Номер 7.37, страница 69 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.37. Вычислите:

1) $(\sqrt{3} + \sqrt{12} - \sqrt{20}) \cdot (2\sqrt{5} + 3\sqrt{3}) - 4;$

2) $(\sqrt{15} + \sqrt{3} - \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3}) - 4,6.$

1) $(\sqrt{3} + \sqrt{12} - \sqrt{20}) \cdot (2\sqrt{5} + 3\sqrt{3}) - 4$

Сначала упростим выражения в скобках. Для первой скобки вынесем множители из-под знака корня:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

Подставим упрощенные значения в первую скобку:

$(\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{5}) = (3\sqrt{3} - 2\sqrt{5})$

Теперь исходное выражение выглядит так:

$(3\sqrt{3} - 2\sqrt{5}) \cdot (2\sqrt{5} + 3\sqrt{3}) - 4$

Заметим, что произведение в скобках представляет собой формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a = 3\sqrt{3}$ и $b = 2\sqrt{5}$.

Применим эту формулу:

$(3\sqrt{3} - 2\sqrt{5})(3\sqrt{3} + 2\sqrt{5}) = (3\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{5})^2 = (9 \cdot 3) - (4 \cdot 5) = 27 - 20 = 7$

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$7 - 4 = 3$

Ответ: $3$

2) $(\sqrt{15} + \sqrt{3} - \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3}) - 4,6$

Раскроем скобки, умножив каждый член первой скобки на каждый член второй скобки:

$(\sqrt{15} + \sqrt{3} - \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = \sqrt{15} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{15} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{3}$

Выполним умножение подкоренных выражений:

$\sqrt{75} + \sqrt{15} - \sqrt{25} - \sqrt{45} - \sqrt{9} + \sqrt{15}$

Упростим полученные значения:

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$

$\sqrt{25} = 5$

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{9} = 3$

Подставим упрощенные значения в выражение:

$5\sqrt{3} + \sqrt{15} - 5 - 3\sqrt{5} - 3 + \sqrt{15}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$( \sqrt{15} + \sqrt{15} ) + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{5} + (-5 - 3) = 2\sqrt{15} + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{5} - 8$

Теперь подставим результат умножения в исходное выражение:

$(2\sqrt{15} + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{5} - 8) - 4,6 = 2\sqrt{15} + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{5} - 8 - 4,6 = 2\sqrt{15} + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{5} - 12,6$

Так как дальнейшее упрощение невозможно, это и будет ответом. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка, так как обычно в таких заданиях иррациональные члены сокращаются.

Ответ: $2\sqrt{15} + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{5} - 12,6$