Номер 7.23, страница 68 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.23. 1) $\frac{(y - 5)(y + 2)}{3} - \frac{11y + 12}{10} = 2 - \frac{y - 2}{3}$;

2) $\frac{y^2 + 3y}{5} = \frac{10 - y}{2} - \frac{3y^2 + 8y}{14}$.

1) Исходное уравнение: $\frac{(y - 5)(y + 2)}{3} - \frac{11y + 12}{10} = 2 - \frac{y - 2}{3}$.

Сначала раскроем скобки в числителе первой дроби: $(y - 5)(y + 2) = y^2 + 2y - 5y - 10 = y^2 - 3y - 10$.

Уравнение примет вид: $\frac{y^2 - 3y - 10}{3} - \frac{11y + 12}{10} = 2 - \frac{y - 2}{3}$.

Чтобы избавиться от знаменателей, найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3 и 10. НОК(3, 10) = 30.

Умножим обе части уравнения на 30:

$30 \cdot \frac{y^2 - 3y - 10}{3} - 30 \cdot \frac{11y + 12}{10} = 30 \cdot 2 - 30 \cdot \frac{y - 2}{3}$

$10(y^2 - 3y - 10) - 3(11y + 12) = 60 - 10(y - 2)$

Раскроем скобки:

$10y^2 - 30y - 100 - 33y - 36 = 60 - 10y + 20$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$10y^2 - 63y - 136 = 80 - 10y$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$:

$10y^2 - 63y - 136 - 80 + 10y = 0$

$10y^2 - 53y - 216 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. $a = 10, b = -53, c = -216$.

$D = b^2 - 4ac = (-53)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-216) = 2809 + 8640 = 11449$.

$\sqrt{D} = \sqrt{11449} = 107$.

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{53 + 107}{2 \cdot 10} = \frac{160}{20} = 8$.

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{53 - 107}{2 \cdot 10} = \frac{-54}{20} = -\frac{27}{10} = -2.7$.

Ответ: $y_1 = 8$, $y_2 = -2.7$.

2) Исходное уравнение: $\frac{y^2 + 3y}{5} = \frac{10 - y}{2} - \frac{3y^2 + 8y}{14}$.

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 5, 2 и 14. НОК(5, 2, 14) = 70.

Умножим обе части уравнения на 70:

$70 \cdot \frac{y^2 + 3y}{5} = 70 \cdot \frac{10 - y}{2} - 70 \cdot \frac{3y^2 + 8y}{14}$

$14(y^2 + 3y) = 35(10 - y) - 5(3y^2 + 8y)$

Раскроем скобки:

$14y^2 + 42y = 350 - 35y - 15y^2 - 40y$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$14y^2 + 42y = 350 - 75y - 15y^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$14y^2 + 15y^2 + 42y + 75y - 350 = 0$

$29y^2 + 117y - 350 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. $a = 29, b = 117, c = -350$.

$D = b^2 - 4ac = 117^2 - 4 \cdot 29 \cdot (-350) = 13689 + 40600 = 54289$.

$\sqrt{D} = \sqrt{54289} = 233$.

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-117 + 233}{2 \cdot 29} = \frac{116}{58} = 2$.

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-117 - 233}{2 \cdot 29} = \frac{-350}{58} = -\frac{175}{29}$.

Ответ: $y_1 = 2$, $y_2 = -\frac{175}{29}$.