Номер 7.38, страница 70 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.38. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 3x - 2y = 5, \\ 5x + 2y = 8; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x - 3y = -4, \\ 1,5x + 2y = 7; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 3,6x + 3,2y = 5,6, \\ 5,2x + 2,4y = 8; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3x - 2y = 5,3, \\ 2,5x + 1,2y = 7,8. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:$\begin{cases} 3x - 2y = 5, \\5x + 2y = 8;\end{cases}$
Для решения этой системы удобно использовать метод сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ противоположны ($-2$ и $2$). Сложим левые и правые части уравнений:
$(3x - 2y) + (5x + 2y) = 5 + 8$
$8x = 13$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{13}{8}$
Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:
$5 \cdot (\frac{13}{8}) + 2y = 8$
$\frac{65}{8} + 2y = 8$
$2y = 8 - \frac{65}{8}$
$2y = \frac{64}{8} - \frac{65}{8}$
$2y = -\frac{1}{8}$
$y = -\frac{1}{16}$
Ответ: $(\frac{13}{8}; -\frac{1}{16})$.

2) Дана система уравнений:$\begin{cases} 2x - 3y = -4, \\1,5x + 2y = 7;\end{cases}$
Решим систему методом сложения. Для этого умножим первое уравнение на $2$, а второе на $3$, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$\begin{cases} 2(2x - 3y) = 2(-4), \\3(1,5x + 2y) = 3(7);\end{cases}$
$\begin{cases} 4x - 6y = -8, \\4,5x + 6y = 21;\end{cases}$
Сложим уравнения:
$(4x - 6y) + (4,5x + 6y) = -8 + 21$
$8,5x = 13$
$x = \frac{13}{8,5} = \frac{130}{85} = \frac{26}{17}$
Подставим значение $x$ в первое исходное уравнение:
$2 \cdot (\frac{26}{17}) - 3y = -4$
$\frac{52}{17} - 3y = -4$
$-3y = -4 - \frac{52}{17}$
$-3y = -\frac{68}{17} - \frac{52}{17}$
$-3y = -\frac{120}{17}$
$y = \frac{120}{17 \cdot 3} = \frac{40}{17}$
Ответ: $(\frac{26}{17}; \frac{40}{17})$.

3) Дана система уравнений:$\begin{cases} 3,6x + 3,2y = 5,6, \\5,2x + 2,4y = 8;\end{cases}$
Для удобства избавимся от десятичных дробей, умножив оба уравнения на $10$:
$\begin{cases} 36x + 32y = 56, \\52x + 24y = 80;\end{cases}$
Упростим уравнения, разделив каждое на $4$:
$\begin{cases} 9x + 8y = 14, \\13x + 6y = 20;\end{cases}$
Применим метод сложения. Умножим первое уравнение на $3$, а второе на $-4$, чтобы избавиться от $y$:
$\begin{cases} 3(9x + 8y) = 3 \cdot 14, \\-4(13x + 6y) = -4 \cdot 20;\end{cases}$
$\begin{cases} 27x + 24y = 42, \\-52x - 24y = -80;\end{cases}$
Сложим полученные уравнения:
$(27x + 24y) + (-52x - 24y) = 42 + (-80)$
$-25x = -38$
$x = \frac{38}{25}$
Подставим $x$ в упрощенное уравнение $9x + 8y = 14$:
$9 \cdot (\frac{38}{25}) + 8y = 14$
$\frac{342}{25} + 8y = 14$
$8y = 14 - \frac{342}{25}$
$8y = \frac{350}{25} - \frac{342}{25}$
$8y = \frac{8}{25}$
$y = \frac{1}{25}$
Ответ: $(\frac{38}{25}; \frac{1}{25})$.

4) Дана система уравнений:$\begin{cases} 3x - 2y = 5,3, \\2,5x + 1,2y = 7,8;\end{cases}$
Умножим оба уравнения на $10$, чтобы работать с целыми числами:
$\begin{cases} 30x - 20y = 53, \\25x + 12y = 78;\end{cases}$
Решим систему методом сложения. Найдем $y$, для чего умножим первое уравнение на $5$, а второе на $-6$, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:
$\begin{cases} 5(30x - 20y) = 5 \cdot 53, \\-6(25x + 12y) = -6 \cdot 78;\end{cases}$
$\begin{cases} 150x - 100y = 265, \\-150x - 72y = -468;\end{cases}$
Сложим уравнения:
$(150x - 100y) + (-150x - 72y) = 265 - 468$
$-172y = -203$
$y = \frac{203}{172}$
Теперь найдем $x$. Умножим первое уравнение исходной целочисленной системы на $3$, а второе на $5$:
$\begin{cases} 3(30x - 20y) = 3 \cdot 53, \\5(25x + 12y) = 5 \cdot 78;\end{cases}$
$\begin{cases} 90x - 60y = 159, \\125x + 60y = 390;\end{cases}$
Сложим эти уравнения:
$(90x - 60y) + (125x + 60y) = 159 + 390$
$215x = 549$
$x = \frac{549}{215}$
Ответ: $(\frac{549}{215}; \frac{203}{172})$.