Номер 7.35, страница 69 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.35. Упростите выражение:

1) $\left(\frac{a}{a^2 + 2a + 4} + \frac{a^2 + 8}{a^3 - 8} - \frac{1}{a - 2}\right) \cdot \left(\frac{a^2}{a^2 - 4} - \frac{2}{2 - a}\right);$

2) $\frac{a^3 + 4a^2 + 8a + 8}{a^2 + 4 - 4a - a^3} \cdot \left(\frac{6a - a^2 - 4}{a^3 - 8} - \frac{1}{a - 2} + \frac{a - 2}{a^2 + 2a + 4}\right).$

1)

Упростим выражение по действиям. Сначала выполним действия в первых скобках: $ \left(\frac{a}{a^2 + 2a + 4} + \frac{a^2 + 8}{a^3 - 8} - \frac{1}{a - 2}\right) $.

Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, тогда $a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$. Это будет общий знаменатель.

$ \frac{a(a - 2)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} + \frac{a^2 + 8}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} - \frac{1 \cdot (a^2 + 2a + 4)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} = $

$ = \frac{a(a - 2) + (a^2 + 8) - (a^2 + 2a + 4)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} = \frac{a^2 - 2a + a^2 + 8 - a^2 - 2a - 4}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} = \frac{a^2 - 4a + 4}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} $

В числителе находится формула квадрата разности: $a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$.

$ \frac{(a - 2)^2}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} = \frac{a - 2}{a^2 + 2a + 4} $

Теперь упростим выражение во вторых скобках: $ \left(\frac{a^2}{a^2 - 4} - \frac{2}{2 - a}\right) $.

$ \frac{a^2}{(a - 2)(a + 2)} - \frac{2}{-(a - 2)} = \frac{a^2}{(a - 2)(a + 2)} + \frac{2}{a - 2} $

Приведем к общему знаменателю $ (a - 2)(a + 2) $.

$ \frac{a^2}{(a - 2)(a + 2)} + \frac{2(a + 2)}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{a^2 + 2a + 4}{(a - 2)(a + 2)} $

Наконец, перемножим результаты, полученные для каждой из скобок:

$ \left(\frac{a - 2}{a^2 + 2a + 4}\right) \cdot \left(\frac{a^2 + 2a + 4}{(a - 2)(a + 2)}\right) = \frac{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}{(a^2 + 2a + 4)(a - 2)(a + 2)} $

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{1}{a + 2} $

Ответ: $ \frac{1}{a + 2} $

2)

Упростим выражение по частям. Сначала преобразуем первый множитель: $ \frac{a^3 + 4a^2 + 8a + 8}{a^2 + 4 - 4a - a^3} $.

Разложим числитель на множители, сгруппировав слагаемые:

$ a^3 + 4a^2 + 8a + 8 = (a^3 + 8) + (4a^2 + 8a) = (a + 2)(a^2 - 2a + 4) + 4a(a + 2) = (a + 2)(a^2 - 2a + 4 + 4a) = (a + 2)(a^2 + 2a + 4) $

Разложим знаменатель на множители, перегруппировав слагаемые:

$ a^2 + 4 - 4a - a^3 = (4 - 4a) + (a^2 - a^3) = 4(1 - a) + a^2(1 - a) = (1 - a)(4 + a^2) = -(a - 1)(a^2 + 4) $

Таким образом, первый множитель равен:

$ \frac{(a + 2)(a^2 + 2a + 4)}{-(a - 1)(a^2 + 4)} $

Теперь упростим выражение в скобках: $ \left(\frac{6a - a^2 - 4}{a^3 - 8} - \frac{1}{a - 2} + \frac{a - 2}{a^2 + 2a + 4}\right) $.

Общий знаменатель $ a^3 - 8 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4) $.

$ \frac{6a - a^2 - 4}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} - \frac{1 \cdot (a^2 + 2a + 4)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} + \frac{(a - 2)^2}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} $

Объединим числители под общей чертой:

$ \frac{(6a - a^2 - 4) - (a^2 + 2a + 4) + (a^2 - 4a + 4)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} = \frac{6a - a^2 - 4 - a^2 - 2a - 4 + a^2 - 4a + 4}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{-a^2 - 4}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} = \frac{-(a^2 + 4)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} $

Теперь перемножим полученные выражения:

$ \frac{(a + 2)(a^2 + 2a + 4)}{-(a - 1)(a^2 + 4)} \cdot \frac{-(a^2 + 4)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} $

Сократим общие множители $ (a^2 + 2a + 4) $, $ (a^2 + 4) $ и знаки минуса:

$ \frac{a + 2}{a - 1} \cdot \frac{1}{a - 2} = \frac{a + 2}{(a - 1)(a - 2)} $

Ответ: $ \frac{a + 2}{(a - 1)(a - 2)} $