Номер 7.25, страница 68 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.25.

1) $(2x - 1)^2 (x + 5) = (4x + 5)(x + 1)^2;$

2) $(x - 5)^3 (x - 1) - 49 = (x - 8)^2 (x^2 - 2);$

3) $9((3x - 4)^2 - (2x - 10)^2) = (5x - 14)^2 (x + 6)^2;$

4) $3(4x^2 - 1)(5x + 3) = 8(4x^2 - 1)^2.$

1) Исходное уравнение: $(2x - 1)^2 (x + 5) = (4x + 5)(x + 1)^2$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения.
Сначала возведем в квадрат двучлены, используя формулы сокращенного умножения:
$(2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$
$(x + 1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$
Подставим полученные выражения обратно в уравнение:
$(4x^2 - 4x + 1)(x + 5) = (4x + 5)(x^2 + 2x + 1)$
Теперь раскроем оставшиеся скобки, перемножая многочлены:
Левая часть: $4x^2(x+5) - 4x(x+5) + 1(x+5) = (4x^3 + 20x^2) - (4x^2 + 20x) + (x + 5) = 4x^3 + 16x^2 - 19x + 5$.
Правая часть: $4x(x^2+2x+1) + 5(x^2+2x+1) = (4x^3 + 8x^2 + 4x) + (5x^2 + 10x + 5) = 4x^3 + 13x^2 + 14x + 5$.
Приравняем левую и правую части:
$4x^3 + 16x^2 - 19x + 5 = 4x^3 + 13x^2 + 14x + 5$
Сократим одинаковые члены ($4x^3$ и $5$) в обеих частях:
$16x^2 - 19x = 13x^2 + 14x$
Перенесем все члены в левую часть:
$16x^2 - 13x^2 - 19x - 14x = 0$
$3x^2 - 33x = 0$
Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:
$3x(x - 11) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$3x = 0$ или $x - 11 = 0$
Отсюда находим корни:
$x_1 = 0$
$x_2 = 11$
Ответ: $0; 11$.

2) Исходное уравнение: $(x - 5)^3 (x - 1) - 49 = (x - 8)^2 (x^2 - 2)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения.
Преобразуем левую часть:
$(x - 5)^3 (x - 1) - 49 = (x - 5)^2 (x - 5)(x - 1) - 49 = (x^2 - 10x + 25)(x^2 - 6x + 5) - 49$.
Перемножим многочлены:
$(x^2 - 10x + 25)(x^2 - 6x + 5) = x^4 - 6x^3 + 5x^2 - 10x^3 + 60x^2 - 50x + 25x^2 - 150x + 125 = x^4 - 16x^3 + 90x^2 - 200x + 125$.
Тогда вся левая часть равна: $x^4 - 16x^3 + 90x^2 - 200x + 125 - 49 = x^4 - 16x^3 + 90x^2 - 200x + 76$.
Преобразуем правую часть:
$(x - 8)^2 (x^2 - 2) = (x^2 - 16x + 64)(x^2 - 2)$.
Перемножим многочлены:
$(x^2 - 16x + 64)(x^2 - 2) = x^4 - 2x^2 - 16x^3 + 32x + 64x^2 - 128 = x^4 - 16x^3 + 62x^2 + 32x - 128$.
Теперь приравняем преобразованные левую и правую части:
$x^4 - 16x^3 + 90x^2 - 200x + 76 = x^4 - 16x^3 + 62x^2 + 32x - 128$.
Сократим одинаковые члены ($x^4$ и $-16x^3$):
$90x^2 - 200x + 76 = 62x^2 + 32x - 128$.
Перенесем все члены в левую часть:
$(90-62)x^2 + (-200-32)x + (76+128) = 0$
$28x^2 - 232x + 204 = 0$.
Разделим все уравнение на 4 для упрощения:
$7x^2 - 58x + 51 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-58)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 51 = 3364 - 1428 = 1936$.
$\sqrt{D} = \sqrt{1936} = 44$.
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{58 + 44}{2 \cdot 7} = \frac{102}{14} = \frac{51}{7}$.
$x_2 = \frac{58 - 44}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$.
Ответ: $1; \frac{51}{7}$.

3) Исходное уравнение: $9((3x - 4)^2 - (2x - 10)^2) = (5x - 14)^2 (x + 6)^2$.
В левой части уравнения применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 3x - 4$ и $b = 2x - 10$.
$a - b = (3x - 4) - (2x - 10) = 3x - 4 - 2x + 10 = x + 6$.
$a + b = (3x - 4) + (2x - 10) = 3x - 4 + 2x - 10 = 5x - 14$.
Тогда левая часть уравнения принимает вид: $9(x + 6)(5x - 14)$.
В правой части уравнения сгруппируем множители под одним квадратом: $(ab)^n = a^n b^n$:
$(5x - 14)^2 (x + 6)^2 = ((5x - 14)(x + 6))^2$.
Уравнение принимает вид:
$9(x + 6)(5x - 14) = ((x + 6)(5x - 14))^2$.
Сделаем замену. Пусть $y = (x + 6)(5x - 14)$. Тогда уравнение можно переписать как:
$9y = y^2$.
$y^2 - 9y = 0$.
$y(y - 9) = 0$.
Отсюда получаем два случая:
1) $y = 0$.
2) $y - 9 = 0 \implies y = 9$.
Теперь вернемся к замене и рассмотрим каждый случай.
Случай 1: $y = 0$.
$(x + 6)(5x - 14) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x + 6 = 0 \implies x_1 = -6$.
$5x - 14 = 0 \implies 5x = 14 \implies x_2 = \frac{14}{5} = 2.8$.
Случай 2: $y = 9$.
$(x + 6)(5x - 14) = 9$.
Раскроем скобки: $5x^2 - 14x + 30x - 84 = 9$.
$5x^2 + 16x - 84 - 9 = 0$.
$5x^2 + 16x - 93 = 0$.
Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 16^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-93) = 256 + 1860 = 2116$.
$\sqrt{D} = \sqrt{2116} = 46$.
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_3 = \frac{-16 + 46}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$.
$x_4 = \frac{-16 - 46}{2 \cdot 5} = \frac{-62}{10} = -6.2$.
Ответ: $-6.2; -6; 2.8; 3$.

4) Исходное уравнение: $3(4x^2 - 1)(5x + 3) = 8(4x^2 - 1)^2$.
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы приравнять уравнение к нулю:
$8(4x^2 - 1)^2 - 3(4x^2 - 1)(5x + 3) = 0$.
Заметим общий множитель $(4x^2 - 1)$ и вынесем его за скобки:
$(4x^2 - 1) [8(4x^2 - 1) - 3(5x + 3)] = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Это дает нам два уравнения.
Случай 1: $4x^2 - 1 = 0$.
$4x^2 = 1$.
$x^2 = \frac{1}{4}$.
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$.
$x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = -\frac{1}{2}$.
Случай 2: $8(4x^2 - 1) - 3(5x + 3) = 0$.
Раскроем скобки во втором множителе:
$32x^2 - 8 - 15x - 9 = 0$.
Приведем подобные члены:
$32x^2 - 15x - 17 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Можно заметить, что сумма коэффициентов $a+b+c = 32 - 15 - 17 = 0$. Это означает, что один из корней равен $1$.
$x_3 = 1$.
Второй корень можно найти по теореме Виета для квадратного уравнения: $x_3 \cdot x_4 = \frac{c}{a}$.
$1 \cdot x_4 = \frac{-17}{32}$.
$x_4 = -\frac{17}{32}$.
Объединяем все найденные корни из обоих случаев.
Ответ: $-\frac{17}{32}; -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 1$.