Номер 7.39, страница 70 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.39. Сравните числа:

1) $2,14$ и $2,1(4)$;

2) $1,73$ и $\sqrt{3}$;

3) $-3\frac{3}{7}$ и $-3\frac{4}{9}$;

4) $2-\sqrt{5}$ и $1-\sqrt{2}$.

1) Сравним числа $2,14$ и $2,1(4)$.
Число $2,1(4)$ является периодической десятичной дробью, которую можно записать как $2,1444...$.
Первое число $2,14$ можно представить как $2,1400...$.
Сравним эти числа по разрядам:
- Целые части равны: $2 = 2$.
- Разряд десятых равен: $1 = 1$.
- Разряд сотых равен: $4 = 4$.
- В разряде тысячных у первого числа стоит $0$, а у второго $4$.
Поскольку $0 < 4$, то $2,1400... < 2,1444...$.
Следовательно, $2,14 < 2,1(4)$.
Ответ: $2,14 < 2,1(4)$.

2) Сравним числа $1,73$ и $\sqrt{3}$.
Оба числа положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты. Знак неравенства при этом сохранится.
Возведем в квадрат первое число: $1,73^2 = 1,73 \cdot 1,73 = 2,9929$.
Возведем в квадрат второе число: $(\sqrt{3})^2 = 3$.
Сравним полученные результаты: $2,9929 < 3$.
Так как $1,73^2 < (\sqrt{3})^2$ и оба исходных числа положительны, то $1,73 < \sqrt{3}$.
Ответ: $1,73 < \sqrt{3}$.

3) Сравним числа $-3\frac{3}{7}$ и $-3\frac{4}{9}$.
Для начала сравним положительные числа (модули данных чисел): $3\frac{3}{7}$ и $3\frac{4}{9}$.
Так как целые части у них одинаковы, сравним их дробные части: $\frac{3}{7}$ и $\frac{4}{9}$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 9 — это $7 \cdot 9 = 63$.
$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 9}{7 \cdot 9} = \frac{27}{63}$.
$\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{28}{63}$.
Сравниваем полученные дроби: $\frac{27}{63} < \frac{28}{63}$, следовательно, $\frac{3}{7} < \frac{4}{9}$.
Это означает, что $3\frac{3}{7} < 3\frac{4}{9}$.
При сравнении отрицательных чисел большим является то, чей модуль меньше.
Так как $|-3\frac{3}{7}| < |-3\frac{4}{9}|$, то $-3\frac{3}{7} > -3\frac{4}{9}$.
Ответ: $-3\frac{3}{7} > -3\frac{4}{9}$.

4) Сравним числа $2 - \sqrt{5}$ и $1 - \sqrt{2}$.
Оценим значения корней: $2 < \sqrt{5} < 3$ (так как $4 < 5 < 9$) и $1 < \sqrt{2} < 2$ (так как $1 < 2 < 4$).
Поэтому оба выражения отрицательны:
$2 - \sqrt{5} < 0$
$1 - \sqrt{2} < 0$
Предположим, что $2 - \sqrt{5} > 1 - \sqrt{2}$.
Перенесем числа так, чтобы сгруппировать целые части и корни:
$2 - 1 > \sqrt{5} - \sqrt{2}$
$1 > \sqrt{5} - \sqrt{2}$
Обе части неравенства положительны (так как $\sqrt{5} \approx 2,23$ и $\sqrt{2} \approx 1,41$, их разность $\approx 0,82 < 1$), поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$1^2 > (\sqrt{5} - \sqrt{2})^2$
$1 > (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$
$1 > 5 - 2\sqrt{10} + 2$
$1 > 7 - 2\sqrt{10}$
$2\sqrt{10} > 7 - 1$
$2\sqrt{10} > 6$
$\sqrt{10} > 3$
Возведем обе части в квадрат еще раз:
$(\sqrt{10})^2 > 3^2$
$10 > 9$
Полученное неравенство верно. Значит, наше первоначальное предположение было верным.
Ответ: $2 - \sqrt{5} > 1 - \sqrt{2}$.