Номер 7.27, страница 68 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.27. При каких значениях параметра p корни уравнения $9y^2 + (p-9) \times y - p - 6 = 0$:

1) равны между собой;

2) равны по модулю, но имеют противоположные знаки?

1) Корни квадратного уравнения равны между собой тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю. Рассмотрим данное уравнение: $9y^2 + (p-9)y - p - 6 = 0$. Его коэффициенты: $a=9$, $b=p-9$, $c = -(p+6)$. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. $D = (p-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-(p+6)) = (p^2 - 18p + 81) + 36(p+6) = p^2 - 18p + 81 + 36p + 216 = p^2 + 18p + 297$. Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значения $p$, при которых корни равны: $p^2 + 18p + 297 = 0$. Чтобы решить это квадратное уравнение относительно $p$, найдем его собственный дискриминант $D_p$: $D_p = 18^2 - 4 \cdot 1 \cdot 297 = 324 - 1188 = -864$. Поскольку $D_p < 0$, уравнение для $p$ не имеет действительных корней. Это означает, что не существует таких действительных значений параметра $p$, при которых дискриминант исходного уравнения равен нулю.
Ответ: таких значений p не существует.

2) Если корни уравнения равны по модулю, но имеют противоположные знаки, это означает, что один корень является противоположным числом для другого (например, $y_1$ и $-y_1$, где $y_1 \ne 0$). Сумма таких корней всегда равна нулю. Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни уравнения. По условию $y_1 + y_2 = 0$. Согласно теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения $ay^2 + by + c = 0$ определяется как $y_1 + y_2 = -\frac{b}{a}$. Для нашего уравнения $a=9$ и $b=p-9$. Приравниваем сумму корней к нулю: $-\frac{p-9}{9} = 0$. Это равенство выполняется, только если числитель равен нулю: $p-9=0$, откуда $p=9$. Теперь необходимо убедиться, что при $p=9$ уравнение действительно имеет два различных действительных корня. Для этого его дискриминант $D$ должен быть строго больше нуля. Используем выражение для дискриминанта, найденное в пункте 1: $D = p^2 + 18p + 297$. Подставим в него значение $p=9$: $D = 9^2 + 18 \cdot 9 + 297 = 81 + 162 + 297 = 540$. Так как $D = 540 > 0$, при $p=9$ уравнение имеет два различных действительных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку.
Ответ: $p=9$.