Страница 68 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.22.

1) $y^2 - (2a - 4)y - 8a = 0;$

2) $y^2 + (3p - 2)y = 6p;$

3) $px^2 - (p + 1)x + 1 = 0;$

4) $x^2 + 5ax - 6a^2 = 0.$

1) $y^2 - (2a - 4)y - 8a = 0$

Это квадратное уравнение относительно переменной $y$. Коэффициенты: $A=1$, $B=-(2a-4)$, $C=-8a$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-(2a - 4))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8a) = (2a - 4)^2 + 32a$

$D = 4a^2 - 16a + 16 + 32a = 4a^2 + 16a + 16$

Дискриминант является полным квадратом:

$D = (2a + 4)^2$

Найдем корни уравнения по формуле $y = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$y = \frac{2a - 4 \pm \sqrt{(2a + 4)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{2a - 4 \pm (2a + 4)}{2}$

Вычислим два корня:

$y_1 = \frac{2a - 4 + 2a + 4}{2} = \frac{4a}{2} = 2a$

$y_2 = \frac{2a - 4 - (2a + 4)}{2} = \frac{2a - 4 - 2a - 4}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Ответ: $y_1 = 2a, y_2 = -4$.

2) $y^2 + (3p - 2)y = 6p$

Приведем уравнение к стандартному виду $Ay^2 + By + C = 0$:

$y^2 + (3p - 2)y - 6p = 0$

Это квадратное уравнение относительно переменной $y$. Коэффициенты: $A=1$, $B=3p-2$, $C=-6p$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = (3p - 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6p) = 9p^2 - 12p + 4 + 24p$

$D = 9p^2 + 12p + 4 = (3p + 2)^2$

Найдем корни уравнения по формуле $y = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$y = \frac{-(3p - 2) \pm \sqrt{(3p + 2)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{-3p + 2 \pm (3p + 2)}{2}$

Вычислим два корня:

$y_1 = \frac{-3p + 2 + 3p + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_2 = \frac{-3p + 2 - (3p + 2)}{2} = \frac{-3p + 2 - 3p - 2}{2} = \frac{-6p}{2} = -3p$

Ответ: $y_1 = 2, y_2 = -3p$.

3) $px^2 - (p + 1)x + 1 = 0$

Это уравнение с параметром $p$. Необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: $p = 0$. Уравнение становится линейным:

$0 \cdot x^2 - (0 + 1)x + 1 = 0$

$-x + 1 = 0$

$x = 1$

Случай 2: $p \neq 0$. Уравнение является квадратным относительно $x$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = (-(p + 1))^2 - 4 \cdot p \cdot 1 = (p + 1)^2 - 4p = p^2 + 2p + 1 - 4p = p^2 - 2p + 1 = (p - 1)^2$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$x = \frac{p + 1 \pm \sqrt{(p - 1)^2}}{2p} = \frac{p + 1 \pm (p - 1)}{2p}$

Вычислим два корня:

$x_1 = \frac{p + 1 + (p - 1)}{2p} = \frac{2p}{2p} = 1$

$x_2 = \frac{p + 1 - (p - 1)}{2p} = \frac{p + 1 - p + 1}{2p} = \frac{2}{2p} = \frac{1}{p}$

Ответ: если $p = 0$, то $x = 1$; если $p \neq 0$, то $x_1 = 1, x_2 = \frac{1}{p}$.

4) $x^2 + 5ax - 6a^2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно переменной $x$. Коэффициенты: $A=1$, $B=5a$, $C=-6a^2$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = (5a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6a^2) = 25a^2 + 24a^2 = 49a^2 = (7a)^2$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$x = \frac{-5a \pm \sqrt{(7a)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{-5a \pm 7a}{2}$

Вычислим два корня:

$x_1 = \frac{-5a + 7a}{2} = \frac{2a}{2} = a$

$x_2 = \frac{-5a - 7a}{2} = \frac{-12a}{2} = -6a$

Ответ: $x_1 = a, x_2 = -6a$.

7.23. 1) $\frac{(y - 5)(y + 2)}{3} - \frac{11y + 12}{10} = 2 - \frac{y - 2}{3}$;

2) $\frac{y^2 + 3y}{5} = \frac{10 - y}{2} - \frac{3y^2 + 8y}{14}$.

1) Исходное уравнение: $\frac{(y - 5)(y + 2)}{3} - \frac{11y + 12}{10} = 2 - \frac{y - 2}{3}$.

Сначала раскроем скобки в числителе первой дроби: $(y - 5)(y + 2) = y^2 + 2y - 5y - 10 = y^2 - 3y - 10$.

Уравнение примет вид: $\frac{y^2 - 3y - 10}{3} - \frac{11y + 12}{10} = 2 - \frac{y - 2}{3}$.

Чтобы избавиться от знаменателей, найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3 и 10. НОК(3, 10) = 30.

Умножим обе части уравнения на 30:

$30 \cdot \frac{y^2 - 3y - 10}{3} - 30 \cdot \frac{11y + 12}{10} = 30 \cdot 2 - 30 \cdot \frac{y - 2}{3}$

$10(y^2 - 3y - 10) - 3(11y + 12) = 60 - 10(y - 2)$

Раскроем скобки:

$10y^2 - 30y - 100 - 33y - 36 = 60 - 10y + 20$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$10y^2 - 63y - 136 = 80 - 10y$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$:

$10y^2 - 63y - 136 - 80 + 10y = 0$

$10y^2 - 53y - 216 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. $a = 10, b = -53, c = -216$.

$D = b^2 - 4ac = (-53)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-216) = 2809 + 8640 = 11449$.

$\sqrt{D} = \sqrt{11449} = 107$.

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{53 + 107}{2 \cdot 10} = \frac{160}{20} = 8$.

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{53 - 107}{2 \cdot 10} = \frac{-54}{20} = -\frac{27}{10} = -2.7$.

Ответ: $y_1 = 8$, $y_2 = -2.7$.

2) Исходное уравнение: $\frac{y^2 + 3y}{5} = \frac{10 - y}{2} - \frac{3y^2 + 8y}{14}$.

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 5, 2 и 14. НОК(5, 2, 14) = 70.

Умножим обе части уравнения на 70:

$70 \cdot \frac{y^2 + 3y}{5} = 70 \cdot \frac{10 - y}{2} - 70 \cdot \frac{3y^2 + 8y}{14}$

$14(y^2 + 3y) = 35(10 - y) - 5(3y^2 + 8y)$

Раскроем скобки:

$14y^2 + 42y = 350 - 35y - 15y^2 - 40y$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$14y^2 + 42y = 350 - 75y - 15y^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$14y^2 + 15y^2 + 42y + 75y - 350 = 0$

$29y^2 + 117y - 350 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. $a = 29, b = 117, c = -350$.

$D = b^2 - 4ac = 117^2 - 4 \cdot 29 \cdot (-350) = 13689 + 40600 = 54289$.

$\sqrt{D} = \sqrt{54289} = 233$.

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-117 + 233}{2 \cdot 29} = \frac{116}{58} = 2$.

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-117 - 233}{2 \cdot 29} = \frac{-350}{58} = -\frac{175}{29}$.

Ответ: $y_1 = 2$, $y_2 = -\frac{175}{29}$.

7.24. 1) $\frac{x^2 - 1}{2} - \frac{(x + 3)^2}{4} + 3x = \frac{(x - 3)^2}{8}$;

2) $\frac{(3x - 4)^2}{5} + \frac{(x - 1)(2x - 5)}{2} - 1 = \frac{(x + 2)^2}{5}$;

3) $\frac{(x - 7)(x - 3)}{2} - \frac{2x + 8}{5} = 6x - \frac{(5x - 3)^2}{2}$;

4) $\frac{11 - 14x + 3x^2}{14} + \frac{1 + x + x^2}{5} = \frac{x + 9}{2}$.

1)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2 - 1}{2} - \frac{(x + 3)^2}{4} + 3x = \frac{(x - 3)^2}{8} $

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 8.

$ 8 \cdot \frac{x^2 - 1}{2} - 8 \cdot \frac{(x + 3)^2}{4} + 8 \cdot 3x = 8 \cdot \frac{(x - 3)^2}{8} $

$ 4(x^2 - 1) - 2(x + 3)^2 + 24x = (x - 3)^2 $

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$ 4(x^2 - 1) - 2(x^2 + 6x + 9) + 24x = x^2 - 6x + 9 $

Распределим множители:

$ 4x^2 - 4 - 2x^2 - 12x - 18 + 24x = x^2 - 6x + 9 $

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$ (4x^2 - 2x^2) + (-12x + 24x) + (-4 - 18) = x^2 - 6x + 9 $

$ 2x^2 + 12x - 22 = x^2 - 6x + 9 $

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$.

$ 2x^2 - x^2 + 12x + 6x - 22 - 9 = 0 $

$ x^2 + 18x - 31 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$ D = 18^2 - 4(1)(-31) = 324 + 124 = 448 $

Так как $448 = 64 \cdot 7$, то $\sqrt{D} = \sqrt{448} = \sqrt{64 \cdot 7} = 8\sqrt{7}$.

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$ x = \frac{-18 \pm 8\sqrt{7}}{2} = -9 \pm 4\sqrt{7} $

Ответ: $x_1 = -9 + 4\sqrt{7}, x_2 = -9 - 4\sqrt{7}$.

2)

Исходное уравнение: $ \frac{(3x - 4)^2}{5} + \frac{(x - 1)(2x - 5)}{2} - 1 = \frac{(x + 2)^2}{5} $

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 10.

$ 10 \cdot \frac{(3x - 4)^2}{5} + 10 \cdot \frac{(x - 1)(2x - 5)}{2} - 10 \cdot 1 = 10 \cdot \frac{(x + 2)^2}{5} $

$ 2(3x - 4)^2 + 5(x - 1)(2x - 5) - 10 = 2(x + 2)^2 $

Раскроем скобки:

$ (3x - 4)^2 = 9x^2 - 24x + 16 $

$ (x - 1)(2x - 5) = 2x^2 - 5x - 2x + 5 = 2x^2 - 7x + 5 $

$ (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 $

Подставим раскрытые выражения в уравнение:

$ 2(9x^2 - 24x + 16) + 5(2x^2 - 7x + 5) - 10 = 2(x^2 + 4x + 4) $

$ 18x^2 - 48x + 32 + 10x^2 - 35x + 25 - 10 = 2x^2 + 8x + 8 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ 28x^2 - 83x + 47 = 2x^2 + 8x + 8 $

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ 28x^2 - 2x^2 - 83x - 8x + 47 - 8 = 0 $

$ 26x^2 - 91x + 39 = 0 $

Заметим, что все коэффициенты (26, -91, 39) делятся на 13. Разделим уравнение на 13 для упрощения.

$ 2x^2 - 7x + 3 = 0 $

Решим квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или разложение на множители.

$ D = (-7)^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25 $, $\sqrt{D} = 5$.

$ x_1 = \frac{-(-7) + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3 $

$ x_2 = \frac{-(-7) - 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = \frac{1}{2}$.

3)

Исходное уравнение: $ \frac{(x - 7)(x - 3)}{2} - \frac{2x + 8}{5} = 6x - \frac{(5x - 3)^2}{2} $

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями. Перенесем $ -\frac{(5x - 3)^2}{2} $ в левую часть.

$ \frac{(x - 7)(x - 3)}{2} + \frac{(5x - 3)^2}{2} - \frac{2x + 8}{5} = 6x $

$ \frac{(x - 7)(x - 3) + (5x - 3)^2}{2} - \frac{2x + 8}{5} = 6x $

Раскроем скобки в числителе первой дроби:

$ (x^2 - 3x - 7x + 21) + (25x^2 - 30x + 9) = x^2 - 10x + 21 + 25x^2 - 30x + 9 = 26x^2 - 40x + 30 $

Подставим обратно в уравнение:

$ \frac{26x^2 - 40x + 30}{2} - \frac{2x + 8}{5} = 6x $

Сократим первую дробь на 2:

$ 13x^2 - 20x + 15 - \frac{2x + 8}{5} = 6x $

Теперь умножим все уравнение на 5, чтобы избавиться от дроби:

$ 5(13x^2 - 20x + 15) - (2x + 8) = 5(6x) $

$ 65x^2 - 100x + 75 - 2x - 8 = 30x $

Приведем подобные слагаемые:

$ 65x^2 - 102x + 67 = 30x $

Перенесем $30x$ в левую часть:

$ 65x^2 - 102x - 30x + 67 = 0 $

$ 65x^2 - 132x + 67 = 0 $

Для решения этого квадратного уравнения можно заметить, что сумма его коэффициентов равна нулю: $a + b + c = 65 + (-132) + 67 = 132 - 132 = 0$.

Если $a+b+c=0$, то один из корней равен 1, а второй равен $c/a$.

$ x_1 = 1 $

$ x_2 = \frac{c}{a} = \frac{67}{65} $

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = \frac{67}{65}$.

4)

Исходное уравнение: $ \frac{11 - 14x + 3x^2}{14} + \frac{1 + x + x^2}{5} = \frac{x + 9}{2} $

Наименьший общий знаменатель для 14, 5 и 2 равен 70. Умножим обе части уравнения на 70.

$ 70 \cdot \frac{3x^2 - 14x + 11}{14} + 70 \cdot \frac{x^2 + x + 1}{5} = 70 \cdot \frac{x + 9}{2} $

$ 5(3x^2 - 14x + 11) + 14(x^2 + x + 1) = 35(x + 9) $

Раскроем скобки:

$ 15x^2 - 70x + 55 + 14x^2 + 14x + 14 = 35x + 315 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ (15x^2 + 14x^2) + (-70x + 14x) + (55 + 14) = 35x + 315 $

$ 29x^2 - 56x + 69 = 35x + 315 $

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ 29x^2 - 56x - 35x + 69 - 315 = 0 $

$ 29x^2 - 91x - 246 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$ a=29, b=-91, c=-246 $

$ D = (-91)^2 - 4(29)(-246) = 8281 + 116 \cdot 246 = 8281 + 28536 = 36817 $

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$ x = \frac{-(-91) \pm \sqrt{36817}}{2 \cdot 29} = \frac{91 \pm \sqrt{36817}}{58} $

Ответ: $x = \frac{91 \pm \sqrt{36817}}{58}$.

7.25.

1) $(2x - 1)^2 (x + 5) = (4x + 5)(x + 1)^2;$

2) $(x - 5)^3 (x - 1) - 49 = (x - 8)^2 (x^2 - 2);$

3) $9((3x - 4)^2 - (2x - 10)^2) = (5x - 14)^2 (x + 6)^2;$

4) $3(4x^2 - 1)(5x + 3) = 8(4x^2 - 1)^2.$

1) Исходное уравнение: $(2x - 1)^2 (x + 5) = (4x + 5)(x + 1)^2$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения.
Сначала возведем в квадрат двучлены, используя формулы сокращенного умножения:
$(2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$
$(x + 1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$
Подставим полученные выражения обратно в уравнение:
$(4x^2 - 4x + 1)(x + 5) = (4x + 5)(x^2 + 2x + 1)$
Теперь раскроем оставшиеся скобки, перемножая многочлены:
Левая часть: $4x^2(x+5) - 4x(x+5) + 1(x+5) = (4x^3 + 20x^2) - (4x^2 + 20x) + (x + 5) = 4x^3 + 16x^2 - 19x + 5$.
Правая часть: $4x(x^2+2x+1) + 5(x^2+2x+1) = (4x^3 + 8x^2 + 4x) + (5x^2 + 10x + 5) = 4x^3 + 13x^2 + 14x + 5$.
Приравняем левую и правую части:
$4x^3 + 16x^2 - 19x + 5 = 4x^3 + 13x^2 + 14x + 5$
Сократим одинаковые члены ($4x^3$ и $5$) в обеих частях:
$16x^2 - 19x = 13x^2 + 14x$
Перенесем все члены в левую часть:
$16x^2 - 13x^2 - 19x - 14x = 0$
$3x^2 - 33x = 0$
Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:
$3x(x - 11) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$3x = 0$ или $x - 11 = 0$
Отсюда находим корни:
$x_1 = 0$
$x_2 = 11$
Ответ: $0; 11$.

2) Исходное уравнение: $(x - 5)^3 (x - 1) - 49 = (x - 8)^2 (x^2 - 2)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения.
Преобразуем левую часть:
$(x - 5)^3 (x - 1) - 49 = (x - 5)^2 (x - 5)(x - 1) - 49 = (x^2 - 10x + 25)(x^2 - 6x + 5) - 49$.
Перемножим многочлены:
$(x^2 - 10x + 25)(x^2 - 6x + 5) = x^4 - 6x^3 + 5x^2 - 10x^3 + 60x^2 - 50x + 25x^2 - 150x + 125 = x^4 - 16x^3 + 90x^2 - 200x + 125$.
Тогда вся левая часть равна: $x^4 - 16x^3 + 90x^2 - 200x + 125 - 49 = x^4 - 16x^3 + 90x^2 - 200x + 76$.
Преобразуем правую часть:
$(x - 8)^2 (x^2 - 2) = (x^2 - 16x + 64)(x^2 - 2)$.
Перемножим многочлены:
$(x^2 - 16x + 64)(x^2 - 2) = x^4 - 2x^2 - 16x^3 + 32x + 64x^2 - 128 = x^4 - 16x^3 + 62x^2 + 32x - 128$.
Теперь приравняем преобразованные левую и правую части:
$x^4 - 16x^3 + 90x^2 - 200x + 76 = x^4 - 16x^3 + 62x^2 + 32x - 128$.
Сократим одинаковые члены ($x^4$ и $-16x^3$):
$90x^2 - 200x + 76 = 62x^2 + 32x - 128$.
Перенесем все члены в левую часть:
$(90-62)x^2 + (-200-32)x + (76+128) = 0$
$28x^2 - 232x + 204 = 0$.
Разделим все уравнение на 4 для упрощения:
$7x^2 - 58x + 51 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-58)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 51 = 3364 - 1428 = 1936$.
$\sqrt{D} = \sqrt{1936} = 44$.
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{58 + 44}{2 \cdot 7} = \frac{102}{14} = \frac{51}{7}$.
$x_2 = \frac{58 - 44}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$.
Ответ: $1; \frac{51}{7}$.

3) Исходное уравнение: $9((3x - 4)^2 - (2x - 10)^2) = (5x - 14)^2 (x + 6)^2$.
В левой части уравнения применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 3x - 4$ и $b = 2x - 10$.
$a - b = (3x - 4) - (2x - 10) = 3x - 4 - 2x + 10 = x + 6$.
$a + b = (3x - 4) + (2x - 10) = 3x - 4 + 2x - 10 = 5x - 14$.
Тогда левая часть уравнения принимает вид: $9(x + 6)(5x - 14)$.
В правой части уравнения сгруппируем множители под одним квадратом: $(ab)^n = a^n b^n$:
$(5x - 14)^2 (x + 6)^2 = ((5x - 14)(x + 6))^2$.
Уравнение принимает вид:
$9(x + 6)(5x - 14) = ((x + 6)(5x - 14))^2$.
Сделаем замену. Пусть $y = (x + 6)(5x - 14)$. Тогда уравнение можно переписать как:
$9y = y^2$.
$y^2 - 9y = 0$.
$y(y - 9) = 0$.
Отсюда получаем два случая:
1) $y = 0$.
2) $y - 9 = 0 \implies y = 9$.
Теперь вернемся к замене и рассмотрим каждый случай.
Случай 1: $y = 0$.
$(x + 6)(5x - 14) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x + 6 = 0 \implies x_1 = -6$.
$5x - 14 = 0 \implies 5x = 14 \implies x_2 = \frac{14}{5} = 2.8$.
Случай 2: $y = 9$.
$(x + 6)(5x - 14) = 9$.
Раскроем скобки: $5x^2 - 14x + 30x - 84 = 9$.
$5x^2 + 16x - 84 - 9 = 0$.
$5x^2 + 16x - 93 = 0$.
Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 16^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-93) = 256 + 1860 = 2116$.
$\sqrt{D} = \sqrt{2116} = 46$.
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_3 = \frac{-16 + 46}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$.
$x_4 = \frac{-16 - 46}{2 \cdot 5} = \frac{-62}{10} = -6.2$.
Ответ: $-6.2; -6; 2.8; 3$.

4) Исходное уравнение: $3(4x^2 - 1)(5x + 3) = 8(4x^2 - 1)^2$.
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы приравнять уравнение к нулю:
$8(4x^2 - 1)^2 - 3(4x^2 - 1)(5x + 3) = 0$.
Заметим общий множитель $(4x^2 - 1)$ и вынесем его за скобки:
$(4x^2 - 1) [8(4x^2 - 1) - 3(5x + 3)] = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Это дает нам два уравнения.
Случай 1: $4x^2 - 1 = 0$.
$4x^2 = 1$.
$x^2 = \frac{1}{4}$.
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$.
$x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = -\frac{1}{2}$.
Случай 2: $8(4x^2 - 1) - 3(5x + 3) = 0$.
Раскроем скобки во втором множителе:
$32x^2 - 8 - 15x - 9 = 0$.
Приведем подобные члены:
$32x^2 - 15x - 17 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Можно заметить, что сумма коэффициентов $a+b+c = 32 - 15 - 17 = 0$. Это означает, что один из корней равен $1$.
$x_3 = 1$.
Второй корень можно найти по теореме Виета для квадратного уравнения: $x_3 \cdot x_4 = \frac{c}{a}$.
$1 \cdot x_4 = \frac{-17}{32}$.
$x_4 = -\frac{17}{32}$.
Объединяем все найденные корни из обоих случаев.
Ответ: $-\frac{17}{32}; -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 1$.

7.26. Выразите p через n из равенства:

1) $p^2 - 3pn - 4n^2 = 0;$

2) $p^2 + 5pn + 4n^2 = 0;$

3) $p^2 + 5pn - 6n^2 = 0;$

4) $21p^2 - 4pn - n^2 = 0.$

1) $p^2 - 3pn - 4n^2 = 0$
Чтобы выразить $p$ через $n$, решим это уравнение как квадратное относительно $p$.
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-3n$, $c=-4n^2$.
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-3n)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4n^2) = 9n^2 + 16n^2 = 25n^2$.
Найдем корни уравнения по формуле $p = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$p = \frac{-(-3n) \pm \sqrt{25n^2}}{2 \cdot 1} = \frac{3n \pm 5n}{2}$.
Отсюда получаем два решения:
$p_1 = \frac{3n + 5n}{2} = \frac{8n}{2} = 4n$.
$p_2 = \frac{3n - 5n}{2} = \frac{-2n}{2} = -n$.
Ответ: $p = 4n$ или $p = -n$.

2) $p^2 + 5pn + 4n^2 = 0$
Решим уравнение как квадратное относительно $p$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=5n$, $c=4n^2$.
Дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (5n)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4n^2) = 25n^2 - 16n^2 = 9n^2$.
Корни уравнения:
$p = \frac{-5n \pm \sqrt{9n^2}}{2 \cdot 1} = \frac{-5n \pm 3n}{2}$.
Два решения:
$p_1 = \frac{-5n + 3n}{2} = \frac{-2n}{2} = -n$.
$p_2 = \frac{-5n - 3n}{2} = \frac{-8n}{2} = -4n$.
Ответ: $p = -n$ или $p = -4n$.

3) $p^2 + 5pn - 6n^2 = 0$
Решим уравнение как квадратное относительно $p$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=5n$, $c=-6n^2$.
Дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (5n)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6n^2) = 25n^2 + 24n^2 = 49n^2$.
Корни уравнения:
$p = \frac{-5n \pm \sqrt{49n^2}}{2 \cdot 1} = \frac{-5n \pm 7n}{2}$.
Два решения:
$p_1 = \frac{-5n + 7n}{2} = \frac{2n}{2} = n$.
$p_2 = \frac{-5n - 7n}{2} = \frac{-12n}{2} = -6n$.
Ответ: $p = n$ или $p = -6n$.

4) $21p^2 - 4pn - n^2 = 0$
Решим уравнение как квадратное относительно $p$.
Коэффициенты: $a=21$, $b=-4n$, $c=-n^2$.
Дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-4n)^2 - 4 \cdot 21 \cdot (-n^2) = 16n^2 + 84n^2 = 100n^2$.
Корни уравнения:
$p = \frac{-(-4n) \pm \sqrt{100n^2}}{2 \cdot 21} = \frac{4n \pm 10n}{42}$.
Два решения:
$p_1 = \frac{4n + 10n}{42} = \frac{14n}{42} = \frac{n}{3}$.
$p_2 = \frac{4n - 10n}{42} = \frac{-6n}{42} = -\frac{n}{7}$.
Ответ: $p = \frac{n}{3}$ или $p = -\frac{n}{7}$.

7.27. При каких значениях параметра p корни уравнения $9y^2 + (p-9) \times y - p - 6 = 0$:

1) равны между собой;

2) равны по модулю, но имеют противоположные знаки?

1) Корни квадратного уравнения равны между собой тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю. Рассмотрим данное уравнение: $9y^2 + (p-9)y - p - 6 = 0$. Его коэффициенты: $a=9$, $b=p-9$, $c = -(p+6)$. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. $D = (p-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-(p+6)) = (p^2 - 18p + 81) + 36(p+6) = p^2 - 18p + 81 + 36p + 216 = p^2 + 18p + 297$. Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значения $p$, при которых корни равны: $p^2 + 18p + 297 = 0$. Чтобы решить это квадратное уравнение относительно $p$, найдем его собственный дискриминант $D_p$: $D_p = 18^2 - 4 \cdot 1 \cdot 297 = 324 - 1188 = -864$. Поскольку $D_p < 0$, уравнение для $p$ не имеет действительных корней. Это означает, что не существует таких действительных значений параметра $p$, при которых дискриминант исходного уравнения равен нулю.
Ответ: таких значений p не существует.

2) Если корни уравнения равны по модулю, но имеют противоположные знаки, это означает, что один корень является противоположным числом для другого (например, $y_1$ и $-y_1$, где $y_1 \ne 0$). Сумма таких корней всегда равна нулю. Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни уравнения. По условию $y_1 + y_2 = 0$. Согласно теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения $ay^2 + by + c = 0$ определяется как $y_1 + y_2 = -\frac{b}{a}$. Для нашего уравнения $a=9$ и $b=p-9$. Приравниваем сумму корней к нулю: $-\frac{p-9}{9} = 0$. Это равенство выполняется, только если числитель равен нулю: $p-9=0$, откуда $p=9$. Теперь необходимо убедиться, что при $p=9$ уравнение действительно имеет два различных действительных корня. Для этого его дискриминант $D$ должен быть строго больше нуля. Используем выражение для дискриминанта, найденное в пункте 1: $D = p^2 + 18p + 297$. Подставим в него значение $p=9$: $D = 9^2 + 18 \cdot 9 + 297 = 81 + 162 + 297 = 540$. Так как $D = 540 > 0$, при $p=9$ уравнение имеет два различных действительных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку.
Ответ: $p=9$.

7.28. Найдите отношение двух чисел, если отношение значения произведения этих чисел к значению суммы их квадратов равно 0,4.

Пусть искомые числа — это $a$ и $b$.

Согласно условию задачи, отношение произведения этих чисел к сумме их квадратов равно 0,4. Запишем это в виде уравнения:

$\frac{ab}{a^2 + b^2} = 0,4$

Представим 0,4 в виде обыкновенной дроби: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Тогда уравнение примет вид:

$\frac{ab}{a^2 + b^2} = \frac{2}{5}$

Мы ищем отношение двух чисел, то есть $\frac{a}{b}$ или $\frac{b}{a}$. Предположим, что $b \neq 0$, и разделим числитель и знаменатель дроби в левой части уравнения на $b^2$:

$\frac{\frac{ab}{b^2}}{\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{b^2}} = \frac{2}{5}$

Упростим выражение:

$\frac{\frac{a}{b}}{(\frac{a}{b})^2 + 1} = \frac{2}{5}$

Пусть искомое отношение $x = \frac{a}{b}$. Тогда уравнение можно переписать как:

$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{2}{5}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$5x = 2(x^2 + 1)$

$5x = 2x^2 + 2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = B^2 - 4AC = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$

Таким образом, получаем два возможных значения для отношения $x$:

$x_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба значения являются отношением двух чисел. Если отношение $\frac{a}{b} = 2$, то обратное отношение $\frac{b}{a} = \frac{1}{2}$. Следовательно, искомое отношение равно 2 или 0,5.

Ответ: 2 или 0,5.

7.29. Найдите отношение двух чисел, если квадрат значения суммы этих чисел в 3 раза больше значения неполного квадрата разности этих чисел.

Пусть два искомых числа будут $a$ и $b$. Нам нужно найти их отношение, то есть $\frac{a}{b}$ или $\frac{b}{a}$.

Согласно условию задачи, "квадрат значения суммы этих чисел" в 3 раза больше "значения неполного квадрата разности этих чисел".

Запишем эти выражения математически:

Квадрат значения суммы чисел: $(a+b)^2$.

Неполный квадрат разности чисел: $a^2 - ab + b^2$.

Составим уравнение на основе условия задачи:

$(a+b)^2 = 3(a^2 - ab + b^2)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$a^2 + 2ab + b^2 = 3a^2 - 3ab + 3b^2$

Перенесем все члены уравнения в правую часть:

$0 = 3a^2 - a^2 - 3ab - 2ab + 3b^2 - b^2$

$0 = 2a^2 - 5ab + 2b^2$

Это однородное квадратное уравнение. Чтобы найти отношение $\frac{a}{b}$, разделим обе части уравнения на $b^2$ (при условии, что $b \neq 0$; если $b=0$, то и $a=0$, а отношение не определено).

$\frac{2a^2}{b^2} - \frac{5ab}{b^2} + \frac{2b^2}{b^2} = 0$

$2\left(\frac{a}{b}\right)^2 - 5\left(\frac{a}{b}\right) + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \frac{a}{b}$. Тогда уравнение примет вид:

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Таким образом, отношение чисел может быть равно 2 или $\frac{1}{2}$.

Ответ: 2 или $\frac{1}{2}$.

7.30. Решите графически уравнение:

1) $x^2 - |x| - 6 = 0;$

2) $2x^2 + |x| - 1 = 0;$

3) $2x^2 - 3|x| - 2 = 0;$

4) $-x^2 - |x| + 12 = 0.$

Для графического решения уравнений вида $f(|x|) = 0$, содержащих переменную под знаком модуля, удобно использовать свойство четности. Поскольку $x^2 = |x|^2$, все представленные функции являются четными, то есть $y(-x) = y(x)$. Это означает, что их графики симметричны относительно оси ординат (оси Oy).
Алгоритм решения будет следующим:
1. Построить график функции для $x \ge 0$. На этом промежутке $|x| = x$, и уравнение становится стандартным квадратным.
2. Симметрично отразить полученную часть графика относительно оси Oy, чтобы получить полный график функции.
3. Найти точки пересечения полного графика с осью абсцисс (осью Ox). Абсциссы этих точек и будут решениями уравнения.

1) $x^2 - |x| - 6 = 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 - |x| - 6$. Нам нужно найти значения $x$, при которых $y=0$.
Для $x \ge 0$, функция принимает вид $y = x^2 - x - 6$. Это парабола с ветвями вверх.
Найдем ее вершину: $x_v = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0.5$. $y_v = (0.5)^2 - 0.5 - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25$. Вершина находится в точке $(0.5, -6.25)$.
Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $x^2 - x - 6 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
Поскольку мы рассматриваем случай $x \ge 0$, нас интересует только корень $x=3$.
В силу четности функции, для $x < 0$ график будет симметричен построенному. Следовательно, в отрицательной полуплоскости также будет корень, симметричный корню $x=3$, то есть $x=-3$.
Таким образом, график функции $y = x^2 - |x| - 6$ пересекает ось Ox в двух точках.

График пересекает ось Ox в точках с абсциссами $x = -3$ и $x = 3$.

Ответ: $x = -3, x = 3$.

2) $2x^2 + |x| - 1 = 0$

Рассмотрим функцию $y = 2x^2 + |x| - 1$.
Для $x \ge 0$, функция принимает вид $y = 2x^2 + x - 1$. Это парабола с ветвями вверх.
Найдем ее вершину: $x_v = -\frac{1}{2 \cdot 2} = -0.25$. Вершина находится вне рассматриваемого промежутка $x \ge 0$. На этом промежутке функция монотонно возрастает.
При $x=0$, $y=-1$. Это точка минимума для всей функции $y = 2x^2 + |x| - 1$.
Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $2x^2 + x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$. Корни $x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4}$, то есть $x_1 = \frac{-1+3}{4} = 0.5$ и $x_2 = \frac{-1-3}{4} = -1$.
Так как мы рассматриваем случай $x \ge 0$, нас интересует только корень $x=0.5$.
В силу четности функции, в отрицательной полуплоскости будет симметричный корень $x=-0.5$.

График пересекает ось Ox в точках с абсциссами $x = -0.5$ и $x = 0.5$.

Ответ: $x = -0.5, x = 0.5$.

3) $2x^2 - 3|x| - 2 = 0$

Рассмотрим функцию $y = 2x^2 - 3|x| - 2$.
Для $x \ge 0$, функция принимает вид $y = 2x^2 - 3x - 2$. Это парабола с ветвями вверх.
Найдем ее вершину: $x_v = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = 0.75$. $y_v = 2(0.75)^2 - 3(0.75) - 2 = 2(0.5625) - 2.25 - 2 = 1.125 - 2.25 - 2 = -3.125$. Вершина в точке $(0.75, -3.125)$.
Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $2x^2 - 3x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$. Корни $x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4}$, то есть $x_1 = \frac{3+5}{4} = 2$ и $x_2 = \frac{3-5}{4} = -0.5$.
Так как мы рассматриваем случай $x \ge 0$, нас интересует только корень $x=2$.
В силу четности функции, в отрицательной полуплоскости будет симметричный корень $x=-2$.

График пересекает ось Ox в точках с абсциссами $x = -2$ и $x = 2$.

Ответ: $x = -2, x = 2$.

4) $-x^2 - |x| + 12 = 0$

Рассмотрим функцию $y = -x^2 - |x| + 12$.
Для $x \ge 0$, функция принимает вид $y = -x^2 - x + 12$. Это парабола с ветвями вниз.
Найдем ее вершину: $x_v = -\frac{-1}{2 \cdot (-1)} = -0.5$. Вершина находится вне рассматриваемого промежутка $x \ge 0$.
При $x=0$, $y=12$. Это точка максимума для всей функции.
Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $-x^2 - x + 12 = 0$, или $x^2 + x - 12 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.
Так как мы рассматриваем случай $x \ge 0$, нас интересует только корень $x=3$.
В силу четности функции, в отрицательной полуплоскости будет симметричный корень $x=-3$.

График пересекает ось Ox в точках с абсциссами $x = -3$ и $x = 3$.

Ответ: $x = -3, x = 3$.

7.31. При каких значениях параметра с уравнение имеет хотя бы один корень:

1) $4x^2 - 3x + c = 0;$

2) $2x^2 + 5x - 0,4c = 0;$

3) $-x^2 + 6x - 7c = 0;$

4) $-2x^2 - 3x + 5c = 0?$

Квадратное уравнение имеет хотя бы один корень, если его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$. Дискриминант для уравнения общего вида $ax^2 + bx + k = 0$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ak$.

1) В уравнении $4x^2 - 3x + c = 0$ имеем коэффициенты $a=4$, $b=-3$ и свободный член $k=c$.

Вычислим дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot c = 9 - 16c$.

Решим неравенство $D \ge 0$:

$9 - 16c \ge 0$

$9 \ge 16c$

$c \le \frac{9}{16}$

Ответ: $c \le \frac{9}{16}$.

2) В уравнении $2x^2 + 5x - 0,4c = 0$ имеем коэффициенты $a=2$, $b=5$ и свободный член $k=-0,4c$.

Вычислим дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-0,4c) = 25 + 3,2c$.

Решим неравенство $D \ge 0$:

$25 + 3,2c \ge 0$

$3,2c \ge -25$

$c \ge -\frac{25}{3,2} = -\frac{250}{32} = -\frac{125}{16}$

Ответ: $c \ge -\frac{125}{16}$.

3) В уравнении $-x^2 + 6x - 7c = 0$ имеем коэффициенты $a=-1$, $b=6$ и свободный член $k=-7c$.

Вычислим дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-7c) = 36 - 28c$.

Решим неравенство $D \ge 0$:

$36 - 28c \ge 0$

$36 \ge 28c$

$c \le \frac{36}{28} = \frac{9}{7}$

Ответ: $c \le \frac{9}{7}$.

4) В уравнении $-2x^2 - 3x + 5c = 0$ имеем коэффициенты $a=-2$, $b=-3$ и свободный член $k=5c$.

Вычислим дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (5c) = 9 + 40c$.

Решим неравенство $D \ge 0$:

$9 + 40c \ge 0$

$40c \ge -9$

$c \ge -\frac{9}{40}$

Ответ: $c \ge -\frac{9}{40}$.