Номер 7.29, страница 68 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Параграф 7. Решение квадратных уравнений. Глава 2. Квадратные уравнения - номер 7.29, страница 68.

Условие.

7.29. Найдите отношение двух чисел, если квадрат значения суммы этих чисел в 3 раза больше значения неполного квадрата разности этих чисел.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть два искомых числа будут $a$ и $b$. Нам нужно найти их отношение, то есть $\frac{a}{b}$ или $\frac{b}{a}$.

Согласно условию задачи, "квадрат значения суммы этих чисел" в 3 раза больше "значения неполного квадрата разности этих чисел".

Запишем эти выражения математически:

Квадрат значения суммы чисел: $(a+b)^2$.

Неполный квадрат разности чисел: $a^2 - ab + b^2$.

Составим уравнение на основе условия задачи:

$(a+b)^2 = 3(a^2 - ab + b^2)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$a^2 + 2ab + b^2 = 3a^2 - 3ab + 3b^2$

Перенесем все члены уравнения в правую часть:

$0 = 3a^2 - a^2 - 3ab - 2ab + 3b^2 - b^2$

$0 = 2a^2 - 5ab + 2b^2$

Это однородное квадратное уравнение. Чтобы найти отношение $\frac{a}{b}$, разделим обе части уравнения на $b^2$ (при условии, что $b \neq 0$; если $b=0$, то и $a=0$, а отношение не определено).

$\frac{2a^2}{b^2} - \frac{5ab}{b^2} + \frac{2b^2}{b^2} = 0$

$2\left(\frac{a}{b}\right)^2 - 5\left(\frac{a}{b}\right) + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \frac{a}{b}$. Тогда уравнение примет вид:

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Таким образом, отношение чисел может быть равно 2 или $\frac{1}{2}$.

Ответ: 2 или $\frac{1}{2}$.