Номер 7.30, страница 68 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.30. Решите графически уравнение:

1) $x^2 - |x| - 6 = 0;$

2) $2x^2 + |x| - 1 = 0;$

3) $2x^2 - 3|x| - 2 = 0;$

4) $-x^2 - |x| + 12 = 0.$

Для графического решения уравнений вида $f(|x|) = 0$, содержащих переменную под знаком модуля, удобно использовать свойство четности. Поскольку $x^2 = |x|^2$, все представленные функции являются четными, то есть $y(-x) = y(x)$. Это означает, что их графики симметричны относительно оси ординат (оси Oy).
Алгоритм решения будет следующим:
1. Построить график функции для $x \ge 0$. На этом промежутке $|x| = x$, и уравнение становится стандартным квадратным.
2. Симметрично отразить полученную часть графика относительно оси Oy, чтобы получить полный график функции.
3. Найти точки пересечения полного графика с осью абсцисс (осью Ox). Абсциссы этих точек и будут решениями уравнения.

1) $x^2 - |x| - 6 = 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 - |x| - 6$. Нам нужно найти значения $x$, при которых $y=0$.
Для $x \ge 0$, функция принимает вид $y = x^2 - x - 6$. Это парабола с ветвями вверх.
Найдем ее вершину: $x_v = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0.5$. $y_v = (0.5)^2 - 0.5 - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25$. Вершина находится в точке $(0.5, -6.25)$.
Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $x^2 - x - 6 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
Поскольку мы рассматриваем случай $x \ge 0$, нас интересует только корень $x=3$.
В силу четности функции, для $x < 0$ график будет симметричен построенному. Следовательно, в отрицательной полуплоскости также будет корень, симметричный корню $x=3$, то есть $x=-3$.
Таким образом, график функции $y = x^2 - |x| - 6$ пересекает ось Ox в двух точках.

График пересекает ось Ox в точках с абсциссами $x = -3$ и $x = 3$.

Ответ: $x = -3, x = 3$.

2) $2x^2 + |x| - 1 = 0$

Рассмотрим функцию $y = 2x^2 + |x| - 1$.
Для $x \ge 0$, функция принимает вид $y = 2x^2 + x - 1$. Это парабола с ветвями вверх.
Найдем ее вершину: $x_v = -\frac{1}{2 \cdot 2} = -0.25$. Вершина находится вне рассматриваемого промежутка $x \ge 0$. На этом промежутке функция монотонно возрастает.
При $x=0$, $y=-1$. Это точка минимума для всей функции $y = 2x^2 + |x| - 1$.
Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $2x^2 + x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$. Корни $x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4}$, то есть $x_1 = \frac{-1+3}{4} = 0.5$ и $x_2 = \frac{-1-3}{4} = -1$.
Так как мы рассматриваем случай $x \ge 0$, нас интересует только корень $x=0.5$.
В силу четности функции, в отрицательной полуплоскости будет симметричный корень $x=-0.5$.

График пересекает ось Ox в точках с абсциссами $x = -0.5$ и $x = 0.5$.

Ответ: $x = -0.5, x = 0.5$.

3) $2x^2 - 3|x| - 2 = 0$

Рассмотрим функцию $y = 2x^2 - 3|x| - 2$.
Для $x \ge 0$, функция принимает вид $y = 2x^2 - 3x - 2$. Это парабола с ветвями вверх.
Найдем ее вершину: $x_v = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = 0.75$. $y_v = 2(0.75)^2 - 3(0.75) - 2 = 2(0.5625) - 2.25 - 2 = 1.125 - 2.25 - 2 = -3.125$. Вершина в точке $(0.75, -3.125)$.
Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $2x^2 - 3x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$. Корни $x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4}$, то есть $x_1 = \frac{3+5}{4} = 2$ и $x_2 = \frac{3-5}{4} = -0.5$.
Так как мы рассматриваем случай $x \ge 0$, нас интересует только корень $x=2$.
В силу четности функции, в отрицательной полуплоскости будет симметричный корень $x=-2$.

График пересекает ось Ox в точках с абсциссами $x = -2$ и $x = 2$.

Ответ: $x = -2, x = 2$.

4) $-x^2 - |x| + 12 = 0$

Рассмотрим функцию $y = -x^2 - |x| + 12$.
Для $x \ge 0$, функция принимает вид $y = -x^2 - x + 12$. Это парабола с ветвями вниз.
Найдем ее вершину: $x_v = -\frac{-1}{2 \cdot (-1)} = -0.5$. Вершина находится вне рассматриваемого промежутка $x \ge 0$.
При $x=0$, $y=12$. Это точка максимума для всей функции.
Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $-x^2 - x + 12 = 0$, или $x^2 + x - 12 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.
Так как мы рассматриваем случай $x \ge 0$, нас интересует только корень $x=3$.
В силу четности функции, в отрицательной полуплоскости будет симметричный корень $x=-3$.

График пересекает ось Ox в точках с абсциссами $x = -3$ и $x = 3$.

Ответ: $x = -3, x = 3$.