$, так как один из множителей всегда равен нулю. Аналогично, если $c=n=0$, то второе уравнение ($0 \cdot x = 0$) и, следовательно, исходное уравнение верны для любого $x$.
- Если $a \neq 0$, а $c=0, n \neq 0$, то второе уравнение ($0 \cdot x = n$) не имеет решений. Решение дает только первое уравнение: $x = \frac{p}{a}$.
- Если $c \neq 0$, а $a=0, p \neq 0$, то первое уравнение ($0 \cdot x = p$) не имеет решений. Решение дает только второе уравнение: $x = \frac{n}{c}$.
- Если $a=0, p \neq 0$ и $c=0, n \neq 0$, то оба уравнения не имеют решений, а значит и исходное уравнение не имеет корней. Это соответствует случаю, когда $a=c=0$, а $p \neq 0, n \neq 0$, тогда исходное уравнение принимает вид $np=0$, что является ложным утверждением.
Ответ: если ($a=p=0$) или ($c=n=0$), то $x$ - любое число; если $a \neq 0$ и $c \neq 0$, то $x_1 = \frac{p}{a}, x_2 = \frac{n}{c}$; если $a \neq 0, c = 0, n \neq 0$, то $x = \frac{p}{a}$; если $a=0, p \neq 0, c \neq 0$, то $x = \frac{n}{c}$; если $a=0, c=0, p \neq 0, n \neq 0$, то корней нет.

3) Исходное уравнение: $x^2 + 2(n - p)x - 4np = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом. Коэффициент при $x$ равен $2(n-p)$, поэтому его половина $k = n-p$.
Найдем дискриминант, деленный на 4 ($D/4$):
$D/4 = k^2 - ac = (n-p)^2 - 1 \cdot (-4np) = n^2 - 2np + p^2 + 4np = n^2 + 2np + p^2 = (n+p)^2$.
Корни находятся по формуле $x_{1,2} = -k \pm \sqrt{D/4}$:
$x_{1,2} = -(n-p) \pm \sqrt{(n+p)^2} = p-n \pm (n+p)$.
Первый корень: $x_1 = p-n + (n+p) = 2p$.
Второй корень: $x_2 = p-n - (n+p) = p-n-n-p = -2n$.
Ответ: $x_1 = 2p, x_2 = -2n$.

4) Исходное уравнение: $2x^2 - (a - 2c)x - ac = 0$.
Решим это уравнение путем разложения на множители. Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:
$2x^2 - ax + 2cx - ac = 0$
Вынесем общие множители из пар слагаемых:
$x(2x - a) + c(2x - a) = 0$
Вынесем общий множитель $(2x-a)$:
$(x + c)(2x - a) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $x + c = 0 \Rightarrow x_1 = -c$
2) $2x - a = 0 \Rightarrow 2x = a \Rightarrow x_2 = \frac{a}{2}$
Ответ: $x_1 = -c, x_2 = \frac{a}{2}$.