Номер 7.24, страница 68 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.24. 1) $\frac{x^2 - 1}{2} - \frac{(x + 3)^2}{4} + 3x = \frac{(x - 3)^2}{8}$;

2) $\frac{(3x - 4)^2}{5} + \frac{(x - 1)(2x - 5)}{2} - 1 = \frac{(x + 2)^2}{5}$;

3) $\frac{(x - 7)(x - 3)}{2} - \frac{2x + 8}{5} = 6x - \frac{(5x - 3)^2}{2}$;

4) $\frac{11 - 14x + 3x^2}{14} + \frac{1 + x + x^2}{5} = \frac{x + 9}{2}$.

1)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2 - 1}{2} - \frac{(x + 3)^2}{4} + 3x = \frac{(x - 3)^2}{8} $

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 8.

$ 8 \cdot \frac{x^2 - 1}{2} - 8 \cdot \frac{(x + 3)^2}{4} + 8 \cdot 3x = 8 \cdot \frac{(x - 3)^2}{8} $

$ 4(x^2 - 1) - 2(x + 3)^2 + 24x = (x - 3)^2 $

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$ 4(x^2 - 1) - 2(x^2 + 6x + 9) + 24x = x^2 - 6x + 9 $

Распределим множители:

$ 4x^2 - 4 - 2x^2 - 12x - 18 + 24x = x^2 - 6x + 9 $

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$ (4x^2 - 2x^2) + (-12x + 24x) + (-4 - 18) = x^2 - 6x + 9 $

$ 2x^2 + 12x - 22 = x^2 - 6x + 9 $

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$.

$ 2x^2 - x^2 + 12x + 6x - 22 - 9 = 0 $

$ x^2 + 18x - 31 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$ D = 18^2 - 4(1)(-31) = 324 + 124 = 448 $

Так как $448 = 64 \cdot 7$, то $\sqrt{D} = \sqrt{448} = \sqrt{64 \cdot 7} = 8\sqrt{7}$.

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$ x = \frac{-18 \pm 8\sqrt{7}}{2} = -9 \pm 4\sqrt{7} $

Ответ: $x_1 = -9 + 4\sqrt{7}, x_2 = -9 - 4\sqrt{7}$.

2)

Исходное уравнение: $ \frac{(3x - 4)^2}{5} + \frac{(x - 1)(2x - 5)}{2} - 1 = \frac{(x + 2)^2}{5} $

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 10.

$ 10 \cdot \frac{(3x - 4)^2}{5} + 10 \cdot \frac{(x - 1)(2x - 5)}{2} - 10 \cdot 1 = 10 \cdot \frac{(x + 2)^2}{5} $

$ 2(3x - 4)^2 + 5(x - 1)(2x - 5) - 10 = 2(x + 2)^2 $

Раскроем скобки:

$ (3x - 4)^2 = 9x^2 - 24x + 16 $

$ (x - 1)(2x - 5) = 2x^2 - 5x - 2x + 5 = 2x^2 - 7x + 5 $

$ (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 $

Подставим раскрытые выражения в уравнение:

$ 2(9x^2 - 24x + 16) + 5(2x^2 - 7x + 5) - 10 = 2(x^2 + 4x + 4) $

$ 18x^2 - 48x + 32 + 10x^2 - 35x + 25 - 10 = 2x^2 + 8x + 8 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ 28x^2 - 83x + 47 = 2x^2 + 8x + 8 $

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ 28x^2 - 2x^2 - 83x - 8x + 47 - 8 = 0 $

$ 26x^2 - 91x + 39 = 0 $

Заметим, что все коэффициенты (26, -91, 39) делятся на 13. Разделим уравнение на 13 для упрощения.

$ 2x^2 - 7x + 3 = 0 $

Решим квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или разложение на множители.

$ D = (-7)^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25 $, $\sqrt{D} = 5$.

$ x_1 = \frac{-(-7) + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3 $

$ x_2 = \frac{-(-7) - 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = \frac{1}{2}$.

3)

Исходное уравнение: $ \frac{(x - 7)(x - 3)}{2} - \frac{2x + 8}{5} = 6x - \frac{(5x - 3)^2}{2} $

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями. Перенесем $ -\frac{(5x - 3)^2}{2} $ в левую часть.

$ \frac{(x - 7)(x - 3)}{2} + \frac{(5x - 3)^2}{2} - \frac{2x + 8}{5} = 6x $

$ \frac{(x - 7)(x - 3) + (5x - 3)^2}{2} - \frac{2x + 8}{5} = 6x $

Раскроем скобки в числителе первой дроби:

$ (x^2 - 3x - 7x + 21) + (25x^2 - 30x + 9) = x^2 - 10x + 21 + 25x^2 - 30x + 9 = 26x^2 - 40x + 30 $

Подставим обратно в уравнение:

$ \frac{26x^2 - 40x + 30}{2} - \frac{2x + 8}{5} = 6x $

Сократим первую дробь на 2:

$ 13x^2 - 20x + 15 - \frac{2x + 8}{5} = 6x $

Теперь умножим все уравнение на 5, чтобы избавиться от дроби:

$ 5(13x^2 - 20x + 15) - (2x + 8) = 5(6x) $

$ 65x^2 - 100x + 75 - 2x - 8 = 30x $

Приведем подобные слагаемые:

$ 65x^2 - 102x + 67 = 30x $

Перенесем $30x$ в левую часть:

$ 65x^2 - 102x - 30x + 67 = 0 $

$ 65x^2 - 132x + 67 = 0 $

Для решения этого квадратного уравнения можно заметить, что сумма его коэффициентов равна нулю: $a + b + c = 65 + (-132) + 67 = 132 - 132 = 0$.

Если $a+b+c=0$, то один из корней равен 1, а второй равен $c/a$.

$ x_1 = 1 $

$ x_2 = \frac{c}{a} = \frac{67}{65} $

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = \frac{67}{65}$.

4)

Исходное уравнение: $ \frac{11 - 14x + 3x^2}{14} + \frac{1 + x + x^2}{5} = \frac{x + 9}{2} $

Наименьший общий знаменатель для 14, 5 и 2 равен 70. Умножим обе части уравнения на 70.

$ 70 \cdot \frac{3x^2 - 14x + 11}{14} + 70 \cdot \frac{x^2 + x + 1}{5} = 70 \cdot \frac{x + 9}{2} $

$ 5(3x^2 - 14x + 11) + 14(x^2 + x + 1) = 35(x + 9) $

Раскроем скобки:

$ 15x^2 - 70x + 55 + 14x^2 + 14x + 14 = 35x + 315 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ (15x^2 + 14x^2) + (-70x + 14x) + (55 + 14) = 35x + 315 $

$ 29x^2 - 56x + 69 = 35x + 315 $

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ 29x^2 - 56x - 35x + 69 - 315 = 0 $

$ 29x^2 - 91x - 246 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$ a=29, b=-91, c=-246 $

$ D = (-91)^2 - 4(29)(-246) = 8281 + 116 \cdot 246 = 8281 + 28536 = 36817 $

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$ x = \frac{-(-91) \pm \sqrt{36817}}{2 \cdot 29} = \frac{91 \pm \sqrt{36817}}{58} $

Ответ: $x = \frac{91 \pm \sqrt{36817}}{58}$.