Номер 7.28, страница 68 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.28. Найдите отношение двух чисел, если отношение значения произведения этих чисел к значению суммы их квадратов равно 0,4.

Пусть искомые числа — это $a$ и $b$.

Согласно условию задачи, отношение произведения этих чисел к сумме их квадратов равно 0,4. Запишем это в виде уравнения:

$\frac{ab}{a^2 + b^2} = 0,4$

Представим 0,4 в виде обыкновенной дроби: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Тогда уравнение примет вид:

$\frac{ab}{a^2 + b^2} = \frac{2}{5}$

Мы ищем отношение двух чисел, то есть $\frac{a}{b}$ или $\frac{b}{a}$. Предположим, что $b \neq 0$, и разделим числитель и знаменатель дроби в левой части уравнения на $b^2$:

$\frac{\frac{ab}{b^2}}{\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{b^2}} = \frac{2}{5}$

Упростим выражение:

$\frac{\frac{a}{b}}{(\frac{a}{b})^2 + 1} = \frac{2}{5}$

Пусть искомое отношение $x = \frac{a}{b}$. Тогда уравнение можно переписать как:

$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{2}{5}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$5x = 2(x^2 + 1)$

$5x = 2x^2 + 2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = B^2 - 4AC = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$

Таким образом, получаем два возможных значения для отношения $x$:

$x_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба значения являются отношением двух чисел. Если отношение $\frac{a}{b} = 2$, то обратное отношение $\frac{b}{a} = \frac{1}{2}$. Следовательно, искомое отношение равно 2 или 0,5.

Ответ: 2 или 0,5.