Номер 7.31, страница 68 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.31. При каких значениях параметра с уравнение имеет хотя бы один корень:

1) $4x^2 - 3x + c = 0;$

2) $2x^2 + 5x - 0,4c = 0;$

3) $-x^2 + 6x - 7c = 0;$

4) $-2x^2 - 3x + 5c = 0?$

Квадратное уравнение имеет хотя бы один корень, если его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$. Дискриминант для уравнения общего вида $ax^2 + bx + k = 0$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ak$.

1) В уравнении $4x^2 - 3x + c = 0$ имеем коэффициенты $a=4$, $b=-3$ и свободный член $k=c$.

Вычислим дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot c = 9 - 16c$.

Решим неравенство $D \ge 0$:

$9 - 16c \ge 0$

$9 \ge 16c$

$c \le \frac{9}{16}$

Ответ: $c \le \frac{9}{16}$.

2) В уравнении $2x^2 + 5x - 0,4c = 0$ имеем коэффициенты $a=2$, $b=5$ и свободный член $k=-0,4c$.

Вычислим дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-0,4c) = 25 + 3,2c$.

Решим неравенство $D \ge 0$:

$25 + 3,2c \ge 0$

$3,2c \ge -25$

$c \ge -\frac{25}{3,2} = -\frac{250}{32} = -\frac{125}{16}$

Ответ: $c \ge -\frac{125}{16}$.

3) В уравнении $-x^2 + 6x - 7c = 0$ имеем коэффициенты $a=-1$, $b=6$ и свободный член $k=-7c$.

Вычислим дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-7c) = 36 - 28c$.

Решим неравенство $D \ge 0$:

$36 - 28c \ge 0$

$36 \ge 28c$

$c \le \frac{36}{28} = \frac{9}{7}$

Ответ: $c \le \frac{9}{7}$.

4) В уравнении $-2x^2 - 3x + 5c = 0$ имеем коэффициенты $a=-2$, $b=-3$ и свободный член $k=5c$.

Вычислим дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (5c) = 9 + 40c$.

Решим неравенство $D \ge 0$:

$9 + 40c \ge 0$

$40c \ge -9$

$c \ge -\frac{9}{40}$

Ответ: $c \ge -\frac{9}{40}$.